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求空間直角坐標(biāo)下點(diǎn)的坐標(biāo)的方法廣西玉林高中.
高中數(shù)學(xué)教材中引入了空間向量坐標(biāo)運(yùn)算這一內(nèi)容,使得在解決立體幾何平行、垂直、夾角、距離等問題時(shí)更加程序化,只需代入公式進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算即可,這里常常需要首先建立空間直角坐標(biāo)系,求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)。求空間直角坐標(biāo)下點(diǎn)的坐標(biāo)的方法
.
廣西高考數(shù)學(xué)卷中立體幾何大題都是同時(shí)能用幾何法與向量法這兩種方法解題的,在用向量法方面,找點(diǎn)坐標(biāo)的難度在逐年增大,很多學(xué)生因?yàn)榍蟛怀鳇c(diǎn)坐標(biāo)又不會(huì)用幾何法解題而丟分.求空間直角坐標(biāo)下點(diǎn)的坐標(biāo)的方法
.求空間直角坐標(biāo)下點(diǎn)的坐標(biāo)的方法
為解決求點(diǎn)坐標(biāo)難的問題,現(xiàn)將在空間直角坐標(biāo)系中求點(diǎn)坐標(biāo)的方法整理總結(jié),以求能突破在空間直角坐標(biāo)系中求點(diǎn)坐標(biāo)難的問題。如何寫出或求出空間直角坐標(biāo)系下點(diǎn)的坐標(biāo)?.例
在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是矩形,AB=4,AD=2,平行六面體高為,頂點(diǎn)D在底面A1B1C1D1的射影O是C1D1中點(diǎn),設(shè)△AB1D1的重心G,建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系并寫出下列點(diǎn)的坐標(biāo)。(1)A1、B1、A、D1;(2)G;(3)B;(4)若N為DD1上點(diǎn),且ON⊥DD1寫出N坐標(biāo)。ABCDB1C1D1A1O.例
在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是矩形,AB=4,AD=2,平行六面體高為,頂點(diǎn)D在底面A1B1C1D1的射影O是C1D1中點(diǎn),設(shè)△AB1D1的重心G,建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系并寫出下列點(diǎn)的坐標(biāo)。(1)A1、B1、A、D1;(2)G;(1)A1
(2,-2,0)
、B1
(2,2,0)、A(2,0,)、D1
(0,-2,0)
(2)射影法公式法yzxABCDB1C1D1A1O.例
在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是矩形,AB=4,AD=2,平行六面體高為,頂點(diǎn)D在底面A1B1C1D1的射影O是C1D1中點(diǎn),設(shè)△AB1D1的重心G,建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系并寫出下列點(diǎn)的坐標(biāo)。(3)B;(3)設(shè)B(x,y,z),則
又∵,比較得
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為
ABCDB1C1D1A1Oyzx向量法.例
在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是矩形,AB=4,AD=2,平行六面體高為,頂點(diǎn)D在底面A1B1C1D1的射影O是C1D1中點(diǎn).(4)若N為DD1上點(diǎn),且ON⊥DD1寫出N坐標(biāo)。ABCDB1C1D1A1OyzxN解:(4)∵
三點(diǎn)共線,可設(shè)即,
∵故向量法.求空間直角坐標(biāo)下點(diǎn)的坐標(biāo)的方法:
一、投影法
將空間點(diǎn)P分別投影到
x軸、
y軸、z軸所得投影點(diǎn)為A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)則點(diǎn)P坐標(biāo)為(a,b,c)。二、公式法
利用線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式三角形的重心坐標(biāo)公式、距離公式、夾角公式等求出點(diǎn)的坐標(biāo)。三、向量法利用向量相等、垂直、共線等運(yùn)算求出點(diǎn)坐標(biāo)。.zxy例1.(2011廣西高考題)如圖,四棱錐S-ABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,側(cè)面SAB為等邊三角形,AB=BC=2,CD=SD=1.(I)證明:
SD⊥平面SAB
;(II)求AB與平面SBC所成的角的大小解析:(I)設(shè)S(x,y,z)(x>0,y>0,z>0)
由得又∵得
解得y=,z=S(1,,)∴(II)arcsin.B例2如圖,一張平行四邊形的硬紙ABC0D中,AD=BD=1,AB=.沿它的對(duì)角線BD折起,使點(diǎn)C0到達(dá)平面外C點(diǎn)的位置。若求二面角A
–
BD
–C的大小。
zyx,
解析:如圖A(1,0,0)B(0,1,0)∵CB⊥DB∴可設(shè)C(x,1,z)(z>0)∵,x=z=,解得C(,1,)∴60°.
如圖,四面體ABCD中,CA=BC=CD=BD=2,AB=AD=,試在BC上找一點(diǎn)E,使點(diǎn)E到平面ACD的距離為.O.zxyO是
BD中點(diǎn),AO⊥平面SAB
E.
如圖,四面體ABCD中,CA=BC=CD=BD=2,AB=AD=,試在BC上找一點(diǎn)E,使點(diǎn)E到平面ACD的距離為.Ozxy
解析一:x=y=,解得E(,,1
)故E為BC中點(diǎn)∴Ed==E.
如圖,四面體ABCD中,CA=BC=CD=2,AB=AD=,試在BC上找一點(diǎn)E,使點(diǎn)E到平面ACD的距離為.E.zxyE
解析二:平面ACD的平面方程為即到平面的距離=x=y=,解得E(,,1
)故E為BC中點(diǎn)∴O.如圖,已知AB⊥ɑ,
BCɑ,CD⊥BC,CD與平面ɑ成30°角,AB=BC=CD=2.(1)求線段AD的長;(2)求二面角D-AC-B的正弦值。B(0,0,0),A(0,0,2),C(0,2,
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