高中常用函數(shù)性質(zhì)及圖像匯總

高中常用函數(shù)性質(zhì)及圖像匯總匯報(bào)人：XXX2024-01-22contents目錄函數(shù)基本概念與性質(zhì)一次函數(shù)與二次函數(shù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)三角函數(shù)與反三角函數(shù)冪函數(shù)與分式函數(shù)復(fù)合函數(shù)與抽象函數(shù)01函數(shù)基本概念與性質(zhì)函數(shù)定義設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)。函數(shù)的表示方法解析法、列表法、圖象法。函數(shù)定義及表示方法在函數(shù)定義域內(nèi)，若對(duì)于任意兩個(gè)自變量x1、x2（x1<x2），都有f(x1)≤f(x2)（或f(x1)≥f(x2)），則稱(chēng)函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增（或單調(diào)遞減）。若對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=-f(x)（或f(-x)=f(x)），則稱(chēng)函數(shù)為奇函數(shù)（或偶函數(shù)）。函數(shù)單調(diào)性與奇偶性奇偶性單調(diào)性周期性：若存在一個(gè)正數(shù)T，使得對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(x+T)=f(x)，則稱(chēng)函數(shù)為周期函數(shù)，T為函數(shù)的周期。函數(shù)周期性若存在一個(gè)正數(shù)M，使得對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有|f(x)|≤M，則稱(chēng)函數(shù)為有界函數(shù)。有界性若函數(shù)不滿足有界性的條件，則稱(chēng)函數(shù)為無(wú)界函數(shù)。無(wú)界性函數(shù)有界性與無(wú)界性02一次函數(shù)與二次函數(shù)性質(zhì)一次函數(shù)$f(x)=kx+b$（$kneq0$）具有線性性質(zhì)，即函數(shù)值隨自變量線性變化。圖像一次函數(shù)的圖像是一條直線，斜率為$k$，截距為$b$。當(dāng)$k>0$時(shí)，直線從左至右上升；當(dāng)$k<0$時(shí)，直線從左至右下降。一次函數(shù)性質(zhì)及圖像二次函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$（$aneq0$）具有拋物線性質(zhì)，即函數(shù)值隨自變量呈拋物線變化。性質(zhì)二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，開(kāi)口方向由系數(shù)$a$決定。當(dāng)$a>0$時(shí)，拋物線開(kāi)口向上；當(dāng)$a<0$時(shí)，拋物線開(kāi)口向下。對(duì)稱(chēng)軸為$x=-frac{2a}$，頂點(diǎn)坐標(biāo)為$left(-frac{2a},c-frac{b^2}{4a}right)$。圖像二次函數(shù)性質(zhì)及圖像二次函數(shù)最值問(wèn)題最大值/最小值對(duì)于開(kāi)口向上的拋物線（$a>0$），函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最小值；對(duì)于開(kāi)口向下的拋物線（$a<0$），函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值。求解方法通過(guò)配方或利用頂點(diǎn)公式，可求得二次函數(shù)的最值。形如$ax^2+bx+c=0$（$aneq0$）的方程稱(chēng)為一元二次方程。一元二次方程一元二次方程的解即為對(duì)應(yīng)二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。通過(guò)求解一元二次方程，可以得到二次函數(shù)的零點(diǎn)（即與x軸交點(diǎn)）。二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系03指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)010405060302指數(shù)函數(shù)定義：形如$y=a^x$（$a>0$，$aneq1$）的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)。指數(shù)函數(shù)性質(zhì)函數(shù)圖像過(guò)定點(diǎn)$(0,1)$。當(dāng)$a>1$時(shí)，在定義域內(nèi)為增函數(shù)；當(dāng)$0<a<1$時(shí)，在定義域內(nèi)為減函數(shù)。指數(shù)函數(shù)的值域?yàn)?(0,+infty)$。指數(shù)函數(shù)圖像：根據(jù)$a$的不同取值，圖像會(huì)呈現(xiàn)不同的單調(diào)性，但都會(huì)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)$(0,1)$。指數(shù)函數(shù)性質(zhì)及圖像對(duì)數(shù)函數(shù)定義：形如$y=log_ax$（$a>0$，$aneq1$）的函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)。對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)函數(shù)圖像過(guò)定點(diǎn)$(1,0)$。當(dāng)$a>1$時(shí)，在定義域內(nèi)為增函數(shù)；當(dāng)$0<a<1$時(shí)，在定義域內(nèi)為減函數(shù)。對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)?(0,+infty)$，值域?yàn)?(-infty,+infty)$。對(duì)數(shù)函數(shù)圖像：根據(jù)$a$的不同取值，圖像會(huì)呈現(xiàn)不同的單調(diào)性，但都會(huì)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)$(1,0)$。對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)及圖像VS通過(guò)換元法、配方法、待定系數(shù)法等方法將指數(shù)方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程進(jìn)行求解。對(duì)數(shù)方程解法通過(guò)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)（如換底公式、對(duì)數(shù)的和差公式等）將對(duì)數(shù)方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程進(jìn)行求解。指數(shù)方程解法指數(shù)方程和對(duì)數(shù)方程解法指數(shù)函數(shù)應(yīng)用舉例在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，復(fù)利公式就是一種指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用；在物理學(xué)中，放射性元素的衰變也遵循指數(shù)規(guī)律。對(duì)數(shù)函數(shù)應(yīng)用舉例在音樂(lè)中，音階的頻率與音高之間的關(guān)系可以用對(duì)數(shù)函數(shù)來(lái)描述；在化學(xué)中，酸堿滴定實(shí)驗(yàn)中的pH值計(jì)算也涉及對(duì)數(shù)運(yùn)算。指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)應(yīng)用舉例04三角函數(shù)與反三角函數(shù)三角函數(shù)定義三角函數(shù)的周期性三角函數(shù)的奇偶性三角函數(shù)的增減性三角函數(shù)基本概念和性質(zhì)01020304正弦、余弦、正切等函數(shù)在直角三角形中的定義及在各象限的符號(hào)規(guī)律。正弦、余弦函數(shù)周期為2π，正切函數(shù)周期為π。正弦函數(shù)為奇函數(shù)，余弦函數(shù)為偶函數(shù)，正切函數(shù)為奇函數(shù)。在各象限內(nèi)，正弦、余弦函數(shù)的增減性及其與角度的關(guān)系。三角函數(shù)圖像變換規(guī)律函數(shù)y=Asin(ωx+φ)中，A表示振幅，控制圖像上下伸縮。ω控制周期，ω越大周期越小，反之周期越大。φ控制圖像的左右平移，φ>0時(shí)圖像左移，φ<0時(shí)圖像右移。函數(shù)圖像在垂直方向上的平移，由k控制，上移k個(gè)單位或下移|k|個(gè)單位。振幅變換周期變換相位變換垂直變換反三角函數(shù)定義域正弦、余弦函數(shù)的值域[-1,1]，正切函數(shù)的定義域?yàn)槌バ稳鏺π+π/2(k∈Z)的點(diǎn)的全體實(shí)數(shù)。要點(diǎn)一要點(diǎn)二反三角函數(shù)值域反正弦、反余弦函數(shù)的值域?yàn)閇-π/2,π/2]，反正切函數(shù)的值域?yàn)?-π/2,π/2)。反三角函數(shù)定義域和值域利用三角函數(shù)解決三角形中的角度和邊長(zhǎng)問(wèn)題。三角函數(shù)在幾何中的應(yīng)用振動(dòng)、波動(dòng)等問(wèn)題中，利用三角函數(shù)描述周期性變化。三角函數(shù)在物理中的應(yīng)用利用反三角函數(shù)解三角方程，如sinx=a(a∈[-1,1])的解為x=arcsina+2kπ(k∈Z)。反三角函數(shù)在解方程中的應(yīng)用將復(fù)合函數(shù)中的三角函數(shù)部分用反三角函數(shù)表示，便于求解和分析。反三角函數(shù)在復(fù)合函數(shù)中的應(yīng)用三角函數(shù)和反三角函數(shù)應(yīng)用舉例05冪函數(shù)與分式函數(shù)冪函數(shù)定義和性質(zhì)形如y=x^a(a為常數(shù)）的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量，冪為因變量，指數(shù)為常量的函數(shù)稱(chēng)為冪函數(shù)。定義冪函數(shù)的性質(zhì)取決于指數(shù)a的值。當(dāng)a>0時(shí)，冪函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)a<0時(shí)，冪函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)a=0時(shí)，冪函數(shù)為常數(shù)函數(shù)。性質(zhì)形如y=(ax+b)/(cx+d)（其中a、b、c、d為常數(shù)，且c≠0）的函數(shù)稱(chēng)為分式函數(shù)。分式函數(shù)的性質(zhì)取決于分子和分母的系數(shù)。當(dāng)c>0時(shí)，分式函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)c<0時(shí)，分式函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減。同時(shí)，分式函數(shù)在其定義域內(nèi)具有連續(xù)性和可導(dǎo)性。定義性質(zhì)分式函數(shù)定義和性質(zhì)冪函數(shù)圖像特點(diǎn)冪函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)（0,0），且當(dāng)x>0時(shí)，圖像位于第一象限；當(dāng)x<0時(shí)，圖像位于第三象限。隨著a值的增大或減小，圖像的形狀會(huì)發(fā)生變化。分式函數(shù)圖像特點(diǎn)分式函數(shù)的圖像通常具有兩條漸近線，一條是水平漸近線y=a/c（當(dāng)x→∞或x→-∞時(shí)），另一條是垂直漸近線x=-d/c（當(dāng)y→∞或y→-∞時(shí)）。在兩條漸近線之間，圖像呈現(xiàn)特定的形狀和變化趨勢(shì)。冪函數(shù)和分式函數(shù)圖像特點(diǎn)冪函數(shù)應(yīng)用舉例在物理學(xué)中，冪函數(shù)可以用來(lái)描述物體自由落體的速度v與時(shí)間t的關(guān)系，即v=gt^2（其中g(shù)為重力加速度）。此外，冪函數(shù)還可以用于描述放射性元素的衰變規(guī)律等。分式函數(shù)應(yīng)用舉例在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，分式函數(shù)可以用來(lái)描述某種商品的需求量與價(jià)格之間的關(guān)系。例如，需求函數(shù)Q=a-bP/（其中a、b為常數(shù)，P為商品價(jià)格）就是一個(gè)典型的分式函數(shù)。此外，分式函數(shù)還可以用于描述電路中的電流、電壓關(guān)系等。冪函數(shù)和分式函數(shù)應(yīng)用舉例06復(fù)合函數(shù)與抽象函數(shù)設(shè)函數(shù)$y=f(u)$的定義域?yàn)?D_f$，值域?yàn)?R_f$，函數(shù)$u=g(x)$的定義域?yàn)?D_g$，值域?yàn)?R_g$，且$R_gsubseteqD_f$，則函數(shù)$y=f[g(x)]$稱(chēng)為由函數(shù)$u=g(x)$與函數(shù)$y=f(u)$復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)。定義復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵循“同增異減”原則，即內(nèi)外層函數(shù)單調(diào)性相同時(shí)，復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；內(nèi)外層函數(shù)單調(diào)性相反時(shí)，復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)。性質(zhì)復(fù)合函數(shù)定義和性質(zhì)定義沒(méi)有給出具體解析式，只給出一些函數(shù)符號(hào)及其滿足的條件的函數(shù)稱(chēng)為抽象函數(shù)。性質(zhì)抽象函數(shù)的性質(zhì)通常通過(guò)給定的條件進(jìn)行推導(dǎo)，如對(duì)稱(chēng)性、周期性、單調(diào)性等。抽象函數(shù)定義和性質(zhì)復(fù)合函數(shù)圖像特點(diǎn)復(fù)合函數(shù)的圖像可以通過(guò)內(nèi)外層函數(shù)的圖像進(jìn)行合成得到。當(dāng)內(nèi)外層函數(shù)均為基本初等函數(shù)時(shí)，可以通過(guò)基本初等函數(shù)的圖像變換得到復(fù)合函數(shù)的圖像。抽象函數(shù)圖像特點(diǎn)抽象函數(shù)的圖像通常無(wú)法直接畫(huà)出，但可以通過(guò)給定的條件推斷出圖像的一些特征，如對(duì)稱(chēng)性、周期性等。復(fù)合函數(shù)和抽象函數(shù)圖像特點(diǎn)在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到需要通過(guò)多個(gè)步驟或多個(gè)因素共同影響才能得到結(jié)果的情況，這時(shí)就可以通過(guò)建立復(fù)合函數(shù)模型來(lái)描述這種關(guān)系。例如，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，