數(shù)學(xué)建模解題方法與步驟

數(shù)學(xué)建模與創(chuàng)業(yè)計(jì)劃實(shí)踐部九月制數(shù)學(xué)建模與創(chuàng)業(yè)計(jì)劃實(shí)踐部學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能表述建立數(shù)學(xué)模型的方法、步驟；2.能表述建立數(shù)學(xué)模型的逼真性、可行性、漸進(jìn)性、強(qiáng)健性、可轉(zhuǎn)移性、非預(yù)制性、條理性、技藝性和局限性等特點(diǎn)；；3.能表述數(shù)學(xué)建模的分類(lèi)；4.會(huì)采用靈活的表述方法建立數(shù)學(xué)模型；5.培養(yǎng)建模的想象力和洞察力。一、建立數(shù)學(xué)模型的方法和步驟—般說(shuō)來(lái)建立數(shù)學(xué)模型的方法大體上可分為兩大類(lèi)、一類(lèi)是機(jī)理分析方法，一類(lèi)是測(cè)試分析方法．機(jī)理分析是根據(jù)對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象特性的認(rèn)識(shí)、分析其因果關(guān)系，找出反映內(nèi)部機(jī)理的規(guī)律,建立的模型常有明確的物理或現(xiàn)實(shí)意義.測(cè)試分折將研究對(duì)象視為一個(gè)“黑箱”系統(tǒng)，內(nèi)部機(jī)理無(wú)法直接尋求，可以測(cè)量系統(tǒng)的輸人輸出數(shù)據(jù)、并以此為基礎(chǔ)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)分析方法，按照事先確定的準(zhǔn)則在某一類(lèi)模型中選出一個(gè)與數(shù)據(jù)擬合得最好的模型。這種方法稱為系統(tǒng)辨識(shí)(SystemIdentification)．將這兩種方法結(jié)合起來(lái)也是常用的建模方法。即用機(jī)理分析建立模型的結(jié)構(gòu)，用系統(tǒng)辨識(shí)確定模型的參數(shù)．可以看出，用上面的哪一類(lèi)方法建模主要是根據(jù)我們對(duì)研究對(duì)象的了解程度和建模目的決定的．如果掌握了機(jī)理方面的一定知識(shí)，模型也要求具有反映內(nèi)部特性的物理意義。那么應(yīng)該以機(jī)理分析方法為主．當(dāng)然,若需要模型參數(shù)的具體數(shù)值，還可以用系統(tǒng)辨識(shí)或其他統(tǒng)計(jì)方法得到．如果對(duì)象的內(nèi)部機(jī)理基本上沒(méi)掌握，模型也不用于分析內(nèi)部特性,譬如僅用來(lái)做輸出預(yù)報(bào)，則可以系統(tǒng)辯識(shí)方法為主．系統(tǒng)辨識(shí)是一門(mén)專(zhuān)門(mén)學(xué)科，需要一定的控制理論和隨機(jī)過(guò)程方面的知識(shí)．以下所謂建模方法只指機(jī)理分析。建模要經(jīng)過(guò)哪些步驟并沒(méi)有一定的模式，通常與實(shí)際問(wèn)題的性質(zhì)、建模的目的等有關(guān)模型準(zhǔn)備首先要了解問(wèn)題的實(shí)際背景，明確建模的目的搜集建模必需的各種信息如現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等，盡量弄清對(duì)象的特征,由此初步確定用哪一類(lèi)模型，總之是做好建模的準(zhǔn)備工作．情況明才能方法對(duì)，這一步一定不能忽視，碰到問(wèn)題要虛心向從事實(shí)際工作的同學(xué)請(qǐng)教，盡量掌握第一手資料.模型假設(shè)根據(jù)對(duì)象的特征和建模的目的，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行必要的、合理的簡(jiǎn)化，用精確的語(yǔ)言做出假設(shè)，可以說(shuō)是建模的關(guān)鍵一步．一般地說(shuō)，一個(gè)實(shí)際問(wèn)題不經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化假設(shè)就很難翻譯成數(shù)學(xué)問(wèn)題，即使可能，也很難求解．不同的簡(jiǎn)化假設(shè)會(huì)得到不同的模型．假設(shè)作得不合理或過(guò)份簡(jiǎn)單，會(huì)導(dǎo)致模型失敗或部分失敗，于是應(yīng)該修改和補(bǔ)充假設(shè)；假設(shè)作得過(guò)分詳細(xì)，試圖把復(fù)雜對(duì)象的各方面因素都考慮進(jìn)去，可能使你很難甚至無(wú)法繼續(xù)下一步的工作．通常，作假設(shè)的依據(jù)，一是出于對(duì)問(wèn)題內(nèi)在規(guī)律的認(rèn)識(shí)，二是來(lái)自對(duì)數(shù)據(jù)或現(xiàn)象的分析，也可以是二者的綜合．作假設(shè)時(shí)既要運(yùn)用與問(wèn)題相關(guān)的物理、化學(xué)、生物、經(jīng)濟(jì)等方面的知識(shí)，又要充分發(fā)揮想象力、洞察力和判斷力，善于辨別問(wèn)題的主次，果斷地抓住主要因素，舍棄次要因素，盡量將問(wèn)題線性化、均勻化．經(jīng)驗(yàn)在這里也常起重要作用．寫(xiě)出假設(shè)時(shí)，語(yǔ)言要精確，就象做習(xí)題時(shí)寫(xiě)出已知條件那樣．模型構(gòu)成根據(jù)所作的假設(shè)分析對(duì)象的因果關(guān)系，利用對(duì)象的內(nèi)在規(guī)律和適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，構(gòu)造各個(gè)量(常量和變量)之間的等式(或不等式)關(guān)系或其他數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)．這里除需要一些相關(guān)學(xué)科的專(zhuān)門(mén)知識(shí)外，還常常需要較廣闊的應(yīng)用數(shù)學(xué)方面的知識(shí)，以開(kāi)拓思路.當(dāng)然不能要求對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科門(mén)門(mén)精通,而是要知道這些學(xué)科能解決哪一類(lèi)問(wèn)題以及大體上怎樣解決．相似類(lèi)比法，即根據(jù)不同對(duì)象的某些相似性，借用已知領(lǐng)域的數(shù)學(xué)模型，也是構(gòu)造模型的一種方法．建模時(shí)還應(yīng)遵循的一個(gè)原則是，盡量采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具，因?yàn)槟憬⒌哪Ｐ涂偸窍Ｍ苡懈嗟娜肆私夂褪褂?而不是只供少數(shù)人欣賞.模型求解可以采用解方程、畫(huà)圖形、證明定理、邏輯運(yùn)算、數(shù)值計(jì)算等各種傳統(tǒng)的和近代的數(shù)學(xué)方法，特別是計(jì)算機(jī)技術(shù)．一道實(shí)際問(wèn)題的解決往往需要紛繁的計(jì)算，許多時(shí)候還得將系統(tǒng)運(yùn)行情況用計(jì)算機(jī)模擬出來(lái)，因此編程和熟悉數(shù)學(xué)軟件包能力便舉足輕重。模型分析對(duì)模型解答進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析，有時(shí)要根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)分析變量間的依賴關(guān)系或穩(wěn)定狀況，有時(shí)是根據(jù)所得結(jié)果給出數(shù)學(xué)上的預(yù)報(bào)，有時(shí)則可能要給出數(shù)學(xué)上的最優(yōu)決策或控制，不論哪種情況還常常需要進(jìn)行誤差分析、模型對(duì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性或靈敏性分析等．模型檢驗(yàn)把數(shù)學(xué)上分析的結(jié)果翻譯回到實(shí)際問(wèn)題，并用實(shí)際的現(xiàn)象、數(shù)據(jù)與之比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇院瓦m用性．這一步對(duì)于建模的成敗是非常重要的，要以嚴(yán)肅認(rèn)真的態(tài)度來(lái)對(duì)待．當(dāng)然，有些模型如核戰(zhàn)爭(zhēng)模型就不可能要求接受實(shí)際的檢驗(yàn)了．模型檢驗(yàn)的結(jié)果如果不符合或者部分不符合實(shí)際，問(wèn)題通常出在模型假設(shè)上，應(yīng)該修改、補(bǔ)充假設(shè)，重新建模．有些模型要經(jīng)過(guò)幾次反復(fù)，不斷完善，直到檢驗(yàn)結(jié)果獲得某種程度上的滿意．模型應(yīng)用應(yīng)用的方式自然取決于問(wèn)題的性質(zhì)和建模的目的，這方面的內(nèi)容不是咱們討論的范圍。應(yīng)當(dāng)指出，并不是所有建模過(guò)程都要經(jīng)過(guò)這些步驟，有時(shí)各步驟之間的界限也不那么分明．建模時(shí)不應(yīng)拘泥于形式上的按部就班.二、數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)我們已經(jīng)知道建模是利用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問(wèn)題的重要手段。數(shù)學(xué)模型有許多優(yōu)點(diǎn)，也有弱點(diǎn)。建模需要相當(dāng)豐富的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和各方面的能力，同時(shí)應(yīng)注意掌握分寸．下面歸納出數(shù)學(xué)模型的若干特點(diǎn)，以后在學(xué)習(xí)過(guò)程中逐步領(lǐng)會(huì)．解釋某種數(shù)學(xué)技巧的應(yīng)用．在本書(shū)中我們重點(diǎn)放在如何應(yīng)用讀者已具備的基本數(shù)學(xué)知識(shí)在各個(gè)不同領(lǐng)域中建模．3.按照模型的表現(xiàn)特性又有幾種分法：確定性模型和隨機(jī)性模型取決于是否考慮隨機(jī)因素的影響．近年來(lái)隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，又有所謂突變性模型和模糊性模型．靜態(tài)模型和動(dòng)態(tài)模型取決于是否考慮時(shí)間因素引起的變化．線性模型和非線性模型取決于模型的基本關(guān)系，如微分方程是否是線性的．離散模型和連續(xù)模型指模型中的變量(主要是時(shí)間變量)取為離散還是連續(xù)的．雖然從本質(zhì)上講大多數(shù)實(shí)際問(wèn)題是隨機(jī)性的、動(dòng)態(tài)的、非線性的，但是由于確定性、靜態(tài)、線性模型容易處理，并且往往可以作為初步的近似來(lái)解決問(wèn)題，所以建模時(shí)常先考慮確定性、靜態(tài)、線性模型．連續(xù)模型便于利用微積分方法求解，作理論分析，而離散模型便于在計(jì)算機(jī)上作數(shù)值計(jì)算，所以用哪種模型要看具體問(wèn)題而定．在具體的建模過(guò)程中將連續(xù)模型離散化，或?qū)㈦x散變量視作連續(xù)，也是常采用的方法．4.按照建模目的分．有描述模型、分析模型、預(yù)報(bào)模型、優(yōu)化模型、決策模型、控制模型等．5.按照對(duì)模型結(jié)構(gòu)的了解程度分．有所謂白箱模型、灰箱模型、黑箱模型．這是把研究對(duì)象比喻成一只箱子里的機(jī)關(guān)，要通過(guò)建模來(lái)揭示它的奧妙．白箱主要包括用力學(xué)、熱學(xué)、電學(xué)等一些機(jī)理相當(dāng)清楚的學(xué)科描述的現(xiàn)象以及相應(yīng)的工程技術(shù)問(wèn)題，這方面的模型大多已經(jīng)基本確定，還需深入研究的主要是優(yōu)化設(shè)計(jì)和控制等問(wèn)題了．灰箱主要指生態(tài)、氣象、經(jīng)濟(jì)、交通等領(lǐng)域中機(jī)理尚不十分清楚的現(xiàn)象，在建立和改善模型方面都還不同程度地有許多工作要做．至于黑箱則主要指生命科學(xué)和社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域中一些機(jī)理(數(shù)量關(guān)系方面)很不清楚的現(xiàn)象．有些工程技術(shù)問(wèn)題雖然主要基于物理、化學(xué)原理，但由于因素眾多、關(guān)系復(fù)雜和觀測(cè)困難等原因也常作為灰箱或黑箱模型處理．當(dāng)然，白、灰、黑之間并沒(méi)有明顯的界限，而且隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，箱子的“顏色”必然是逐漸由暗變亮的．6.按模型的應(yīng)用領(lǐng)域分類(lèi)：生物學(xué)數(shù)學(xué)模型醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)模型地質(zhì)學(xué)數(shù)學(xué)模型氣象學(xué)數(shù)學(xué)模型經(jīng)濟(jì)學(xué)數(shù)學(xué)模型社會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)模型物理學(xué)數(shù)學(xué)模型化學(xué)數(shù)學(xué)模型天文學(xué)數(shù)學(xué)模型工程學(xué)數(shù)學(xué)模型按是否考慮隨機(jī)因素分類(lèi)：確定性模型隨機(jī)性模型按是否考慮模型的變化分類(lèi)：靜態(tài)模型動(dòng)態(tài)模型按應(yīng)用離散方法或連續(xù)方法分類(lèi)：離散模型連續(xù)模型按建立模型的數(shù)學(xué)方法分類(lèi)：幾何模型微分方程模型圖論模型規(guī)劃論模型馬氏鏈模型按人們對(duì)事物發(fā)展過(guò)程的了解程度分類(lèi)：白箱模型：指那些內(nèi)部規(guī)律比較清楚的