高中數(shù)學(xué)中對(duì)稱性問題說明書

1/1高中數(shù)學(xué)中對(duì)稱性問題-說明書

高中數(shù)學(xué)關(guān)于對(duì)稱方面的一些學(xué)問和應(yīng)用

對(duì)稱性與周期性

函數(shù)對(duì)稱性、周期性的推斷

1.函數(shù)yf(x)有f(ax)f(bx)（若等式兩端的兩自變量相加為常數(shù)，如

(ax)(bx)ab），則f(x)的圖像關(guān)于x

ab

軸對(duì)稱；當(dāng)ab時(shí)，若2

f(ax)f(ax)(或f(x)f(2ax))，則f(x)關(guān)于xa軸對(duì)稱；

2.函數(shù)yf(x)有f(xa)f(xb)（若等式兩端的兩自變量相減為常數(shù)，如

(xa)(xb)ab），則f(x)是周期函數(shù)，其周期Tab；當(dāng)ab時(shí)，若f(xa)f(xa)，則f(x)是周期函數(shù)，其周期T2a；

3.函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)P(a,b)對(duì)稱f(x)f(2ax)2b(或f(x)=2bf(2ax))；函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)P(a,0)對(duì)稱f(x)=f(2ax)(或f(ax)=f(ax))；4.奇函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)P(a,0)對(duì)稱yf(x)是周期函數(shù)，且T2a是函數(shù)的一個(gè)周期；偶函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)P(a,0)對(duì)稱yf(x)是周期函數(shù)，且T4a是函數(shù)的一個(gè)周期；5.奇函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于直線xa對(duì)稱yf(x)是周期函數(shù)，且T4a是函數(shù)的一個(gè)周期；偶函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于直線xa對(duì)稱yf(x)是周期函數(shù)，且T2a是函數(shù)的一個(gè)周期；

6.函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)M(a,0)和點(diǎn)N(b,0)對(duì)稱函數(shù)yf(x)是周期函數(shù)，且

T2(ab)是函數(shù)的一個(gè)周期；

7.函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于直線xa和直線xb對(duì)稱函數(shù)yf(x)是周期函數(shù)，且

T2(ab)是函數(shù)的一個(gè)周期。

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高中數(shù)學(xué)關(guān)于對(duì)稱方面的一些學(xué)問和應(yīng)用

點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱中心對(duì)稱問題（點(diǎn)對(duì)稱問題）直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱

曲線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱

對(duì)稱問題

點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱

軸對(duì)稱問題（線對(duì)稱問題）

直線關(guān)于直線的對(duì)稱

曲線關(guān)于直線的對(duì)稱

一、點(diǎn)對(duì)稱

(1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)問題

若點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則線段AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)是(

x1x2y1y2

,)；據(jù)此可以解求點(diǎn)與點(diǎn)的22

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高中數(shù)學(xué)關(guān)于對(duì)稱方面的一些學(xué)問和應(yīng)用

中心對(duì)稱，即求點(diǎn)M(x0,y0)關(guān)于點(diǎn)P(a,b)的對(duì)稱點(diǎn)M的坐標(biāo)(x,y)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得

'

a

x0xyy'

,b0，解算的M的坐標(biāo)為(2ax0,2by0)。

22

例如點(diǎn)M(6,-3)關(guān)于點(diǎn)P(1,-2)的對(duì)稱點(diǎn)M的坐標(biāo)是(4,1).

①點(diǎn)M(x0,y0)關(guān)于點(diǎn)P(a,b)的對(duì)稱點(diǎn)M的坐標(biāo)(2ax0,2by0)

'

''

;

②點(diǎn)M(x0,y0)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)M的坐標(biāo)(2ax0,2by0)=(x0,y0)

.(2)直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

①直線L：AxByC0關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱直線

設(shè)所求直線上一點(diǎn)為M(x,y)，則它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為M(x,y)，由于M點(diǎn)在直線L上，故有A(x)B(y)C0，即AxByC0；

②直線l1：AxByC0關(guān)于某一點(diǎn)P(a,b)的對(duì)稱直線l2它的求法分兩種狀況：

1)、當(dāng)P(a,b)在l1上時(shí)，它的對(duì)稱直線為過P點(diǎn)的任一條直線。

2)、當(dāng)P點(diǎn)不在l1上時(shí)，對(duì)稱直線的求法為：解法（一）：在直線l2上任取一點(diǎn)M(x,y)，則它關(guān)于

'

'

P的對(duì)稱點(diǎn)為M'(2ax,2by)，由于M'點(diǎn)在l1上，把

M'點(diǎn)坐標(biāo)代入直線在l1中，便得到l2的方程即為

A(2ax)B(2by)C，簡化為：0AxByC2aA2bB0.

解法（二）：在l1上取一點(diǎn)M(x1,y1)，求出M關(guān)于P點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)M'(2ax1,2b

y1)的坐標(biāo)。再

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高中數(shù)學(xué)關(guān)于對(duì)稱方面的一些學(xué)問和應(yīng)用

由Kl1Kl2

A

，可求出直線l2的方程。B

解法（三）：由Kl1Kl2，可設(shè)l1:AxByC0關(guān)于點(diǎn)P(a,b)的對(duì)稱直線為AxByC'

0

C'從而可求的及對(duì)稱直線方程。

(3)曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

曲線C1:f(x,y)0關(guān)于P(a,b)的對(duì)稱曲線的求法：設(shè)M(x,y)是所求曲線的任一點(diǎn)，則M點(diǎn)關(guān)于P(a,b)的對(duì)稱點(diǎn)為(2ax,2by)在曲線f(x,y)0上。故對(duì)稱曲線方程為f(2ax,2by)0。

二、直線的對(duì)稱

(1)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱

1)點(diǎn)P(a,b)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P'(a,b)2)點(diǎn)P(a,b)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為P'(a,b)3)關(guān)于直線xm的對(duì)稱點(diǎn)是P'(2ma,b)4)關(guān)于直線yn的對(duì)稱點(diǎn)是P'(a,2nb)5)點(diǎn)P(a,b)關(guān)于直線yx的對(duì)稱點(diǎn)為P'(b,a)6)點(diǎn)P(a,b)關(guān)于直線yx的對(duì)稱點(diǎn)為P'(b,a)

7)點(diǎn)P(a,b)關(guān)于某直線L:AxByC0的對(duì)稱點(diǎn)P'的坐標(biāo)

KPP'解法（一）：由PP'⊥L知，

AxByC0

BB直線PP'的方程→yb(xa)，由BAAyb(xa)A

可求得交點(diǎn)坐標(biāo)，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得對(duì)稱點(diǎn)P'的坐標(biāo)。

解法（二）：設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為P'(x,y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得中點(diǎn)坐標(biāo)為(

axby

,)把中點(diǎn)坐標(biāo)代入22

L中得到A

axbyBbyB

BC0①；②，再由KPP'得聯(lián)立①、②可得到P'點(diǎn)坐標(biāo)。22AaxA

解法（三）：設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為P'(x,y

)

①，再

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高中數(shù)學(xué)關(guān)于對(duì)稱方面的一些學(xué)問和應(yīng)用

由KPP'

BbyB

②，由①、②可得到P'點(diǎn)坐標(biāo)。得

AaxA

(2)直線l1關(guān)于直線l的對(duì)稱直線l2

設(shè)直線l:AxByC0，則l

關(guān)于x軸對(duì)稱的直線是AxB(y)C0關(guān)于y軸對(duì)稱的直線是A(x)ByC0關(guān)于yx對(duì)稱的直線是BxAyC0關(guān)

于

yx對(duì)稱的直線是

A(y)

B(x)

C

1)當(dāng)l1與l不相交時(shí)，則l1∥l∥l2

在l1上取一點(diǎn)M(x0,y0)求出它關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)M'的坐標(biāo)。再利用Kl1Kl2可求出l2的方程。2)當(dāng)l1與l相交時(shí)，l1、l、l2三線交于一點(diǎn)。解法（一）：先解l1與l組成的方程組，求出交點(diǎn)A的坐標(biāo)。則交點(diǎn)必在對(duì)稱直線l2上。再在l1上找一點(diǎn)B，點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)B'也在l2上，由A、B'兩點(diǎn)可求出直線

l2的方程。

解法（二）：在l1上任取一點(diǎn)P(x1,y1)，則P點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)Q在直線l2上，再由PQ⊥l，

KPQKL1。又PQ的中點(diǎn)在l上，由此解得x1f(x,y),y1g(x,y)，把點(diǎn)(x1,y1)代入直線l1的

方程中可求出l2的方程。

解法（三）：設(shè)l1關(guān)于l的對(duì)稱直線為l2，則l2必過l1與l的交點(diǎn)，且l2到l的角等于l到l1的角，從而求出l2的斜率，進(jìn)而求出l2的方程。

例：求直線l1:2xy30關(guān)于直線l:xy10對(duì)稱的直線l２的方程

解：設(shè)Mx,y為所求直線l２上任意一點(diǎn)，則其關(guān)于l對(duì)稱的點(diǎn)M'x1,y1在直線l１上.

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高中數(shù)學(xué)關(guān)于對(duì)稱方面的一些學(xué)問和應(yīng)用

yy1

11(MM'l,即KMM'Kl=-1)x11yxx1

y11xxx1yy110(MM'的中在l上)

22

又2x1y13021y1x30

故所求直線方程為x2y40(3)曲線關(guān)于直線對(duì)稱

曲線C1關(guān)于直線l的對(duì)稱曲線C2的方程，在C2上任取一點(diǎn)M(x,y)，可求出它關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，再代入C1中，就可求得C2的方程。

例：求圓xy1關(guān)于直線l：xy10的對(duì)稱圓的方程

解法（一）：設(shè)Mx,y為所求圓上任意一點(diǎn)，則其關(guān)于l對(duì)稱的點(diǎn)M'x1,y1在xy1上.

2

2

2

2

yy1

11(MM'l,即KMM'Kl=-1)x11yxx1

y1x1xx1yy110(MM'的中在l上)

22

x12y121y1x11--即為對(duì)稱圓的方程

解法（二）：求圓心（0，0）關(guān)于l對(duì)稱點(diǎn)C（1，1）

22

所求圓方程為y1x11

22

y2

1關(guān)于直線l：xy10對(duì)稱橢圓的方程例：求橢圓x2

2

y2

1上.解：設(shè)Mx,y為所求橢圓上任意一點(diǎn)，則其關(guān)于l對(duì)稱的點(diǎn)M'x1,y1在x2

2

x1y1x211y1

y1x21

2

綜合上述，求對(duì)稱問題通常采納變量替換、數(shù)形結(jié)合等解題思想。求對(duì)稱問題的通法是：⑴求對(duì)稱點(diǎn)一般采納，先設(shè)對(duì)稱點(diǎn)P(x,y)，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式或垂直、平分等條件，列出x,y的方程組，解方程組所得的解就是對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，⑵求對(duì)稱直線一般是：先設(shè)對(duì)稱曲線上任一點(diǎn)M(x,y)，再利用求對(duì)稱點(diǎn)的方程求出M點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)M'點(diǎn)坐標(biāo)，將M'點(diǎn)坐標(biāo)代入已知曲線方程中，所得的關(guān)于x,y的關(guān)系式，就是所求對(duì)稱曲線的方程。

通過上述討論，解析幾何中的各種對(duì)稱點(diǎn)，對(duì)稱曲線（包括直線）列表如下：

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三、函數(shù)圖像自身的對(duì)稱

(1)一般地，函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于x

ab

對(duì)稱yf(x)滿意f(ax)f(bx)2

證明:

),設(shè)P(x0,y0)是yf(x)的圖象上的任意一點(diǎn),則1)若yf(x)滿意f(ax)f(bx

y0f(x0),P(x0,y0)關(guān)于直線x

ab

的對(duì)稱點(diǎn)是Q(abx0,y0)2

由條件知f(abx0)f(b(bx0))f(x0)y0

所以Q(abx0,y0)在yf(x)的圖象上,故函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于x2)若函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于x

ab

對(duì)稱.2

ab

對(duì)稱.設(shè)P(x0,y0)是yf(x)的圖象上的任意一點(diǎn)，則2

P(x0,y0)關(guān)于x

ab

對(duì)稱點(diǎn)Q(abx0,y0)也在yf(x)的圖象上。從而有2

y0f(x0)f(abx0)。令bx0x則有f(ax)f(bx)

特例：

①當(dāng)b=a時(shí)，函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于xa對(duì)稱yf(x)滿意f(ax)f(ax)

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②當(dāng)a=0,b=2m時(shí)，函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于xm對(duì)稱yf(x)滿意f(x)f(2mx)③當(dāng)

a+b=0

時(shí)，函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于x0對(duì)稱

yf(x)滿意

f(a)xf(a或)x(fa)xfa(x

(2)函數(shù)yf(x)關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱

f(ax)f(ax)2，b或f(2ax)f(x)2b或

f(2ax)f(x)2b

簡證：設(shè)點(diǎn)(x1,y1)在yf(x)上，即y1f(x1)，通過f(2ax)f(x)2b可知，所以f(2ax1)2bf(x1)2by1，所以點(diǎn)(2ax1,2by1)也f(2ax1)f(x1)2b，

在yf(x)上，而點(diǎn)(2ax1,2by1)與(x1,y1)關(guān)于(a,b)對(duì)稱。得證。

四、兩個(gè)函數(shù)圖像的對(duì)稱

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五、周期性

1、一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)，假如存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(xT)f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期。說明：周期函數(shù)定義域必是無界的。

推廣：若f(xa)f(xb)，則f(x)是周期函數(shù)，ba是它的一個(gè)周期

2.若T是周期，則kT(k0,kZ)也是周期，全部周期中最小的正數(shù)叫最小正周期。一般所說的周期是指函數(shù)的最小正周期。

說明：周期函數(shù)并非都有最小正周期。如常函數(shù)f(x)C；

3、對(duì)于非零常數(shù)A，若函數(shù)yf(x)滿意f(xA)f(x)，則函數(shù)yf(x)必有一個(gè)周期為2A。證明：f(x2A)f[x(xA)]f(xA)[f(x)]f(x)

∴函數(shù)yf(x)的一個(gè)周期為2A。4、對(duì)于非零常數(shù)A，函數(shù)yf(x)滿意f(xA)

1

，則函數(shù)yf(x)的一個(gè)周期為2A。f(x)

證明：f(x2A)f(xAA)

1

f(x)。

f(xA)

1

，則函數(shù)yf(x)的一個(gè)周期為2A。f(x)

5、對(duì)于非零常數(shù)A，函數(shù)yf(x)滿意f(xA)

證明：f(x2A)f(xAA)

1

f(x)。

f(xA)

6、已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镹，且對(duì)任意正整數(shù)x

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都有f(x)f(xa)f(xa)(a0)則函數(shù)的一個(gè)周期為6a證明：f(x)f(xa)f(xa)（1）

f(xa)f(x)f(x2a)（2）

兩式相加得：f(xa)f(x2a)f(x)f(x3a)f(x6a)

六、對(duì)稱性和周期性之間的聯(lián)系

性質(zhì)1：函數(shù)yf(x)滿意f(ax)f(ax)，f(bx)f(bx)(ab)，求證：函數(shù)yf(x)是周期函數(shù)。

證明：∵f(ax)f(ax)得f(x)f(2ax)

f(bx)f(bx)得f(x)f(2bx)

∴f(2ax)f(2bx)∴f(x)f(2b2ax)

∴函數(shù)yf(x)是周期函數(shù)，且2b2a是一個(gè)周期。

性質(zhì)2：函數(shù)yf(x)滿意f(ax)f(ax)c和f(bx)f(bx)c(ab)時(shí)，函數(shù)yf(x)是周期函數(shù)。（函數(shù)yf(x)圖象有兩個(gè)對(duì)稱中心（a，對(duì)稱中心距離的兩倍，是函數(shù)的一個(gè)周期）

證明：由f(ax)f(ax)cf(x)f(2ax)c

cc

）、（b，）時(shí)，函數(shù)yf(x)是周期函數(shù)，且22

)f(b)xcf(x)f(2bf(bx

得f(2ax)f(2bx)得f(x)f(2b2ax)

x)c

∴函數(shù)yf(x)是以2b2a為周期的函數(shù)。

性質(zhì)3：函數(shù)yf(x)有一個(gè)對(duì)稱中心（a，c）和一個(gè)對(duì)稱軸xb（a≠b）時(shí)，該函數(shù)也是周期函數(shù)，且一個(gè)周期是4(ba)。

證明：f(ax)f(ax)