新教材2020-2021學年高二數(shù)學上學期期末復習模擬測試題五

2020-2021學年高二期模數(shù)學試卷五

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.（5分）下列說法正確的是（）

A.任何三個不共線的向量可構(gòu)成空間向量的一個基底

B.空間的基底有且僅有一個

C.兩兩垂直的三個非零向量可構(gòu)成空間的一個基底

D.直線的方向向量有且僅有一個

2.（5分）直線x+Gy+l=0的傾斜角是（）

7C.生反

A.—B.CD.

6T36

3.(5分)已知24=(2,1,-3),PB=(-\,2,3),PC=(7,6,團，若P,N,B,

。四點共面，則4=（)

A.9B.-9C.-3D.3

4.（5分）已知實數(shù)x,y滿足x+y+2=0,那么9+y?的最小值為（）

A.—B.應C.2D.4

2

5.（5分）直線3x+2y-l=0的一個方向向量是（）

A.（2,-3）B.（2,3）C.（-3,2）D.（3,2）

6.（5分）正四面體ABC。中，M,N分別是BC,4）的中點，則直線AM和CN夾角的

余弦值為（）

A旨R屈,a02

A.D.1/?U.一

3323

7.（5分）棱長為1的正方體ABCD-AgCQ中，。是面的中心，則。到平面

的距離是（）

.1口垃「也口0

A?—D.C.U.

2422

8.（5分）已知圓C的方程為（x-3『+（y-4）2=I,過直線/:3x+ay-5=0上任意一點作圓

C的切線，若切線長的最小值為癡，則直線/的斜率為（）

34

A.4B.-4C.--D.--

43

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小給出的選項中，有多項符合題目

要求全部逸對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分.

9.（5分）下列敘述正確的有（）

A.平面直角坐標系中的任意一條直線都有斜率

B.平面直角坐標系中的任意一條直線都有傾斜角

C.若則6=C

D.任意兩個空間向量共面

10.（5分）古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，

著作中有這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)%（&>0且％=1）的點的軌跡是圓，

后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.已知0（0,0）,A（-8,0）,圓C:（x頊2+y2=r,r內(nèi)上有

且僅有一個點尸滿足|PA|=3|PO|,則廠的取值可以為（）

A.2B.4C.6D.8

11.（5分）如圖，棱長為1的正方體ABCO-A4G2中，E,尸分別為。2，的中點,

則（)

A.直線FG與底面ABC。所成的角為30。

B.平面A81￡與底面A8C￡＞夾角的余弦值為士

3

C.直線尸￡與直線AE的距離為辛

D.直線FG與平面ABE的距離為1

12.（5分）設有一組圓G：（x-2k+l）2+（y-幻2=1,下列說法正確的是（）

A.這組圓的半徑均為1

B.直線2x-y+2=0平分所有的圓C?

C.直線2x-3y+l=0被圓C/截得的弦長相等

D.存在一個圓G與x軸和y軸均相切

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）已知///a,直線/的一個方向向量為（“，2,1）,平面a的一個法向量為（1,,

2

2）,則實數(shù)a的值為.

14.（5分）當直線/:（，〃+l）x+（2相+l）y—7相-4=0（相eR）被圓C:（x—2）2+（y—l）2=25截

得的弦最短時，實數(shù)〃?的值為—.

15.（5分）圓G:/+丫2+28一3=0與圓G：x2+y2-4x-8y+〃?=0恰有四條公切線，則實

數(shù)〃?的取值范圍為一.

16.(5分)如圖，正方體4B8-ABCQ的棱長為1，P為4A的中點，M在側(cè)面原田出

上，若DtM±CP,則ABCM面積的最小值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程成演算步驟.

17.(10分)已知A(-3,O),8(3,0),動點”到點A的距離是它到點8的距離的百倍.

(1)求點M的軌跡方程；

(2)已知過點尸(1,0)的直線/截(1)中M的軌跡的弦長為2夕，求直線/的方程.

18.(12分)如圖，圓的直徑AC=2,6為圓周上異于A,C的點，上4垂直于圓所在平面,

ZPCA=45°.

(1)求證：BC1PB；

(2)若sinNBPC=必，求平面8cp與平面ACP夾角的余弦值.

4

19.(12分)敘述并證明直線與平面垂直的判定定理.

20.（12分）小島A處東偏南。角方向??。=9300粒的海面P處生成一個臺風，臺風侵

襲的范圍為半徑60bn圓形區(qū)域，并以10%"?//?的速度不斷增大.該臺風以20h〃//?的速度

向西偏北45。方向移動.

（1）10小時后，該臺風是否開始侵襲小島？說明理由；

（2）一艘漁船在生成臺風8小時后到達小島躲避臺風，漁船需在小島停留多長時間才能離

開小島？

21.（12分）如圖所示，在四棱錐尸-A8CQ中，側(cè)面皿＞，底面488,側(cè)棱以=叨=應，

底面ABC。為直角梯形，BC//AD,AB±AD,AB=BC=\.。為4）的中點.

（1）求證：€1。_1面d0；

（2）求直線AP與平面PCD所成角的正弦值;

（3）求平面BPC與平面PCO夾角的余弦值.

22.（12分）平面直角坐標系xQy中，已知點尸（2,4）,圓+y2=4與*軸的正半軸交于

點Q.

(1)若過點尸的直線與圓。相切，求直線4的方程;

(2)若過點P的直線4與圓。交于不同的兩點4,B.

①設直線QA,的斜率分別是勺，與，問勺+&是否為定值，若是，求出此定值，若不

是，請說明理由；

②設線段的中點為點N(1,O),若MN=、OM,求直線AB的方程.

2020-2021學年高二期模數(shù)學試卷五

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共4（）分.在每小給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.（5分）下列說法正確的是（）

A.任何三個不共線的向量可構(gòu)成空間向量的一個基底

B.空間的基底有且僅有一個

C.兩兩垂直的三個非零向量可構(gòu)成空間的一個基底

D.直線的方向向量有且僅有一個

【解答】解：對于A,任何三個不共面的向量可構(gòu)成空間向量的一個基底，

三個不共線的向量不能構(gòu)成空間向量的一個基底，所以A錯誤；

對于8,任何三個不共面的向量可構(gòu)成空間向量的一個基底，所以8錯誤；

對于C,兩兩垂直的三個非零向量不共面，可構(gòu)成空間的一個基底，C正確；

對于。，直線的方向向量有無數(shù)個，它們是共線向量，所以。錯誤.

故選：C.

2.（5分）直線x+gy+l=0的傾斜角是（）

A.-B.-C.—D.—

6336

【解答】解：設直線的傾斜角為。，由題意直線的斜率為-坐，即tana=-坐

33

所以。=至

6

故選：D.

3.(5分)已知PA=(2,1,-3),PB=(—1,2,3),PC=(7,6,2),若「，A,B,

C四點共面，則X=()

A.9B.-9C.-3D.3

【解答】解：PA=(2,I,-3),PB=(-1,2,3),PC=(7,6,A.),

P,A,B,C四點共面，

PC=xPA+yPB,

(7,6,2)=x(2,1,-3)+y(-l,2,3),

解得2=-9.

故選：B.

4.（5分）已知實數(shù)x,y滿足x+y+2=0,那么f+/的最小值為（）

A.叵B.0C.2D.4

2

【解答】解：求V+y）的最小值，就是求x+y+2=0上的點到原點的距離平方的最小值,

轉(zhuǎn)化為坐標原點到直線x+y+2=0距離的平方,

即片=（上學工）2

=2.

故選：C.

5.（5分）直線3x+2y-1=0的一個方向向量是（）

A.(2,-3)B.(2,3)C.(-3,2)D.(3,2)

【解答】解：依題意，（3,2）為直線的一個法向量,

則直線的一個方向向量為（2,-3）,

故選：A.

6.（5分）正四面體ABC。中，M,N分別是8C,4）的中點，則直線AM和CN夾角的

余弦值為（）

A若B指c&n2

A.D.V?U?一

3323

【解答】解：連接DW,取DW中點E,連接NE,CE,

設正四面體ABCD中棱長為2,

M,N分別是BC,A￡＞的中點，

NE//AM,ACNE是直線AM和CN夾角，

NE=-AM=-V22-l2=—,CN=4*-f=后,

222

CE=y1ME2+MC2=［吟丫+12=-y-,

直線AM和CN夾角的余弦值為:

3+3」

CN2+NE2-CE22

cosZCNE=44

2xCNxNE3

故選：D.

7.(5分)棱長為1的正方體ABC￡)-A3CQ中，。是面BCCf的中心，則。到平面3C￡)M

的距離是()

.1n應「近n0

A?—D.C.U.

2422

【解答】解：如圖

過。作8片的平行線交Bg于E,則E為Bg的中點，

取AD的中點G,連接EG,由4E//AG,BtE=AG,可得四邊形AqEG為平行四邊形，

得ABt//GE,

8CJ_平面A4.4B,BC±AB,,又BC=B,

得44_1平面8。44，則65_18<7〃4，則￡到平面8?！?的距離為3￡：6=344=乎，

又。為跖的中點，。到平面8C2A的距離是日.

故選：B.

8.(5分)已知圓C的方程為(x-3)?+(y-4)2=1,過直線/:3x+ay-5=0上任意一點作圓

C的切線，若切線長的最小值為岳，則直線/的斜率為()

34

A.4B.-4C.—二D.—二

【解答】解：由(x—3y+(y—4尸=1,得圓心坐標為(3,4),

過直線，:3x+ay-5=0上任意一點作圓C的切線,

要使切線長最小，即圓心到直線/:3x+“y-5=0的距離最小,

圓的半徑為1,切線長為歷，

圓心到直線/:3x+@一5=0的距離等于"+（后＞=4.

由|3x管”5",解得：。=4.

V9+a2

此時直線/的斜率為-3=-』.

a4

故選：C.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小給出的選項中，有多項符合題目

要求全部逸對的得5分，有選錯的得（）分，部分選對的得3分.

9.（5分）下列敘述正確的有（）

A.平面直角坐標系中的任意一條直線都有斜率

B.平面直角坐標系中的任意一條直線都有傾斜角

C.若?！?ac,則匕=c

D.任意兩個空間向量共面

【解答】解：對于A和B：平面直角坐標系內(nèi)，任意直線都有傾斜角，當直線垂直于x軸時,

直線的斜率不存在，故A錯誤，B正確；

對于C：若。孑=ac,不能判定，和c的關系，故C錯誤；

對于。：由于向量可以任意平移，所以任意兩個空間向量共面，故O正確；

故選：BD.

10.（5分）古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，

著作中有這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)我（&>0且人片1）的點的軌跡是圓，

后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.已知0（0,0）,A（-8,0）,圓2+y2=Nr上有

且僅有一個點P滿足|PA|=3|PO|,則r的取值可以為（）

A.2B.4C.6D.8

【解答】解：設尸（x,y）,由|PA|=3|PO|,得。+8）2+丫2=9/+9/，

整理得（x-l）2+V=9,又點P是圓。：（犬+4）2+丫2=/（廠>0）上有且僅有的一點，

所以兩圓相切，

圓（x-iy+y2=9的圓心坐標為（］,0）,半徑為3,

圓C:（x+4）2+y2=，（r>0）的圓心坐標為（-4,0）,半徑為r,

兩圓的圓心距為5,

當兩圓外切時，r+3=5,得r=2,

當兩圓內(nèi)切時，|r—31=5,得r=8.

故選：AD.

11.（5分）如圖，棱長為1的正方體A8CL>-AgG2中，E,F分別為的中點,

則（)

A.直線FG與底面ABC。所成的角為30。

B.平面A81￡與底面A8C￡＞夾角的余弦值為士

3

C.直線尸G與直線AE的距離為辛

D.直線FG與平面ABE的距離為1

【解答】解：以。為原點，D4為x軸，DC為)，軸，OR為z軸，建立空間直角坐標系,

對于A,F(1,1,g),G(0,1,1),FCX=(-E0,1),

平面ABCQ的法向量A4,=(0,0,1),

設直線FG與底面ABC。所成的角為。，

1

PC_2__X5

則sin0-IM,\

IMII^GiJ

：.直線FC,與底面ABCD所成的角為arcsin今故A錯誤;

對于8,>4(1,0,0),q(l,1,1),E(0,0,-),

M=(0,I,1),A￡=(-l,0,1),

設平面的法向量”=(x,y,z),

nAB1=y+z=0

則i,取z=2,得〃=(1,-2,2),

nAE=-x+—z=O

I2

設平面AKE與底面ABC。夾角為a,

則cosa=1AA和二

14Ali"I3

7

平面A耳E與底面ABCD夾角的余弦值為故8正確;

對于C,FC.=(-1,0)-,A￡=(-l,0,一)，F(xiàn)E=(-\,-1,0)

22

直線FC,與直線AE的距離為:

對于Q,FCJ/AE,AEu平面AgE,下弓仁平面AgE,

//平面A0E,又AF=(0,1,1),平面的法向量”=(1,-2,2),

直線與平面的距離為：

FCtAB.E

,IAFn|11八〒5

h=--------=7=一,故。正確.

I〃I793

故選：BCD.

12.（5分）設有一組圓G：（x-2A+l）2+（y-Z:）2=i,下列說法正確的是（）

A.這組圓的半徑均為1

B.直線2x-y+2=0平分所有的圓G

C.直線2x-3y+l=0被圓G截得的弦長相等

D.存在一個圓C*與x軸和y軸均相切

【解答】解：圓G：（x-2左+l）2+（y-k）2=i,可得圓心坐標為:（2%-1,外，半徑為1,故

A正確；

把（2Z-1,幻代入2x-y+2=0,得露Ab-ki爭心不恒成立，即直線2x-y+2=0不

恒過圓心，故B錯誤；

|2(2%-1)-3&+1|伙-II

圓心（2%-1,外到直線2x-3y+l=0的距離d=不是定值,而圓的

>/13

半徑為定值,

則直線2x-3y+l=0被圓G截得的弦長不相等，故C錯誤;

若存在一個圓Q與x軸和y軸均相切，則|2k-l|=|Z|=l,解得上=1,故。正確.

故選：AD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(5分)已知〃/a,直線/的一個方向向量為(a,2,1),平面a的一個法向量為(1,-,，

2

2),則實數(shù)a的值為__1_.

【解答】解：直線/的一個方向向量為(a,2,1),

平面a的一個法向量為(1,.2),

2

:.(a,2,1)(1,--,2)=a-l+2=0,

2

解得實數(shù)。=-1.

故答案為：-1.

14.(5分)當直線/:(〃z+l)x+(2機+l)y-7機-4=0(meR)被圓C:(x-2>+(y-l)2=25截

得的弦最短時，實數(shù)m的值為.

-4-

【解答】解：直線/:(m+l)x+(2m+l)y-7根一4=0,即皿x+2y-7)+(x+y-4)=0,

圓C:(x—2)2+(y—1)2=25的圓心C(2,l)、半徑為5,

由｛I：：”解得口故直線，經(jīng)過定點A。,”

要使直線/被圓C截得的弦長最短，需CA和直線/垂直,

故有分人匕二T，Bp2zl(_22±L)=,i,

1-22m+1

解得m=—.

4

故答案為：-3.

4

15.(5分)圓。1：/+丁+2%-3=0與圓G：/+y2—4x—8y+m=0恰有四條公切線，則實

數(shù)機的取值范圍為_(11,20)_.

【解答】解：根據(jù)題意,圓G：Y+y2+2x—3=0,即(x+l)2+V=4,其圓心為(7,0),

半徑廠=2,

圓G—4%—8y+根=0,即(x—2)2+(y—4)2=20—,必有20—〃?>0,即機<20,

其圓心為(2,4),半徑R='2()—加，

兩圓的圓心距d=79+16=5,

若兩圓有4條公切線，則兩圓外離，必有5>\/20-/九+2,

解可得：/H>11,

又由機<20,則根的取值范圍為(11,20)

故答案為：(11,20).

16.(5分)如圖，正方體ABCO-A4GR的棱長為1，P為AA的中點，M在側(cè)面

上'若―，則MC例面積的最小值為—1—

【解答】解：以A為原點，AD為X軸，/W為y軸，AA為Z軸，建立空間直角坐標系,

貝|JP(O,0,；),C(l,1,0),0(0,1,1),

設”(a,0,b),則=(a,-1,b-\),CP=(-1,-1,-),

D.M1CP,

D.MCP=-a+\+-b--=O,解得〃=2“-l,

122

取AB中點N,連結(jié)qN,則點M的軌跡即為線段4N,

則當加與點。重合時，最小，

1X1

且BM的最小值為BM=BQ=BN?、==.=史

BN5

8C_L平面4B4A，

/.BCA-BM,

?/c\_1i6—石

.?(SABGW)〃而=/X]xw=而.

故答案為：用.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程成演算步驟.

17.(10分)已知4(-3,0),8(3,0),動點”到點A的距離是它到點8的距離的6倍.

(1)求點M的軌跡方程；

(2)已知過點尸(1,0)的直線/截(1)中M的軌跡的弦長為2不，求直線/的方程.

【解答】解：⑴設M(x,y),

因為A(-3,0),8(3,0),動點M到點A的距離是它到點8的距離的6倍,

所以*X+3)2+￡=6,整理得(x-6)?+y2=27.

J(x-3)2+3

.?.點M的軌跡方程是(x—6『+V=27.

(2)過點尸(1,0)的直線/截(1)中M的軌跡的弦長為24，

.??圓心到直線的距離為d=VF=7=2岔，

設直線/的方程為y=Z(x-l),即點一了一2=0,

圓心(6,0)到直線/的距離為普L=2也,

VP+1

「.&=±2,

直線I的方程為y=±2(x-1).

18.(12分)如圖，圓的直徑AC=2,8為圓周上異于A,C的點,P4垂直于圓所在平面,

ZPCA=45°.

(1)求證：BCLPB；

(2)若sin/BPC=逅，求平面BCP與平面ACP夾角的余弦值.

【解答】(1)證明：連接45,

3為圓周上異于A,C的點，R4垂直于圓所在平面,

BCLAB,BC1PA,

ABPA=A,，8C_L平面MB,

P8u平面BC1PB.

(2)解：圓的直徑AC=2,ZPCA=45°,sinZBPC=—,BC1PB,

4

PA=AC=2,PC=722+22=272,.?.華=逅，

2V24

=5.?.A8=j22_(揚2=1,

以8為原點，BC為x軸，84為y軸，過8作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標

系，

8(0,0,0),C(出,0,0),P(0,1,2),A(0,1,0),

BC=(G，0,0),BP=(0,1,2),AC=(6，-1,0),AP=(0,0,2),

設平面8cp的法向量〃=(x,y,z),

則卜8C=&=0,取),=2,得〃=(0,2,-1),

nBP=y+2z=0

設平面ACP的法向量加=(〃，8,c),

imAC=\/3a—b=0-./口八二八

則《，取。=1,得m=(1,v3，0),

mAP=2c=0

設平面BCP與平面ACP夾角為。,

則3"生旦=2=叵

\fn\\n\V5V45

平面BCP與平面ACP夾角的余弦值為半.

19.（12分）敘述并證明直線與平面垂直的判定定理.

【解答】解：定理敘述：若一條直線垂直于一個平面內(nèi)兩條相交直線，則該直線與此平面垂

直.

如圖，己知：直線,bc=A,alb,ale,求證：aJ■平面〃.

證明：設p是平面乃內(nèi)任意一條直線，則只需證

設直線a,h,c,p的方向向量分別是a,b,c,p,

只需證〃_Lp,

bc=A9

.?"與。不共線，

直線b,c,p在同一平面乃內(nèi),

根據(jù)平面向量基本定理存在實數(shù)力,4使得〃=勸+〃。，

貝ij〃)+〃(.c),

aA.b,ale,

ab=0,ac=0,

:.ap=Q,即a_Lp,

所以直線a垂直于平面乃.

20.（12分）小島A處東偏南9角方向（cos，=3）300h〃的海面P處生成一個臺風，臺風侵

襲的范圍為半徑60b*圓形區(qū)域，并以10公"/力的速度不斷增大.該臺風以20燈〃//?的速度

向西偏北45。方向移動.

（1）10小時后，該臺風是否開始侵襲小島？說明理由；

（2）一艘漁船在生成臺風8小時后到達小島躲避臺風，漁船需在小島停留多長時間才能離

開小島？

【解答】解：（1）以A為坐標原點，以正東方向為x軸，以正北方向為y軸，建立直角坐標

系.則9為第四象限角.

cosd=得，二sin。=,二P的坐標為（300cos，,300sin。），即尸（306,-21072）,

AP=（3O夜,-210揚,

臺風以20&"?//?的速度向西偏北45。方向移動，.?.臺風與x軸正方向成135。，

設t小時后臺風中心為Q(x,y),

P0=(2Orcosl35o,2Ofsinl35o),即尸Q=(-106,10傷)，

A0=AP+Pe=(3O^2-l(x/2r,-21O>/2+loV2O,

.x=30應:10"此時臺風的半徑R=60+10r,

^=-210\/2+10v2r

10小時后臺風中心(2(—7-,

AQ=J(-70&)2+(-110夜)2=J34000>,25600=160=R,即AQ>R,

.?」0小時后，該臺風沒有侵襲小島A.

(2)若小島A受到臺風侵襲，貝IJQ4R,

7(3072-1072?)2+(-21072+107202?60+10/,

化簡整理得：r-36/-288,,0,

(/-12)x(r-24)?0,

解得：12馴24,即臺風生成后12小時到24小時之間侵襲小島A,

二.漁船在小島停留時間是：24-8=16(小時).

21.(12分)如圖所示，在四棱錐P-A8CQ中，側(cè)面加〃底面ABCD，側(cè)棱PA=PD=叵,

Q4_LPD,底面A8CO為直角梯形，BC//AD,ABA,AD,AB=BC=1.。為AD的中點.

(1)求證：(:0_1面八4。；

(2)求直線AP與平面PCD所成角的正弦值；

(3)求平面8PC與平面PCO夾角的余弦值.

【解答】(1)證明：在AftA力中24=電>,。為AO中點，

POLAD,

又側(cè)面R4OJ_底面A8C￡),平面Q4￡>C平面ABC。=AD,P。u平面孫￡),

P。_L平面ABCD,

COu平面ABCD,CO±PO,

側(cè)棱尸A=P￡>=忘，PAVPD,:.AD=>/2+2=2,

底面43co為直角梯形，BC//AD,ABLAD,AB=BC=\.。為4D的中點，

COLAD,

POAD=O,.,.(^。，面/^).

(2)解：以。為原點，0C為x軸，。。為y軸，。尸為z軸，建立空間直角坐標系,

則4(0,-1,0),尸(0,0,1),C(1,0,0),D(0,1,0),

"=(0,1,1),PC=(\,0,-1),PD=(Q,1,-1),

設平面PC。的法向量"=(x,y,z),

enPC=x-z=0』.

則1，取x=1,得〃=(1,1,1),

nPD=y-z=0

設直線AP與平面PC。所成角為。，

則直線AP與平面PCD所成角的正弦值為:

sin*U_=3*.

\AP\\n\&出3

(3)解：8(1,-1,