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文檔簡介
整數(shù)裂項
娜喃撥
整數(shù)裂項基本公式
(1)lx2+2x3+3x4+...+(n-l)XM=-(?-l)xnx(n+l)
(2)1x2x3+2x3x4+3x4x5+...+(n-2)x(?-l)xn=—(n-2)(〃-\)n{n+1)
4
[例1]Ix2+2x3+3x4+…+49x50=
【考點】整數(shù)裂項【難度】3星【題型】計算
【解析】這是整數(shù)的裂項。裂項思想是:瞻前顧后,相互抵消。
設(shè)S=Ix2+2x3+3x4+…+49x50
1x2x3=1x2x3
2x3x3=2x3x(4-1)=2x3x4-1x2x3
3x4x3=3x4x(5-2)=3x4x5—2x3x4...
49x50x3=49x50x(51-48)=49x50x51-48x49x50
3S=1x2x3+2x3x3+3x4x3+…+49x50x3=49x50x51
5=49x50x51^3=41650
【答案】41650
【鞏固】1x2+2x3+3x4+4x5+5x6+6x7+7x8+8x9+9x10=
【考點】整數(shù)裂項【難度】3星【題型】計算
【解析】本題項數(shù)較少,可以直接將每一項乘積都計算出來再計算它們的和,但是對于項數(shù)較多的情況顯然
不能這樣進(jìn)行計算.對于項數(shù)較多的情況,可以進(jìn)行如下變形:
/、n(n+l)(n+2)-(n-l)n(n+l)1.、/.1,、/、
"(〃+1)=---------------------------=—?(?+1)(?+2)--(n-1)/?(/!+1),
^TH4^A=—X1X2X3+|—x2x3x4--xlx2x3|+???+[—x9xl0xll--x8x9xl0|
3(33J(33)
=-x9x10xll=330
3
另解:由于〃(〃+l)=/+〃,所以
原式=02+])+Q2+2)+…+(9?+9)
=(12+22+---+92)+(1+2+---+9)=1X9X10x19+^x9x10=330
采用此種方法也可以得到1X2+2X3H+=++這一結(jié)論.
【答案】330
[例2]1x4+4x7+7x10+…+49x52=
【考點】整數(shù)裂項【難度】3星【題型】計算
【解析】設(shè)5=1x4+4x7+7x10+…+49x52
1x4x9=1x4x7+1x4x2
4x7x9=4x7x(10—1)=4x7x10—1x4x7
7xl0x9=7xl0x(13-4)=7x10x13-4x7x10
49x52x9=49x52x(55-46)=49x52x55-46x49x52
95=49x52x55+1x4x2
S=(49x52x55+1x4x2)+9=15572
【答案】15572
[例3]1X2X3+2X3X4+3X4X5H----1-9x10x11=
【考點】整數(shù)裂項【難度】3星【題型】計算
【解析】"("+1)(〃+2)=;"(〃+1)("+2)(〃+3)—;("-1)"("+1乂〃+2),所以,
=—xlx2x3x4+|—x2x3x4x5--xlx2x3x4|+---+|—x9xl0xllxl2-—x8x9xl0xll
4(444
=-x9x10xllxl2=2970
4
從中還可以看出,1x2x3+2x3x4+3x4x5+…+〃x(〃+1)x(〃+2)=;〃(〃+1)(〃+2)(〃+3)
【答案】2970
[例4]計算:Ix3x5+3x5x7+...+17x19x21=.
【考點】整數(shù)裂項【難度】3星【題型】計算
【解析】可以進(jìn)行整數(shù)裂項.
___3x5x7x9-lx3x5x7
3x5x7=---------------------------
8
5x7x9x11-3x5x7x9
5x7x9=
……17x19x21x23-15x17x19x21
17x19x21=--------------------------------------,
8
所以原式
,cu3x5x7x9-lx3x5x717x19x21x23-15x17x19x21
=1x3x5+---------------------------+…+---------------------------------------
88
,cu17x19x21x23-1x3x5x717x19x21x23+1x3x5
=1x3x5+---------------------------------=-----------------------------=19503
88
也可適用公式.
原式=(3—2)x3x(3+2)+(5-2)x5x(5+2?.?+(19—2)xl9x(19+2)
=(32-22)X3+(52-22)X5+---+(192-22)X19
=(33+53+--.+19,)-4X(3+5+---+19)
=(P+3,+53+...+193)—4x(1+3+5+…+19)+3
而P+33+53+...+193=(F+23+33+...+203)-Q3+43+63+...+203)
=-x2O2x212-8xlxlO2xll2=19900,
44
1+3+5+…+19=1()2=100,所以原式=19900-4x100+3=19503.
【答案】19503
【鞏固】計算:10x16x22+16x22x28+...+70x76x82+76x82x88
【考點】整數(shù)裂項【難度】3星【題型】計算
【解析】可進(jìn)行整數(shù)裂項:
原式10x16x22x28-4x10x16x22]+(16x22x28x34-10x16x22x28]
—I24)+124)
(70x76x82x88-64x70x76x82](76x82x88x94-70x76x82x88
I24)+[24
10x16x22x284x10x16x2216x22x28x3410x16x22x28
------------------------------1-------------------------------卜,?
24242424
70x76x82x88_64x70x76x8276x82x88x94_70x76x82x88
~^2A24242A~
_76x82x88x944x10x16x22
2424
76x82x88x94-4x10x16x22
24
=2147376
【答案】2147376
【鞏固】計算:Ix2x3x4+3x4x5x6+5x6x7x8+…+97x98x99x100=
【考點】整數(shù)裂項【難度】3星【題型】計算
【解析】一般的整數(shù)裂項各項之間都是連續(xù)的,本題中各項之間是斷開的,為此可以將中間缺少的項補上,
再進(jìn)行計算.
亍己原式為A,再設(shè)3=2x3x4x5+4x5x6x7+6x7x8x9+--+96x97x98x99,
則A+B=lx2x3x4+2x3x4x5+3x4x5x6+…+97x98x99x100
=1x97x98x99x100x101=1901009880,
現(xiàn)在知道A與3的和了,如果能再求出A與3的差,那么4、3的值就都可以求出來了.
/4-B=lx2x3x4—2x3x4x5+3x4x5x6-4x5x6x7+5x6x7X8H---1-97x98x99x100
=4x(1x2x3+3x4x5+5x6x74-...+97x98x99)
=4X[2X(22-1)+4X(42-1)+6X(62-1)+---+98X(982-1)]
=4x(2'+4,+6^+…+98,)-4x(2+4+6+…+98)
=4x8x-Lx492x502-4x1x100x49=48010200
42
所以,4=(1901009880+48010200)+2=974510040.
【答案】974510040
[例5]2004x2003-2003x2002+2002x2001-2001x2000+..-+2x1
【考點】整數(shù)裂項【難度】3星【題型】計算
【解析】原式=2003x2+2001x2+…+3x2+lx2
=2x(1+3+5+???+2001+2003)
=2x(1+2003)x1002-2
=2008008
其中也可以直接根據(jù)公式1+3+5+7+―+(2〃-1)="2得出
1+3+5+…+2001+2003=10022
【答案】2008008
【例6]lxl!+2x2!+3x3!+---+2008x2008!=
【考點】整數(shù)裂項【難度】4星【題型】計算
【解析】觀察發(fā)現(xiàn)2x2!=2x2xl=(3-l)x2xl=3!-2!,
3x3!=3x3x2xl=(4—I)x3x2xl=4
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