理論力學(xué)課件：剛體的平面運動

剛體的平面運動8.1剛體平面運動的概述8.2剛體平面運動的分解平面運動方程8.3平面圖形上各點的速度8.4平面圖形上各點的加速度思考題

8.1剛體平面運動的概述

車輪沿直線軌道的滾動(見圖8-1(a)),曲柄連桿機構(gòu)中連桿AB的運動(見圖8-1(b))等,這些剛體的運動既不是平動,也不是定軸轉(zhuǎn)動,但它們運動時有一個共同的特征,即其上任意一點與某固定平面的距離始終保持不變。換句話說,剛體內(nèi)各點都在與這固定平面平行的各平面內(nèi)運動,剛體的這種運動稱為平面運動。圖8-1

對圖8-2所示的做平面運動的剛體,作與固定平面Ⅰ平行的平面Ⅱ,平面Ⅱ與剛體相交截得一平面圖形S。剛體運動時,平面圖形S將始終在平面Ⅱ內(nèi)運動。在剛體內(nèi)任取一垂直于平面圖形S的線段A1A2,顯然線段A1A2做平動。這樣,線段A1A2與平面圖形S的交點A的運動就代表線段A1A2的運動。同理,圖形S內(nèi)點B的運動就代表了直線B1B2的運動。因而圖形S內(nèi)各點的運動就分別代表了剛體內(nèi)各相應(yīng)直線的運動,即圖形S的運動就代表了整個剛體的運動。所以剛體的平面運動可簡化為平面圖形S在其自身平面內(nèi)的運動。圖8-2

8.2剛體平面運動的分解平面運動方程

在平面圖形S上任取兩點A、B,其位置可由連線AB來確定,如圖8-3所示。圖形S從初始位置Ⅰ運動到位置Ⅱ(位置Ⅰ、Ⅱ分別用AB、A1B1確定),可分兩步完成:先使線段AB平移至A1B2,再使A1B2繞A1點轉(zhuǎn)過角度Δφ后到A1B1位置。此過程表明平面運動可分解為平動和轉(zhuǎn)動,也就是說,平面運動是平動和轉(zhuǎn)動的合成運動。圖8-3

為描述平面圖形S在其自身平面內(nèi)的運動,可在固定平面內(nèi)選取靜坐標系Oxy,在S上的A點(基點)處取坐標系A(chǔ)x'y',如圖8-4所示。圖8-4

由于平面圖形在其自身平面內(nèi)的位置完全可由圖形上任意直線段AB的位置來確定,而此直線AB的位置可由點A的兩個坐標xA、yA

和線段AB與x軸的夾角φ來確定。當(dāng)圖形S運動時,xA、yA

和φ都隨時間而變化,且是時間t的單值連續(xù)函數(shù),即

式(8-1)稱為平面圖形S的運動方程,即剛體的平面運動方程。其中前兩式描述的是圖形的平動部分,而第三式描述的是圖形的轉(zhuǎn)動部分。圖8-5

可得結(jié)論:平面圖形的運動可分解為平面圖形隨基點的平動和平面圖形繞基點的轉(zhuǎn)動,其中平動的速度和加速度與基點的選擇有關(guān),而轉(zhuǎn)動的角速度和角加速度與基點的選擇無關(guān)。

8.3平面圖形上各點的速度

1.基點法(速度合成法)由于平面圖形S的運動可分解為隨基點的平動(牽連運動)和繞基點的轉(zhuǎn)動(相對運動),因此,圖形S內(nèi)任一點的速度可根據(jù)點的速度合成定理來確定。

設(shè)圖形S在某瞬時的位置如圖8-6所示。已知此瞬時圖形上點A的速度為vA,圖形的角速度為ω,根據(jù)點的速度合成定理,圖形上任一點B的速度為

由于圖形的牽連運動是隨基點A的平動,而相對運動是繞基點A的轉(zhuǎn)動,因此圖形上任一點B的牽連速度ve就等于基點A的速度vA(見圖8-7(a)示),即圖8-6圖8-7

而點B的相對速度vr

等于以AB為半徑、繞點A做圓周運動時的速度vBA,即vr

=vBA,其大小vBA=AB·ω,方向垂直于轉(zhuǎn)動半徑AB,指向由ω的轉(zhuǎn)向確定,如圖8-7(b)所示。將ve

=vA、vr

=vBA代入上式,有

式(8-2)表明:平面圖形上任一點的速度等于基點的速度與該點繞基點轉(zhuǎn)動的速度的矢量和。這種求圖形上任一點速度的方法,稱為合成法,又稱基點法。

【例8-1】圖8-8所示的AB桿,A端沿墻面下滑,B端沿地面向右運動。在圖示位置,桿與地面間的夾角為30°,這時B點的速度vB=10cm/s,試求該瞬時端點A的速度vA和桿中點D的速度vD。圖8-8

１圖8-9

式(8-3)表明:平面圖形上任意兩點的速度在這兩點連線上的投影相等。這個規(guī)律稱為速度投影定理,應(yīng)用此定理分析平面圖形上點的速度的方法稱為速度投影法。式(8-3)為投影方程式,可求解一個未知量。如果已知圖形上一點A的速度,又知另一點B的速度方向,則B點速度大小應(yīng)用此定理求解非常方便。

【例8-3】求例8-1題中AB桿A端的速度。

解速度分析如圖8-8所示,將vA

、vB投影到AB線上,由速度投影定理,得

解得

此方法與基點法求得的結(jié)果相同。

3.速度瞬心法

用合成法求平面圖形上任一點速度時,若選取速度為零的點作為基點,則圖形上任一點的速度就等于該圖形繞基點轉(zhuǎn)動的速度,這樣可使計算簡化。

一般情況下,每一瞬時,平面圖形上(或其延伸部分)都唯

一地存在一個速度為零的點。設(shè)某瞬時圖形上某一點A的速度為vA,圖形的角速度為ω,如圖8-10所示。圖8-10

在圖8-11所示的瞬時,盡管圖形上各點的速度分布規(guī)律與剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時各點速度分布規(guī)律相同,但圖形的瞬時轉(zhuǎn)動與剛體的定軸轉(zhuǎn)動并不相同,因為瞬心C具有瞬時性,圖形的運動可看成是繞一系列瞬心的瞬時轉(zhuǎn)動。因此速度瞬心又稱為速度瞬時轉(zhuǎn)動中心。圖8-11

速度瞬心法是求解平面圖形上任意點速度的常用方法。應(yīng)用此方法應(yīng)先確定瞬心的位置,下面介紹幾種確定速度瞬心位置的方法。

(1)已知某瞬時圖形上A、B兩點速度方向。由于圖形上各點的速度應(yīng)垂直于各點至瞬心的連線,所以過A、B兩點分別作速度方向的垂線,兩直線的交點C就是圖形的瞬心,如圖8-12所示。圖8-12

(2)已知某瞬時圖形上A、B兩點的速度vA、vB,速度方向均垂直于連線AB,大小不等。不論vA、vB的指向相同(見圖8-13(a))或相反(見圖8-13(b)),圖形的瞬心C都在連線AB的延長線和速度vA、vB兩矢端連線的交點上。

(3)已知某瞬時圖形上A、B兩點的速度相同,即vA=vB

。顯然圖形的速度瞬心在無窮遠處。圖形做瞬時平動時,在該瞬時圖形上各點的速度都相等,角速度ω=0,如圖8-14所示。需要指出,瞬時平動不同于前面所講的剛體的平動,瞬時平動只表明該瞬時圖形上各點的速度相等。１圖8-13圖8-14

(4)平面圖形沿另一固定面上做純滾動時,因接觸點的速度為零,故接觸點就是圖形的速度瞬心,如圖8-15所示。圖8-1

【例8-4】圖8-16所示的滾壓機構(gòu)的滾子沿水平面做純滾動。曲柄OA長r=10cm,以n=30r/min等轉(zhuǎn)速繞O軸轉(zhuǎn)動。滾子半徑R=10cm,連桿AB長為17.32cm。求當(dāng)曲柄與水平面夾角α=60°,且連桿AB與曲柄垂直時,滾子的角速度。圖8-1

【例8-5】圖8-17所示為一曲柄滑塊機構(gòu)。設(shè)曲柄OA以勻角速度ω轉(zhuǎn)動,曲柄OA長為R,連桿AB長為l。求任意瞬時滑塊B的速度及連桿AB的角速度。圖8-17

【例8-6】在圖8-18所示機構(gòu)中,已知各桿長OA=20cm、AB=80cm、DB=60cm、O1D=40cm,OA桿轉(zhuǎn)動的角速度ω0=10rad/s。求圖示位置時桿ωBD、ωO1D及桿BD的中點M的速度。圖8-18

8.4平面圖形上各點的加速度

下面介紹用基點法求平面圖形內(nèi)各點加速度的方法。圖8-19所示的平面圖形在做平面運動,其上O點的加速度為aO,圖形轉(zhuǎn)動的角速度、角加速度分別為ω、α。選點O為基點,則其上任一點M的加速度可由牽連運動為平動時點的加速度合成定理求得。圖8-19

圖形上M點的絕對加速度為

【例8-7】圖8-20所示為外嚙合行星齒輪機構(gòu),其中曲柄OO'=l,以勻角速ω1繞定軸O轉(zhuǎn)動,大齒輪Ⅰ固定,行星輪Ⅱ的半徑為r,在輪Ⅰ上只滾不滑。求圖示位置輪緣上A、B兩點的加速度aA及aB(A點在OO'的延長線上,而B點位于通過O'點并與OO'垂直的半徑上)。圖8-20

【例8-8】車輪沿直線做純滾動,如圖8-21所示。已知輪心的速度為vO、加速度aO

,輪子半徑R。求車輪上速度瞬心的加速度。圖8-21

圖8-22

思考題

8-1火車在水平彎道上行駛時,車輪的運動是不是平面運動?8-2剛體的平面運動可以分解為平動和轉(zhuǎn)動,那么剛體定軸轉(zhuǎn)動是不是平面運動的特殊情況?剛體的平動是否也一定是平面運動的特殊情況?8-3在思考題8-3圖所示的兩運動機構(gòu)中,試分別指出各剛體作何種運動?思考題8-3圖

8-4已知O1A=O2B,機構(gòu)在思考題8-4圖所示瞬時,ω1和ω2、α1和α2是否相等?思考題8-4圖

8-5已知某瞬時圖形上O點的加速度為a0,圖形的角速度ω=0,角加速度為α0,如思考題8-5圖所示,試指出圖形上過O點并垂直于a0的直線mn上各點加速度的方向。

思考題8-5圖

8-6正方形平面圖形ABCD在自身平面內(nèi)運動,A、B、C、D四點速度大小相等,方向如思考題8-6圖所示。問這兩種情況的速度分布是否可能。思考題8