軸對(duì)稱與等腰三角形-2020-2021學(xué)年八年數(shù)學(xué)上學(xué)期高頻突破（人教版）（解析版）

考點(diǎn)軸對(duì)稱與等腰三角形

知識(shí)框架

釉對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱的概念

軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)

線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定

基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)畫軸對(duì)稱圖形

對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特征

等腰（等邊）三角形的概念、性質(zhì)定理和判定

等腰三角形“三線合一”

’判斷軸對(duì)稱圖形

軸對(duì)稱性質(zhì)的應(yīng)用（折疊）

線段的垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用

重難點(diǎn)題型等腰三角形的性質(zhì)

復(fù)雜的尺規(guī)作圖

利用軸對(duì)稱性質(zhì)求最值

等腰（等邊）三角形與全等三角形綜合題

基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)1-1軸對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱的概念

1）軸對(duì)稱圖形：如果一個(gè)圖形沿一直線折疊，直線兩旁部分折疊后能夠完全重合，這個(gè)圖形就是軸對(duì)稱圖

形。這條直線就是它的對(duì)稱軸.

注：①對(duì)稱軸必須是一條直線例：太極圖不是對(duì)稱圖形

△必必

②對(duì)稱圖形是一幅圖例I不是I是

③軸對(duì)稱，對(duì)稱軸可將圖形分為兩個(gè)全等部分，但被對(duì)稱軸分為全等兩個(gè)部分的圖形不一定是對(duì)稱圖形。

（即僅翻折，平移、旋轉(zhuǎn)不可）

例：

3）軸對(duì)稱：將一個(gè)圖形沿某一條直線折疊，它能與另一圖形重合。我們稱這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線（成軸）

對(duì)稱。這條直線叫作對(duì)稱軸。折疊后重合的點(diǎn)叫作對(duì)應(yīng)點(diǎn)

注：①對(duì)稱軸必須是直線；②對(duì)稱圖形是兩幅圖形；③軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形一定全等，但全等的兩個(gè)圖形不

一定軸對(duì)稱

1.（2020?河北河間初二期末）第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，將于2022年02月04日?2022年02月20日

在中華人民共和國(guó)北京市和張家口市聯(lián)合舉行.在會(huì)徽的圖案設(shè)計(jì)中，設(shè)計(jì)者常常利用對(duì)稱性進(jìn)行設(shè)計(jì)，

下列四個(gè)圖案是歷屆會(huì)徽?qǐng)D案上所的一部份圖形，其中不是軸對(duì)稱圖形的是（）

【答案】D

【解析】A□不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)正確；B、是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選A

【點(diǎn)睛】此題考查的是軸對(duì)稱圖形的識(shí)別，掌握軸對(duì)稱圖形的定義是解決此題的關(guān)鍵.

2.（2020?湖北武漢初三二模）在下列四個(gè)交通標(biāo)志圖中，是軸對(duì)稱圖形的是（）

A晦"C“履

【答案】C

【解析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念可知選項(xiàng)A不是軸對(duì)稱圖形；選項(xiàng)B,不是軸對(duì)稱圖形；

選項(xiàng)C是軸對(duì)稱圖形；選項(xiàng)D不是軸對(duì)稱圖形.故選C.

【點(diǎn)睛】此題考查的是軸對(duì)稱圖形的識(shí)別，掌握軸對(duì)稱圖形的定義是解決此題的關(guān)鍵.

3.（2020?廣東高州?初二期末）在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個(gè)標(biāo)志中，是軸對(duì)稱圖形的是（）

AB（§）CD令

【答案】D

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念求解.如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫

做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸.

【解析】A、不是軸對(duì)稱圖形，故A不符合題意；B、不是軸對(duì)稱圖形，故B不符合題意；

C、不是軸對(duì)稱圖形，故C不符合題意；D、是軸對(duì)稱圖形，故D符合題意.故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱圖形的知識(shí)點(diǎn).確定軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合.

4.（2019?山西渾源?初二期中）山西剪紙是最古老的漢族民間藝術(shù)之一.剪紙作為一種鏤空藝術(shù)，在視覺(jué)上

給人以透空的感覺(jué)和藝術(shù)享受.下列四幅剪紙圖案中，是軸對(duì)稱圖形的是（）

【答案】B

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義即可得.

【解析】A、不是軸對(duì)稱圖形，此項(xiàng)不符題意；B、是軸對(duì)稱圖形，此項(xiàng)符合題意；

C、不是軸對(duì)稱圖形，此項(xiàng)不符題意；D、不是軸對(duì)稱圖形，此項(xiàng)不符題意；故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形，熟記定義是解題關(guān)鍵.

知識(shí)點(diǎn)1-2圖形軸對(duì)稱的性質(zhì)

1）垂直平分線（中垂線）：經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線

2）中垂線的畫法：（尺規(guī)）

原理：VAC=BC=BD=AD.,.AACD^ABCD.,.ZACO=ZBCO---AACO^ABCO

AO=OB且NCOA=/COB=90。，CD為AB的中垂線

3）畫2個(gè)軸對(duì)稱圖形，連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)，尋找規(guī)律

①軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的中垂線

②如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的中垂線

4）確定對(duì)稱軸的方法：找出一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連線后作中垂線即為對(duì)稱軸（軸對(duì)稱圖形或抽對(duì)稱的兩個(gè)圖形都

適用）

1.（2020?全國(guó)初二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知口45。和口。所關(guān)于某直線成軸對(duì)稱，你能作出這條直線嗎？

【答案】能，具體見(jiàn)解析

【分析】利用關(guān)于宜線/成軸對(duì)稱的性質(zhì)作出AD的垂直平分線進(jìn)而得出答案.

【解析】如圖，

（1）連接40：（2）分別以A，。為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于M，N兩點(diǎn).

2

（3）作直線MN.MN即為所求.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了畫對(duì)稱軸，根據(jù)關(guān)于直線對(duì)稱的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵.

2.（2020?廣東揭陽(yáng)?初二期末）如圖，A4BC與△A'3'C'關(guān)于直線/對(duì)稱，且NA=78°,NC'=48°,則B8

的度數(shù)為（）

【答案】B

【分析】由軸對(duì)稱的性質(zhì)求出NC,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出NB即可.

【解析】：AABC與AA'3'C'關(guān)于直線/對(duì)稱，NC'=48°，；.NC=NC'=48°,

ZA=78°ZB=180°-ZA-ZC=180°-78°-48°=54°.故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，能據(jù)成軸對(duì)稱圖形的特征進(jìn)行求解是解答的關(guān)鍵.

3.（2020?北京北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)初二期中）如圖，直線MN是四邊形的對(duì)稱軸，點(diǎn)P是直線MN上

的點(diǎn)，下列判斷錯(cuò)誤的是（）

A.AM=BMB.ZMAP=ZMBPC.ZANM=4BNMD.AP=BN

M

【答案】D

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)即可判斷.

【解析】?.?直線MN是四邊形AMBN的對(duì)稱軸，點(diǎn)P是直線MN上的點(diǎn)，

:.AM=BM，AMAP=AMBP，ZANM=/BNM,故選D.

【點(diǎn)睛】此題主要考查軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，熟知軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.（2020?全國(guó)初二課時(shí)練習(xí)）如圖，直線AO是三角形ABC的對(duì)稱軸，點(diǎn)E，b是線段AD上的兩點(diǎn).若

BD=2,AQ=3,則圖中陰影部分的面積是.

【答案】3

【分析】根據(jù)軸對(duì).稱的性質(zhì)，由AD是三角形ABC的對(duì)稱軸得到AD垂直平分BC,則AD1BC,BD=DC,

根據(jù)三角形的面積公式得到SEFB=SE“，得到S陰影部分=5ABD，代入計(jì)算即可.

【解析】：直線A。是三角形ABC的對(duì)稱軸，二垂直平分BC，即ADLBC,BD=DC,

SEFB=SEFC,**.S陰影部分—SABr）=—BD-AD=]x2x3=3.故得:案為3.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)：關(guān)于某直線對(duì)稱的兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等；對(duì)應(yīng)

點(diǎn)的連線段被對(duì)軸軸垂直平分.也考查了三角形的面積公式.

5.（2020?陜西富平?初二期末）如圖，若AABC與AA'8'C'關(guān)于直線對(duì)稱，BB'交MN下點(diǎn)、O,則下

列說(shuō)法不一定正確的是（）

A.AC=ACB.BO=BOC.AA±MND.AB=B'C'

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)解答.

【解析】：AABC與AA'B'C關(guān)于直線MN對(duì)稱，BB'交MN于點(diǎn)0,

AAC^AC，80=80，A4'_LMN,AB=AB<BC=B'C'，故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)：關(guān)于軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線垂

直于對(duì)稱軸.

知識(shí)點(diǎn)1-3線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定

1）性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。

PA=PB

2）判定：到一條直線兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。

3）三角形的外心：三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)

外心性質(zhì)：外心到該三角形三頂點(diǎn)的距離相等

1.（2020?普洱市思茅區(qū)第四中學(xué)初三二模）尺規(guī)作圖要求：I、過(guò)直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線；II、作

線段的垂直平分線；

III、過(guò)直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線；IV、作角的平分線.

如圖是按上述要求排亂順序的尺規(guī)作圖：

則正確的配對(duì)是（）

A.①-M②-n,③-I,④-inB.①-w,②-in,③-n,④-1

c.①-n,②-w,③-in,iD.①-w,②-i,③-n,④-in

【答案】D

【分析】分別利用過(guò)直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線作法以及線段垂直平分線的作法和過(guò)直線上一點(diǎn)作這條

直線的垂線、角平分線的作法分別得出符合題意的答案.

I、過(guò)直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線，觀察可知圖②符合；

Ik作線段的垂直平分線，觀察可知圖③符合；

III、過(guò)直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線，觀察可知圖④符合；

N、作角的平分線，觀察可知圖①符合，

所以正確的配對(duì)是：①-IV,②-I,③-II,@-111,故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了基本作圖，正確掌握基本作圖方法是解題關(guān)鍵.

2.（2020?貴州印江?初二期末）如圖，在A/BC中，BC=Scm,N8的垂直平分線交48于點(diǎn)。，交邊ZC于

點(diǎn)、E,ASCE的周長(zhǎng)等于18cm,則ZC的長(zhǎng)等于（）

A.6cmB.ScmC.10cmD.\2cm

【答案】c

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和三角形的周長(zhǎng)公式即可得到結(jié)論.

【解析】是邊的垂直平分線，.?./E=8￡.

.?.△8CE的周長(zhǎng)nSC+BE+CEnBC+XE+CEnBC+NCnlg.又,：BC=8,.,.JC=IO（cm）.故選C.

【點(diǎn)睛】此題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于掌握計(jì)算公式.

3.（2020?湖南雨花?初二期末）如圖，在中，8c的垂直平分線分別交工C,8c于點(diǎn)。，E.若4ABC

A.14B.18C.20D.26

【答案】A

【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到。8=〃C,BC=2BE=8,根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可.

【解析】是8c的垂直平分線，...08=。。，BC=2BE=8,

?.?△45C的周長(zhǎng)為22,：.AB+BC+AC^22,：.AB+AC^\4,

：./XABDm^z=AD+BD+AB=AD+CD+AB=AB+AC=14,故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離

相等是解題的關(guān)鍵.

4.(2019?河北安平?初二期末)在AABC中，ZBAC=115°,DE、FG分別為AB、AC的垂直平分線，則/

EAG的度數(shù)為()

A.50°B.40°C.30°D.25°

【答案】A

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NB+NC,根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到EA=EB,GA=GC,根據(jù)

等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算即可.

【解析】：/BAC=1I5。，.?.NB+NC=65。，：DE、FG分別為AB、AC的垂直平分線，.\EA=EB，GA=GC,

/.ZEAB=ZB,ZGAC=ZC,AZEAG=ZBAC-(ZEAB+ZGAC)=ZBAC-(ZB+ZC)=50°,故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離

相等是解題的關(guān)鍵.

5.(2020?福建漳州?初二期末)若P是△ABC所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且PA=PB=PC,則下列說(shuō)法正確的是

()

A.點(diǎn)P是△ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)B.點(diǎn)P是△ABC三條角平分線的交點(diǎn)

C.點(diǎn)P是△ABC三邊上高的交點(diǎn)D.點(diǎn)p是△ABC三邊中線的交點(diǎn)

【答案】A

【分析】根據(jù)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂宜平分線上判斷即可.

【解析】解：；PA=PB,.?.點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，

???PB=PC,.?.點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上，...點(diǎn)P是△ABC?.邊垂直平分線的交點(diǎn).故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查線段垂宜平分線的判定.熟練掌握線段垂宜平分線的判定定理是解題的關(guān)鍵.

知識(shí)點(diǎn)1-4畫軸對(duì)稱圖形

1）關(guān)于對(duì)稱軸1成軸對(duì)稱圖形的性質(zhì):

①兩個(gè)圖形完全相等（全等）；②對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線組成的線段被對(duì)稱軸1垂直平分

2）畫一個(gè)與己知圖形關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱圖形步驟:

①描出圖形關(guān)鍵點(diǎn)；②過(guò)關(guān)鍵點(diǎn)畫對(duì)稱軸垂線，并截取對(duì)應(yīng)長(zhǎng)度線段，端對(duì)為對(duì)應(yīng)點(diǎn)

③按上述步驟確定所有關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；④連線

注：①折線部分：特殊點(diǎn)之間直線連接即可；②曲線部分：選取曲線中的特殊點(diǎn)，找出這些特殊點(diǎn)，再用

曲線連接。

例:以圓心為特殊點(diǎn)

1.（2020?全國(guó)）畫出所示/ABC關(guān)于直線/對(duì)稱的/口4'3'。'（保留痕跡）

【分析】根據(jù)畫軸時(shí)稱圖形的方法即可得出答案.

【解析】解：作法：如圖所示,

1.作點(diǎn)AABC的三個(gè)頂點(diǎn)Z、8、C關(guān)于直線/對(duì)稱的點(diǎn)/'、B\C；

2.順次連結(jié)/'夕、B'C'、C0得口A'3'C',則口48'。'即為所求作的三角形.

2.(2020?全國(guó)初二課時(shí)練習(xí))如圖，有一個(gè)英語(yǔ)單詞，四個(gè)字母都關(guān)于直線1對(duì)稱，請(qǐng)?jiān)谠嚲砩涎a(bǔ)全字母，

在答題卡上寫出這個(gè)單詞所指的物品.

nn_

UR

【答案】書

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，組成圖形，即可解答.

【解析】解：如圖，ROOK，這個(gè)單詞所指的物品是書?故答案為書.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，作出圖形.

3.(2019?山西渾源?初二期中)如圖，是一個(gè)2X2的網(wǎng)格，其中每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，△C4B的

頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上.請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中再畫出一個(gè)三角形，使它與△C4B成軸對(duì)稱的關(guān)系.(要求：在圖(1)?圖

(4)各畫出一個(gè)三角形，使四個(gè)圖中三角形的位置不同，并在所畫的三角形內(nèi)部涂上陰影).

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義畫圖即可.

【點(diǎn)睛】本題考查了畫軸對(duì)稱圖形，掌握軸對(duì)稱圖形的定義是解題關(guān)鍵.

知識(shí)點(diǎn)L5對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特征

1)P(x,y)

①關(guān)于x軸對(duì)稱(y=0)Q\(x,-y);②關(guān)于y軸對(duì)稱(x=0)Q2(-x,y);③關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱Q3(-x,-y)

2)規(guī)律P(xo,yo)

①關(guān)于x=m對(duì)稱Qi(2m-x,y)②關(guān)于y=n軸對(duì)稱Q2(x,2n-y)

L(2020?湖南茶陵?初二期末)如果點(diǎn)。(-2,2)+1)與A(2,3)關(guān)于歹軸對(duì)稱，則6的值是()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，所以它們的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等，列式求值.

【解析】解：：P(-2,2/?+l)與P(2,3)關(guān)于y軸對(duì)稱，.?.2匕+1=3,解得b=l.故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于掌握點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱時(shí)橫縱坐標(biāo)

的關(guān)系.

2.(2020?湖北大冶?)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4(1,-2)關(guān)于X軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為()

A.(1,2)B.(-1,2)C.(2,1)D.(-1,-2)

【答案】A

【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，其橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)進(jìn)而得出答案.

【解析】解：點(diǎn)A(1,-2)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為：(1,2).故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)，正確記憶橫縱坐標(biāo)的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

3.(2020?山東沂水初二期末)已知點(diǎn)與點(diǎn)N(6,3關(guān)于直線x=2對(duì)稱，那么4-b等于

【答案】2

【分析】軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)是對(duì)稱軸垂直平分對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線，且在坐標(biāo)系內(nèi)關(guān)于x對(duì)稱，則y相等，所以

【解析】點(diǎn)M3-4)與點(diǎn)N(6,》)關(guān)于直線x=2對(duì)稱——=2,-4=b

2

解得a=-2,二?！?—2—(―4)=2故答案為2.

【點(diǎn)睛】本題考察了坐標(biāo)和軸對(duì)稱變換，軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)是對(duì)稱軸垂直平分對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線，此類題是軸

對(duì)稱相關(guān)考點(diǎn)中重要的題型之一，掌握對(duì)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

4.(2020?黑龍江甘南初二期末)若點(diǎn)M(m,-1)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是N(2,n),則m+n的值是.

【答案】-1

【分析】直接利用關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，即可得出答案.

【解析】???點(diǎn)A/(m,-1)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是N(2,"),

/.m=-2,n=\,故答案為：-1.

【點(diǎn)睛】本題考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)，正確記憶橫縱坐標(biāo)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

知識(shí)點(diǎn)1-6等腰（等邊）三角形的概念、性質(zhì)定理和判定

1）等腰三角形：有兩條邊相等的三角形

腰：相等的兩邊底邊：不相等的那條邊

頂角：兩腰的夾角底角：腰與底邊的夾角

注：①等腰三角形是三角形，三角形的一切性質(zhì)都滿足；②等腰三角形是軸對(duì)稱圖形

2）性質(zhì)一：等腰三角形的兩個(gè)底角相等。等角=等邊

證明：作中線、作高、作角平分線皆可證明

注：涉及等腰三角形的角或邊時(shí)，一般要指出頂角、底角，底邊、腰。若未指出，會(huì)存在多解情況。

例：等腰三角形，一邊長(zhǎng)7cm,另一邊長(zhǎng)8cm,則三角形周長(zhǎng)為：

3）等腰三角形的判定

等腰三角形、、兩個(gè)角相等

兩個(gè)邊相等

4）等邊三角形的性質(zhì)與判定：

性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°；等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，有三條對(duì)稱軸.

判定：（1）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形；（2）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.

1.（2020?山東東明?初二期末）已知等腰三角形有兩條邊的長(zhǎng)分別是3,7,則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為（）

A.17B.13C.17或13D.10

【答案】A

【分析】分3是腰長(zhǎng)與底邊兩種情況討論求解.

【解析】解：①3是腰長(zhǎng)時(shí);三角形的三邊分別為7、3、3,3+3=6<7,不能組成三角形；

②3是底邊長(zhǎng)時(shí)，三角形的三邊分別為7、7、3,能組成三角形，周長(zhǎng)=7+7+3=17,

綜上所述，這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是17,故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，難點(diǎn)在于分情況討論并利用三角形的三邊關(guān)系判斷是否能組成三

角形.

2.（2020?湖南茶陵?初二期末）等腰三角形的一個(gè)外角為80。，則它的底角為（）

A.100°B.80°C.40°D.100°或40°

【答案】C

【解析】根據(jù)三角形的外角性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求解.

解：?.?等腰三角形的一個(gè)外角為80。.?.相鄰角為180°-80°=100°

?三角形的底角不能為鈍角，100。角為頂角

.??底角為：（180°-100°）-2=400.故選C.

考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì).

3.（2018?陜西渭濱?初三二模）如圖，D為AABC內(nèi)一點(diǎn)、,8平分乙BD1CD,UFBD,若/C=5,

BC=3,則8。的長(zhǎng)為（）

A.1B.1.5C.272D.4

【答案】A

【分析】延長(zhǎng)BD與AC交于點(diǎn)E,由題意可推出BE=AE,依據(jù)等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE,

可推出BC=CE,AE=BE=2BD,根據(jù)AC=5,BC=3,即可推出BD的長(zhǎng)度.

【解析】延長(zhǎng)BD與AC交于點(diǎn)E,

VZA=ZABD,；.BE=AE,VBD1CD,ABE1CD,

：CD平分NACB,.-.ZBCD=ZECD,AZEBC=ZBEC,ZkBEC為等腰三角形，；.BC=CE,

VBE±CD,，2BD=BE,VAC=5,BC=3,；.CE=3,AE=AC-EC=5-3=2,.\BE=2,.\BD=1.故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的判定與性質(zhì)，比較簡(jiǎn)單，關(guān)鍵在于正確地作出輔助線，構(gòu)建等腰三角

形，通過(guò)等量代換，即可推出結(jié)論.

4.（2020?四川巴州,初二期末）如圖，在△ABC中，NABC和NACB的平分線交于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作EF〃BC

交AB于E,交AC于F,若AB=12,BC=8,AC=1O,則4AEF的周長(zhǎng)為（）

E,D

-----------------------V

A.15B.18C.20D.22

【答案】D

【分析】利用平行和角平分線的定義可得到/EBD=/EDB,所以可得ED=EB,同理可得DF=FC,所以aAEF

的周長(zhǎng)即為AB+AC,可得出答案.

【解析】?:EF〃BC,：./EDB=NDBC,

平分:.NABD=NDBC,：.ZEBD=ZEDB,：.ED=EB,同理可證得。尸=FC,

AE+AF+EF=AE+EB+AF+FC=AB+AC=22,即的周長(zhǎng)為22,故選D.

【點(diǎn)睛】考查［等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.（2019?貴州印江?初三月考）如圖，已知A8=A6,Ag……，若/

A=70°,則乙4,一4紇t的度數(shù)為（）

B

【答案】c

【分析】根據(jù)等邊對(duì)等角可得NAAiB=NA=70°,然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和等邊對(duì)等角可得NA1A2B尸

170°...1700170°

-NAAiB=-----=35°,同理可得：/A2A3B2=—/AiAzBi=—=17.5°)NA3A4B3=-NA2A3B2=—丁=

22222223

8.75°,找出規(guī)律即可得出結(jié)論.

【解析】VAB=AiB,ZA=70°ZAAiB=ZA=70°V=AAAZAIA2B1=ZAIB1A2

170°

/AAIB=NAIA2BI+/AiB1A2NAiA?Bi=-/AAiB=-----=35°

22

1700170°

同理可得：ZAAB=—ZAIABI=^-=17.5°ZAAB=—NA2A3B2=--=8.75°

2322222343223

NA,EA“B,i=故選C.

【點(diǎn)睛】此題考查的是等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，掌握等邊對(duì)等角和三角形外角的性質(zhì)是解

決此題的關(guān)鍵.

6.（2020?山東東平?初二期末）如圖，在4ABC中，ZBAC=90°,ZABC=2ZC,BE平分NABC交AC于E,

AD±BE于1）,下列結(jié)論：①AC-BE=AE；②點(diǎn)E在線段BC的垂直平分線上；③NDAE=NC；@BC=4AD,

其中正確的個(gè)數(shù)有（）

R匕-----------------------------

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【解析】①：BE平分/ABC,.\ZCBE=—ZABC,VZABC=2ZC,.\ZEBC=ZC,

2

；.BE=CE,.,.AC-BE=AC-CE=AE；（①正確）

②：BE=CE,.?.點(diǎn)E在線段BC的垂直平分線上；（②正確）

③?.?/BAC=90°,ZABC=2ZC,/.ZABC=60°,ZC=30°,VBE=CE,AZEBC=ZC=30°,

ZBEA=ZEBC+ZC=60°,XVZBAC=90°,AD±BE,AZDAE=ZABE=30°,ZDAE=ZC；（③正確）

@ZABE=30°,ADXBE,；.AB=2AD,VZBAC=90°,ZC=30°,；.BC=2AB,，BC=4AD.（④正確）

綜上，正確的結(jié)論有4個(gè)，故選D.

點(diǎn)睛：此題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定、線段垂直平分線的性質(zhì)以及30°角直角三角形的性質(zhì).此題

難度適中，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

7.（2020?河南海池?初二期末）下列三角形中：①有兩個(gè)角等于60。的三角形；②有一個(gè)角等于60。的等腰

三角形；③三個(gè)角都相等的三角形；④三邊都相等的三角形.其中是等邊三角形的有（）

A.①②③B.??④C.①③④D.①②③④

【答案】D

【分析】根據(jù)等邊三角形的判定判斷.

【解析】?jī)蓚€(gè)角為60。，則第三個(gè)角也是60。，則其是等邊三角形，故正確；

②這是等邊三角形的判定2，故正確；③三角形內(nèi)角和為180。,三個(gè)角都相等，即三個(gè)角的度數(shù)都為60。，

則其是等邊三角形，故正確：④這是等邊三角形定義，故正確.

【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是等邊三角形的判定，解題關(guān)鍵是熟記等邊三角形性質(zhì)和定義進(jìn)行解答.

8.（2020?湖北黃石?初二期末）如圖，等邊三角形ABC中，AD1BC,垂足為D,點(diǎn)E在線段AD上，Z

EBC=45°,則NACE等于()

【答案】A

【分析】先判斷出AD是BC的垂直平分線，進(jìn)而求出/ECB=45。，即可得出結(jié)論.

【解析】：等邊三角形ABC中，AD1BC,.-.BD=CD,即：AD是BC的垂直平分線，

?.?點(diǎn)E在AD上，.\BE=CE,AZEBC=ZECB,VZEBC=45°,AZECB=45°,

「△ABC是等邊三角形，ZACB=60°,/.ZACE=ZACB-ZECB=15°,故選A.

【點(diǎn)睛】此題主要考查J'等邊三角形的性質(zhì)，垂直平分線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，求出NECB

是解本題的關(guān)鍵.

9.（2020?浙江西湖?初二期末）如圖，將邊長(zhǎng)為的等邊三角形沿邊8c向右平移3cm,得到△￡>￡F,

則四邊形心的周長(zhǎng)為（）cm.

A.20B.21C.22D.23

【答案】B

【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)可得DF=AC=5cm,AD=CF=3cm,然后求出四邊形ADFB的周長(zhǎng)=

AB+BC+CF+DF+AD,最后代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得解.

【解析】解：?.,△ABC沿邊BC向右平移3cm得到aDEF,，DF=AC=5cm,AD=CF=3cm,

二四邊形ADFB的周長(zhǎng)=AB+BC+CF+DF+AD,=5+5+3+5+3,=21(cm),故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查平移的基本性質(zhì)：①平移不改變圖形的形狀和大?。虎诮?jīng)過(guò)平移，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平

行且相等，對(duì)應(yīng)線段平行且相等，對(duì)應(yīng)角相等.

10.（2020?河南海池?初二期末）如圖，在鈍角三角形ABC中，NA8C為鈍角，以點(diǎn)3為圓心，A8長(zhǎng)為

半徑畫??；再以點(diǎn)。為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫弧；兩弧交于點(diǎn)連結(jié)A2C8的延長(zhǎng)線交AO于點(diǎn)E.下

列結(jié)論：①CE垂直平分A。；②CE平分NACD；③VABD是等腰三角形；④VACO是等邊三角形.其

中正確的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】依據(jù)作圖可得CA=CD,BA=BD,即可得到CB是AD的垂直平分線，依據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)

以及三角形內(nèi)角和定理，即可得到結(jié)論.

【解析】由作圖可得，CA=CD,BA=BD,；.CB是AD的垂直平分線，即CE垂直平分AD,故①正確；

.,.ZCAD=ZCDA,ZCEA=ZCED,AZACE=ZDCE,即CE平分NACD,故②正確；

VDB=AB,.?.△ABD是等腰三角形，故③正確；

??,AD與AC不一定相等，.?.△ACD不一定是等邊三角形，故④錯(cuò)誤；

綜上，①②③正確，共3個(gè)，故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的判定、等邊三角形的判定，解題

時(shí)注意：垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等.

知識(shí)點(diǎn)1-7等腰三角形“三線合一”

1）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合（簡(jiǎn)稱“三線合一”）

注：①“三線合一”僅指等腰三角形中的一條線、另外兩條線無(wú)此規(guī)律；

②利用“三線合一”，可判斷等腰三角形；

③只要“兩線合一”，則必定"三線合一”（用全等易證）

1.（2020?廣東廣州?綠翠現(xiàn)代實(shí)驗(yàn)學(xué)校初二期中）如圖，在△ABC中，AB=AC,AD是BC邊上的高，BD=4cm,

則BC=cm.

【答案】8

【分析】由4。是8c邊上的高，可知/。是BC邊的中線，從而可求出5c的長(zhǎng).

【解析】:AB=AC,AD1.BC,：.BD=CD=4cm,：.BC=2BD=2^4=Scm.故答案為8.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高線、底邊上的中

線重合是解答本題的關(guān)鍵.

2.（2020?廣東深圳?中考真題）如圖，已知48=/lC,BC=6,尺規(guī)作圖痕跡可求出（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖的方法步驟判斷即可.

【解析】由作圖痕跡可知AD為NBAC的角平分線，而AB=AC,

由等腰三角形的三線合一知D為BC重點(diǎn)，/.BD=3,故選B

【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖-角平分線及三線合一的性質(zhì)，關(guān)鍵在于牢記尺規(guī)作圖的方法和三線合一的性質(zhì).

3.（2020?福建中考真題）如圖，A￡＞是等腰三角形A8C的頂角平分線，BD=5,則CO等于（）

A.10B.5C.4D.3

B

D

【答案】B

【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可判斷CD的長(zhǎng).

【解析】：A￡＞是等腰三角形ABC的頂角平分線...CD=BD=5.故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的三線合一，關(guān)鍵在于熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí).

4.（2019?上饒市第二中學(xué)初二期中）如圖，在口46。中，A3=AC,。為3C的中點(diǎn)，有下列四個(gè)結(jié)論:

①ZB=/C；②③44C=2NB4O；AHD=SACI）.其中正確的結(jié)論有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【分析】由于AB=AC，D為5c的中點(diǎn)，利用等邊對(duì)等角，等腰三角形三線合一定理，可知

ZB=NC,AD±BD,ABAC=2ABAD,BD=CD,再根據(jù)三角形面積公式即可求解.

【解析】解：?.?在口抽。中，AB=AC,D為BC的中點(diǎn)，

；./B=NC,ADA.BD,ABAC=2ABAD,BD=CD,

SAHD=SACD.故正確的有4個(gè)。故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形三線合的性質(zhì)，要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用.

5.（2019?上海風(fēng)華初級(jí)中學(xué)初二月考）如圖所示，已知在五邊形ABCDE中，AE=AB,BC=DE,ZB=ZE,

點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，求證：AF±CD.

【答案】證明過(guò)程見(jiàn)解析.

【分析】連接AC,由題中已知條件可證明△ABCg^AED,即可得至ijAC=AD,則AACD為等腰三角形，-又

因?yàn)镕為CD中點(diǎn)，根據(jù)三線合一可得AFJ_CD.

【解析】解：如圖，連接AC,

AB=AE

?.?在ZkABC與AAED中=.'△ABC絲4AED(SAS).*.AC=AD；

BC=ED

?；F為CD中點(diǎn)，；.AF為AACD底邊上的中線，，AF為△底邊上的高(三線合一)；.\AF_LCD.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的證明以及等腰三角形三線合一的利用；根據(jù)已知條件很容易能夠看出全等，

中點(diǎn)和垂線要通過(guò)三線合一聯(lián)系起來(lái)，在以后做題的過(guò)程中如果看到中線、高線、角平分線任意兩條線合

一，都要想到等腰三角形三線合一.

重難點(diǎn)題型

題型1判斷軸對(duì)稱圖形

方法技巧：掌握軸對(duì)稱圖形的概念：把一個(gè)圖形沿著某一條直線翻折，如果直線兩旁的部分能夠互相重合，

那么稱這個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形，這條直線就是對(duì)稱軸。

注意：理解軸對(duì)稱圖形的定義應(yīng)注意兩點(diǎn)：

(1),軸對(duì)稱圖形是一個(gè)圖形，反映的是這個(gè)圖形自身的性質(zhì)。

(2)符合要求的“某條直線”可能不止一條，但至少要有一條。

1.(2020?全國(guó)初二課時(shí)練習(xí))下面四個(gè)垃圾分類的圖標(biāo)中的圖案，是軸對(duì)稱圖形的是()

【答案】B

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義判斷即可.

【解析】由軸對(duì)稱圖形的定義可得B為軸對(duì)稱圖形.故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱圖形的判別，關(guān)鍵在于熟悉定義.

2.（2020?全國(guó)初二課時(shí)練習(xí)）我們理應(yīng)對(duì)我們所得的一切心懷感恩，這是我們強(qiáng)大的基礎(chǔ).少年強(qiáng)則國(guó)強(qiáng),

中國(guó)強(qiáng)則中國(guó)少年更強(qiáng)，中國(guó)強(qiáng)就是因?yàn)樯倌陱?qiáng).為了慶祝祖國(guó)生日小強(qiáng)做了以下幾幅剪紙作品，其中是軸

對(duì)稱圖形的是（）

【答案】B

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念：如果一個(gè)圖形沿-條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖

形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析.

【解析】解：A、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)正確；

C、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了軸對(duì)稱圖形，判斷軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分沿對(duì)稱軸折疊后

可重合.

3.（2020?河南羅山?初二期末）下列全國(guó)志愿者服務(wù)標(biāo)識(shí)的設(shè)計(jì)圖中，是軸對(duì)稱圖形的是（）

【答案】C

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念判斷即可.

【解析】解：A、B、D中的圖形不是軸對(duì)稱圖形，C中的圖形是軸對(duì)稱圖形，故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱圖形的概念：軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分沿對(duì)稱軸折疊可重合.

4.（2020?湖南師大附中高新實(shí)驗(yàn)中學(xué)初三二模）下列航空公司的標(biāo)志中，是軸對(duì)稱圖形的是（）

^D

【答案】C

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念判斷即可.

【解析】解：A、不是軸對(duì)稱圖形；B、不是軸對(duì)稱圖形；C、是軸對(duì)稱圖形；D、不是軸對(duì)稱圖形;

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握定義進(jìn)行判斷.

5.（2020?四川汶川?初二期末）下面四個(gè)手機(jī)應(yīng)用圖標(biāo)中是軸對(duì)稱圖形的是（）

.今

【答案】c

【分析】如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形.

【解析】A、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)正確；B、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形的識(shí)別，解決本題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱圖形的概念：如果一個(gè)圖形沿一條

直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸，據(jù)此分析即可.

7.（2020?全國(guó)初二課時(shí)練習(xí)）如圖，用數(shù)學(xué)的眼光欣賞這個(gè)蝴蝶圖案，它的一種數(shù)學(xué)美體現(xiàn)在蝴蝶圖案的

（）

A.軸對(duì)稱性B.用字母表示數(shù)C.隨機(jī)性D.數(shù)形結(jié)合

【答案】A

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的定義可以得出，數(shù)學(xué)美體現(xiàn)在蝴蝶圖案的對(duì)稱性.

【解析】用數(shù)學(xué)的眼光欣賞這個(gè)蝴蝶圖案，它的一種數(shù)學(xué)美體現(xiàn)在蝴蝶圖案的對(duì)稱性.故選A.

7.（2020?青海中考真題）將一張四條邊都相等的四邊形紙片按下圖中①②的方式沿虛線依次對(duì)折后，再沿

圖③中的虛線裁剪，最后將圖④中的紙片打開鋪平，所得圖案應(yīng)是（）

A.B.<C^Z>c.D.

【答案】A

【分析】對(duì)于此類問(wèn)題，學(xué)生只要親自動(dòng)手操作，答案就會(huì)很直觀地呈現(xiàn).

【解析】嚴(yán)格按照?qǐng)D中的順序，向右對(duì)折，向上對(duì)折，從斜邊處剪去一個(gè)直角三角形，從直角頂點(diǎn)處剪去

一個(gè)等腰直角三角形，展開后實(shí)際是從原菱形的四邊處各剪去一個(gè)直角三角形，從菱形的中心剪去一個(gè)和

菱形位置基本一致的正方形，得到結(jié)論.故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生的動(dòng)手能力及空間想象能力.

題型2軸對(duì)稱性質(zhì)的應(yīng)用（折疊）

方法技巧：常見(jiàn)應(yīng)用為折疊問(wèn)題。折疊問(wèn)題中，折痕就是圖形的對(duì)稱軸，折疊前后的圖形關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱。

1.（2020?烏蘭浩特市衛(wèi)東中學(xué)初三二模）如圖，將平行四邊形ABC。沿對(duì)角線3。折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)4

處，N1=N2=48。，則NA'的度數(shù)為.

【答案】108°

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，得出/ADB=NBDG=NDBG,由三角形的外角性質(zhì)求出

ZBDG=ZDBG=-Zl=24°,再由三角形內(nèi)角和定理求出NA,即可得到結(jié)果.

2

【解析】解：?:AD//BC,：./，ADB=NDBG,由折疊可得/BOG,：./DBG=NBDG,

又?.?/1=/8Z）G+N￡>8G=48°,/8Z）G=24°,又：/2=48°,中，N/=108°,

...乙4'=乙4=108°,故答案為：108°

【點(diǎn)睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)和折疊問(wèn)題，解題關(guān)鍵在于利用折疊性質(zhì)進(jìn)行解答

2.（2020?河南羅山初二期末）如圖,先將正，方形紙片對(duì)折,折痕為MN,再把B點(diǎn)折疊在折痕MN上,折痕為

AE,點(diǎn)B在MN上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為H,沿AH和DH剪下，這樣剪得的aADH中（）

A.AH=DHMDB.AH=DH=ADC.AH=AD/DHD.AH/DHMD

【答案】B

【分析】翻折后的圖形與翻折前的圖形是全等圖形，利用折疊的性質(zhì),正方形的性質(zhì)，以及圖形的對(duì)稱性特點(diǎn)解

題.

【解析】解：由圖形的對(duì)稱性可知

:正方形ABCD,：.AB^CD=AD,：.AH^DH=AD.故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查翻折圖形的性質(zhì),解決本題的關(guān)鍵是利用圖形的對(duì)稱性把所求的線段進(jìn)行轉(zhuǎn)移.

3.（2020?全國(guó)初二課時(shí)練習(xí)）如圖，將長(zhǎng)方形紙片的角C沿著GF折疊（點(diǎn)/在8c上，不與8,C

重合），使點(diǎn)C落在長(zhǎng)方形內(nèi)部點(diǎn)E處，若FH平分ZBFE,則NGW的度數(shù)&是（）

A.90°<a<180°B.0°<a<90°C.a=90°D.a隨折痕G尸位置的變化而變化

【答案】C

【分析】先根據(jù)折疊的性質(zhì)得出NUG=N￡：FG,再根據(jù)角平分線的定義得出NEFH=!ZBEE,然后

根據(jù)平角的定義、角的和差即可得.

【解析】由折疊的性質(zhì)得：NCFG=NEFGNEFG=工NCFE

2

■：FH平分ZBFE二NEFH=-ZBFE

2

ZGFH=NEFG+NEFH=-NCFE+-NBFE=-（NCFE+NBFE）=-xl80°=90°

2222

即a=90°故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn)，掌握并熟記各性質(zhì)與定義是解題關(guān)鍵.

4.（2020?山東濱州初二月考）如圖，有一條直的寬紙帶，按圖折疊時(shí)，測(cè)得NDOE=30。，則/a=

【答案】75。

【分析】利用平行線的性質(zhì)求解NCBO,利用對(duì)折與平角的性質(zhì)可得答案.

【解析】解：*/DAHBC,ZCBO=NDOE=30°,

由對(duì)折可知：Na=ZABF=---------=75°,故答案為：75°.

2

【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

5.(2020?河南新野初三二模)如圖，在一張直角三角形紙片N8C中，ZACB=90°,//=30?！甘沁叀鄙?/p>

的一動(dòng)點(diǎn)，將△ZCP沿著CP折疊至△4CP,當(dāng)△4CP與△/8C的重疊部分為等腰三角形時(shí)，則//C尸的

度數(shù)為

【答案】40?；?0°

【分析】分兩種情形，畫出圖形分別求解即可.當(dāng)尸C=CE時(shí)，設(shè)利用等腰三角形的性質(zhì)，可

證得N6E=x+30。，再利用三角形內(nèi)角和定理建立關(guān)于x的方程，解方程即可；當(dāng)CP=CE時(shí)，設(shè)入4。尸

=x,用含x的代數(shù)式表示出NCPE、NCEP,再利用三角形內(nèi)角和定理建立關(guān)于x的方程，解方程即可求

CP=CE,：.NCPE=ZCEP,"：ZCPE=ZACP+ZA=x+30°,

：.在□PCE中：x+x+30°+x+30°=180°,x=40°；

當(dāng)CP=CE時(shí)，如圖2所示：設(shè)/ZCP=x.根據(jù)折疊的性質(zhì)得N/iCP=x,ZA\—ZA—3O0,

則ZCPE=ZCEP=NECA+ZA\=ZACP+ZA\CP-ZACB=2x-900+30°=2x-60°,

在尸E中，90°-x+2(2x-60°)=180°,解得：x=70°,

綜上所述，NZC尸的度數(shù)為40。或70。，故答案為：40?；?0。.

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角定理、三角形內(nèi)角和定理，用含x的代數(shù)

式表示出/CPE,再利用三角形內(nèi)角和定理建立關(guān)于x的方程是解決本題的關(guān)鍵.

6.(2020?青海西寧初三一模)如圖，將等腰直角三角形ABC(ZB=90°)沿EF折疊，使點(diǎn)A落在BC邊的

中點(diǎn)Ai處，BC=8,那么線段AE的長(zhǎng)度為

【答案】5.

分析：由折疊的性質(zhì)可求得AE=AiE,可設(shè)AE=AiE=x,貝UBE=8-x,且AiB=4,在Rt^AiBE中，利用勾股

定理可列方程，則可求得答案.

【解析】由折疊的性質(zhì)可得AE=AiE,「△ABC為等腰直角三角形，BC=8,.\AB=8,

為BC的中點(diǎn),.,.AiB=4,設(shè)AE=AiE=x,則BE=8-x,

在RMAiBE中，由勾股定理可得4斗（8-x）2=X2,解得X=5,故答案為：5.

點(diǎn)睛：本題主要考查折疊的性質(zhì)，利用折疊的性質(zhì)得到AE=AiE是解題的關(guān)鍵，注意勾股定理的應(yīng)用.

7.（2020?重慶市渝北中學(xué)校初二月考）將一張長(zhǎng)方形紙片按如圖形式折疊，使點(diǎn)D落到點(diǎn)D，處，點(diǎn)E落到

點(diǎn)E，處，并且BD與BE在同一條直線上，那么A