數(shù)學(xué)建模-存儲模型

PAGEPAGE4存儲模型摘要本文建立的是在產(chǎn)品需求穩(wěn)定不變，生產(chǎn)準(zhǔn)備費和產(chǎn)品貯存費為常數(shù)、生產(chǎn)能力無限的條件下的存貯模型。在不允許缺貨和允許缺貨的這兩種情況下，為了簡化模型的建立，我們采用了連續(xù)的變量來更加合理地來描述問題。模型的求解是一個以每天的平均費用作為目標(biāo)函數(shù)來求解的優(yōu)化模型。本文主要是通過數(shù)學(xué)中的微積分知識，借助Matlab程序?qū)崿F(xiàn)，來求目標(biāo)函數(shù)的極值問題，從而求得總費用最小的方案。首先，在模型一中我們提出了不允許缺貨的優(yōu)化模型，即綜合考慮在產(chǎn)品需求穩(wěn)定不變、生產(chǎn)準(zhǔn)備費和產(chǎn)品貯存費為常數(shù)、生產(chǎn)能力無限、不允許缺貨以及確定生產(chǎn)周期和產(chǎn)量的情況下，使總費用最小的模型。這個模型中，通過對得到的目標(biāo)函數(shù)進行分析求解，可以得出經(jīng)濟訂貨批量公式（EQQ公式），驗證了模型一的準(zhǔn)確性。其次，模型二中考慮當(dāng)缺貨的損失費不超過不允許缺貨導(dǎo)致的準(zhǔn)備費和貯存費時，提出了允許缺貨的貯存模型。根據(jù)貯存量函數(shù)和周期之間的關(guān)系，得到適用于模型二的目標(biāo)函數(shù)。此外，在模型二的求解中，當(dāng)函數(shù)中的變量都各自趨于某一定值時，可以近似認(rèn)為不允許缺貨模型是缺貨模型的特例?？偠灾?，本文中的存貯模型是在總費用中增加購買貨物本身的費用時，重新確定最優(yōu)訂貨周期和訂貨批量的優(yōu)化模型，并且證明了在不允許缺貨模型和允許缺貨模型中結(jié)果都與原來的一樣，充分考慮了模型的優(yōu)化。關(guān)鍵詞：不允許缺貨；允許缺貨；訂貨周期；訂貨批量；matlab程序一、問題重述在我們的周邊有一家配件廠，據(jù)我們得知，該廠為裝配線生產(chǎn)若干種部件時因更換要付生產(chǎn)準(zhǔn)備費（與生產(chǎn)數(shù)量無關(guān)），同一部件的產(chǎn)量大于需求時因積壓資金、占用倉庫要付貯存費?，F(xiàn)已知某一部件的日需求量為100件，生產(chǎn)準(zhǔn)備費5000元，貯存費每日每件1元。如果生產(chǎn)能力遠(yuǎn)大于需求，試求在以下兩種情況下來安排該產(chǎn)品的生產(chǎn)計劃，即多少天生產(chǎn)一次（稱為生產(chǎn)周期），每次產(chǎn)量多少，可使總費用最小。（1）不允許出現(xiàn)缺貨（2）允許出現(xiàn)缺貨二、問題分析在第（1）問時，我們不如先來試算一下以下幾種情況的結(jié)果：若每天生產(chǎn)一次，每次100件，則我們可知，此時無貯存費，生產(chǎn)準(zhǔn)備費5000元，每天費用為5000元；若10天生產(chǎn)一次，每次1000件，則我們可知，此時貯存費為900+800+…+100=4500元，生產(chǎn)準(zhǔn)備費5000元，總計9500元，平均每天費用為950元；若50天生產(chǎn)一次，每次5000件，則我們可知，此時貯存費為4900+4800+…+100=122500元，生產(chǎn)準(zhǔn)備費5000元，總計127500元，平均每天費用為2550元；從以上的計算看，生產(chǎn)周期短、產(chǎn)量少，會使貯存費小，準(zhǔn)備費大；而周期長、產(chǎn)量多，會使貯存費大，準(zhǔn)備費小。所以必然存在一個最佳的周期，使總費用最小。我們可知，這應(yīng)該算是一個優(yōu)化模型我們應(yīng)先建立一個不允許缺貨的存貯模型，即在產(chǎn)品需求穩(wěn)定不變，生產(chǎn)準(zhǔn)備費和產(chǎn)品貯存費為常數(shù)、生產(chǎn)能力無限、不允許缺貨下的確定生產(chǎn)周期和常量，使總費用最小的模型。而在第（2）問中，需改進一下第一問的條件，在短時間可以缺貨的情況下，雖然這會造成一定的損失，但如果損失費不超過不允許缺貨導(dǎo)致的準(zhǔn)備費和貯存費的話，我們可優(yōu)化一下第一個模型，建立一個更全面的模型。.(3)(3)式即為這個優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù).5.2模型一的求解：求使(3)最小.容易得到,(4)代入(1)式得到.(5)由(3)式算出最小的總費用為.(6)(4),(5)式是經(jīng)濟學(xué)中著名的經(jīng)濟訂貨批量公式(EOQ公式).由(4),(5)式可以看到,當(dāng)準(zhǔn)備費增加時,生產(chǎn)周期和產(chǎn)量都變大;當(dāng)準(zhǔn)備費增加時,生產(chǎn)周期和產(chǎn)量都變小;當(dāng)需求量增加時，生產(chǎn)周期變小而產(chǎn)量變大.這些定性的結(jié)果都是符合常識的.得到的模型用于計算開始的問題:以代入（4）（6）式可得天，元，這里得到的費用與前面計算的950元有微小的差別，是因為假設(shè)函數(shù)為連續(xù)函數(shù)時，多計算了.5.3模型一的結(jié)果分析討論參數(shù),,有微小變化時對生產(chǎn)周期的影響.用相對改變量衡量結(jié)果對參數(shù)的敏感程度,對的敏感程度記為,.(7)由(4)式容易得到,作類似的定義可得的,.即增加了1%,增加了0.5%,而或增加了1%,減少0.5%.的微小變化對生產(chǎn)周期的影響是很小的.5.4模型二的建立：允許缺貨的存貯模型在某些情況下用戶允許短時間的缺貨，雖然這會造成一定的損失，但是如果損失費不超過不允許缺貨的準(zhǔn)備費和貯存費的話，允許缺貨就應(yīng)該是可以采取的策略。因貯存量不足造成缺貨時，可認(rèn)為貯存量函數(shù)為負(fù)值，如圖2，周期仍記作，Q是周期初的貯存量，當(dāng)時,于是有Q=r.（8）在到的這段缺貨時段內(nèi)需求率不變，按原斜率繼續(xù)下降。由于規(guī)定缺貨量補足，所以在時數(shù)量為的產(chǎn)品立刻到達，使下周期的貯存量恢復(fù)到。qQrRAOBTt圖2允許缺貨模型的貯存量與建立不允許缺貨模型時類似，一個周期內(nèi)的貯存費時乘以圖2中三角形A的面積，缺貨損失費時乘以圖2中三角形B的面積.計算這兩塊面積，并加上準(zhǔn)備費，得到一周的總費用為.（9）利用（8）式將模型的目標(biāo)函數(shù)——每天的平均費用——記作和的二元函數(shù).(10)5.5模型二的求解：利用微分法求和使最小，令,,可得（為了與不允許徐缺貨模型相區(qū)別，最優(yōu)解記作,），.（11）注意到每周期的供貨量，有,（12）記.（13）與不允許缺貨模型的結(jié)果（4），（5）式比較不難得到,,.(14)由（13）式，>1,故式（14）給出,,,即允許缺貨時周期及供貨量應(yīng)增加，周期初的貯存量減少，缺貨損失費越大（相對于貯存費），越小，越接近，,越接近.當(dāng)時，于是,,這個結(jié)果合理么（考慮的意義）.由此不允許缺貨模型可視為允許缺貨模型的特例.六、模型評價與推廣本文中所建立的模型是從工廠原料需求的實際出發(fā)建立的最優(yōu)規(guī)劃模型，在需求量穩(wěn)定的前提下討論了兩個簡單的存貯模型：不允許缺貨模型和允許缺貨模型。前者適用于一旦出現(xiàn)缺貨會造成重大損失的情況（如煉鐵廠對原料的需求），后者適用于像商店購貨之類的情形，缺貨造成的損失可以允許和估計。。問題一中提出了不允許缺貨的優(yōu)化模型，即綜合考慮在產(chǎn)品需求穩(wěn)定不變、生產(chǎn)準(zhǔn)備費和產(chǎn)品貯存費為常數(shù)、生產(chǎn)能力無限、不允許缺貨以及確定生產(chǎn)周期和產(chǎn)量的情況下，使總費用最小的模型。問題二則考慮當(dāng)在某些情況下用戶允許短時間的缺貨，雖然這會造成一定的損失，但是如果損失費不超過不允許缺貨的準(zhǔn)備費和貯存費的話，允許缺貨所對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。模型的擴展性良好，能夠解決多種狀況下的存貯情況。而且模型充分考慮了各種因素，綜合多種可變條件的關(guān)系，從問題的