2024屆河北省衡水市衡水中學數(shù)學高二第二學期期末復(fù)習檢測模擬試題含解析

2024屆河北省衡水市衡水中學數(shù)學高二第二學期期末復(fù)習檢測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的對稱中心坐標為（）A． B．C． D．2．已知函數(shù)，當時，取得最小值，則等于（）A．-3 B．2 C．3 D．83．用數(shù)學歸納法證明，從到，不等式左邊需添加的項是（）A． B．C． D．4．下面給出了四種類比推理：①由實數(shù)運算中的類比得到向量運算中的；②由實數(shù)運算中的類比得到向量運算中的；③由向量的性質(zhì)類比得到復(fù)數(shù)的性質(zhì)；④由向量加法的幾何意義類比得到復(fù)數(shù)加法的幾何意義；其中結(jié)論正確的是A．①② B．③④ C．②③ D．①④5．復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第二象限，其中m為實數(shù)，i為虛數(shù)單位，則實數(shù)的取值范圍（）A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，1）C．（﹣1，2） D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）6．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，是復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，則下列關(guān)于復(fù)數(shù)的說法正確的是（）A． B．C． D．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)表示的點在第四象限7．函數(shù)的圖像恒過定點，若定點在直線上，則的最小值為（）A．13 B．14 C．16 D．128．已知展開式中第三項的二項式系數(shù)與第四項的二項式系數(shù)相同，且,若,則展開式中常數(shù)項()A．32 B．24 C．4 D．89．從1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2個數(shù)，事件“第一次取到的是偶數(shù)”，“第二次取到的是偶數(shù)”，則（）A． B． C． D．10．設(shè)，則“”是“”成立的（）A．充要不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充要也不必要條件11．已知是等差數(shù)列的前n項和，且，則的通項公式可能是（）A． B． C． D．12．已知二項式，且，則()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)等差數(shù)列的公差為，若的方差為1，則=________．14．有3名大學畢業(yè)生，到5家招聘員工的公司應(yīng)聘，若每家公司至多招聘一名新員工，且3名大學畢業(yè)生全部被聘用，若不允許兼職，則共有________種不同的招聘方案．(用數(shù)字作答)15．觀察如圖等式，照此規(guī)律，第個等式為______.16．給出下列4個命題：①若函數(shù)f(x)在(2015,2019)上有零點，則一定有f(2015)?f(2019)<0；②函數(shù)y=x+|x-4|③若函數(shù)f(x)=lg(ax2+5x+4)的值域為R④若函數(shù)f(x)滿足條件f(x)-4f(1x)=x,(x∈R,x≠0)，則|f(x)|其中正確命題的序號是：_____.（寫出所有正確命題的序號）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)，函數(shù).（1）若，極大值；（2）若無零點，求實數(shù)的取值范圍；（3）若有兩個相異零點，，求證：.18．（12分）某校倡導為特困學生募捐，要求在自動購水機處每購買一箱礦泉水，便自覺向捐款箱中至少投入一元錢.現(xiàn)統(tǒng)計了連續(xù)5天的售出礦泉水箱數(shù)和收入情況，列表如下：售出水量（單位：箱）76656收入（單位：元）165142148125150學校計劃將捐款以獎學金的形式獎勵給品學兼優(yōu)的特困生，規(guī)定：特困生綜合考核前20名，獲一等獎學金500元；綜合考核21～50名，獲二等獎學金300元；綜合考核50名以后的不獲得獎學金.（1）若售出水量箱數(shù)與成線性相關(guān)，則某天售出9箱水時，預(yù)計收入為多少元？（2）甲乙兩名學生獲一等獎學金的概率均為，獲二等獎學金的概率均為，不獲得獎學金的概率均為，已知甲乙兩名學生獲得哪個等級的獎學金相互獨立，求甲乙兩名學生所獲得獎學金之和的分布列及數(shù)學期望.附：回歸直線方程，其中，.19．（12分）(1)已知直線經(jīng)過點，傾斜角.設(shè)與圓相交與兩點A，B，求點P到兩點的距離之積.(2)在極坐標系中，圓C的方程為，直線的方程為.①若直線過圓C的圓心，求實數(shù)的值；②若，求直線被圓C所截得的弦長.20．（12分）為調(diào)查某小區(qū)居民的“幸福度”．現(xiàn)從所有居民中隨機抽取16名，如圖所示的莖葉圖記錄了他們的幸福度分數(shù)（以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉），若幸福度分數(shù)不低于8.5分，則稱該人的幸福度為“幸福”．（1）求從這16人中隨機選取3人，至少有2人為“幸?！钡母怕?；（2）以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個小區(qū)的總體數(shù)據(jù),若從該小區(qū)（人數(shù)很多）任選3人，記表示抽到“幸?！钡娜藬?shù)，求的分布列及數(shù)學期望和方差．21．（12分）觀察下列等式:；；；；；(1)猜想第n(n∈N*)個等式;(2)用數(shù)學歸納法證明你的猜想.22．（10分）如圖，已知點是橢圓上的任意一點，直線與橢圓交于，兩點，直線，的斜率都存在．（1）若直線過原點，求證：為定值；（2）若直線不過原點，且，試探究是否為定值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

試題分析：由圖象可知又，又，.，又，所以，由，得，則的對稱中心坐標為.考點：1.三角函數(shù)的性質(zhì)；2.三角函數(shù)圖像的性質(zhì).【方法點睛】根據(jù)，的圖象求解析式的步驟：1．首先確定振幅和周期，從而得到與；2．求的值時最好選用最值點求，峰點：，；谷點：，，也可用零點求，但要區(qū)分該零點是升零點，還是降零點，升零點(圖象上升時與軸的交點)：，；降零點(圖象下降時與軸的交點)：，．2、C【解題分析】

配湊成可用基本不等式的形式。計算出最值與取最值時的x值?！绢}目詳解】當且僅當即時取等號，即【題目點撥】在使用均值不等式時需注意“一正二定三相等”缺一不可。3、B【解題分析】分析：分析，時，左邊起始項與終止項，比較差距，得結(jié)果.詳解：時，左邊為,時，左邊為,所以左邊需添加的項是，選B.點睛：研究到項的變化，實質(zhì)是研究式子變化的規(guī)律，起始項與終止項是什么，中間項是如何變化的.4、D【解題分析】

根據(jù)向量數(shù)量積的定義、復(fù)數(shù)的運算法則來進行判斷．【題目詳解】①設(shè)與的夾角為，則，，則成立；②由于向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，設(shè)，，所以，表示與共線的向量，表示與共線的向量，但與不一定共線，不一定成立；③設(shè)復(fù)數(shù)，則，是一個復(fù)數(shù)，所以不一定成立；④由于復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)可表示的為向量，所以，由向量加法的幾何意義類比可得到復(fù)數(shù)加法的幾何意義，這個類比是正確的．故選D．【題目點撥】本題考查數(shù)與向量、向量與復(fù)數(shù)之間的類比推理，在解這類問題時，除了考查條件的相似性之外，還要注意定義的理解，考查邏輯推理能力，屬于中等題．5、B【解題分析】

整理復(fù)數(shù)為的形式，根據(jù)復(fù)數(shù)對應(yīng)點在第二象限列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.【題目詳解】i對應(yīng)點在第二象限，因此有，即，故選B【題目點撥】本小題主要考查復(fù)數(shù)對應(yīng)點所在象限，考查一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解題分析】

由復(fù)數(shù)的乘法除法運算求出，進而得出答案【題目詳解】由題可得，在復(fù)平面內(nèi)表示的點為，位于第二象限，，故A,C,D錯誤；，，故B正確；【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)的基本運算與幾何意義，屬于簡單題．7、D【解題分析】

分析：利用指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)可求得定點，將點的坐標代入，結(jié)合題意，利用基本不等式可得結(jié)果.詳解：時，函數(shù)值恒為，函數(shù)的圖象恒過定點，又點在直線上，，又，（當且僅當時取“=”），所以，的最小值為，故選D.點睛：本題主要考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，基本不等式求最值，屬于中檔題.利用基本不等式求最值時，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。?；三相等是，最后一定要驗證等號能否成立（主要注意兩點，一是相等時參數(shù)否在定義域內(nèi)，二是多次用或時等號能否同時成立）.8、B【解題分析】

先由二項展開式中第三項的二項式系數(shù)與第四項的二項式系數(shù)相同，求出；再由求出，由二項展開式的通項公式，即可求出結(jié)果.【題目詳解】因為展開式中第三項的二項式系數(shù)與第四項的二項式系數(shù)相同，所以，因此，又，所以，令，則，又，所以，因此，所以展開式的通項公式為，由得，因此展開式中常數(shù)項為.故選B【題目點撥】本題主要考查求指定項的系數(shù)，熟記二項式定理即可，屬于常考題型.9、B【解題分析】分析：事件A發(fā)生后，只剩下8個數(shù)字，其中只有3個偶數(shù)字，由古典概型概率公式可得．詳解：在事件A發(fā)生后，只有8個數(shù)字，其中只有3個偶數(shù)字，∴．故選B．點睛：本題考查條件概率，由于是不放回取數(shù)，因此事件A的發(fā)生對B的概率有影響，可考慮事件A發(fā)生后基本事件的個數(shù)與事件B發(fā)生時事件的個數(shù)，從而計算概率．10、C【解題分析】試題分析：當時，，當一正一負時，，當時，，所以，故選C．考點：充分必要條件．11、D【解題分析】

由等差數(shù)列的求和公式，轉(zhuǎn)化為，故，分析即得解【題目詳解】由題意，等差數(shù)列，且可得故所以當時，則的通項公式可能是故選：D【題目點撥】本題考查了等差數(shù)列的通項公式和求和公式，考查了學生概念理解，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.12、D【解題分析】

把二項式化為，求得其展開式的通項為，求得，再令，求得，進而即可求解．【題目詳解】由題意，二項式展開式的通項為，令，可得，即，解得，所以二項式為，則，令，即，則，所以．【題目點撥】本題主要考查了二項式定理的應(yīng)用，其中解答中把二項式，利用二項式通項，合理賦值求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】由題意得，因此14、【解題分析】分析：根據(jù)排列定義求結(jié)果.詳解：將5家招聘員工的公司看作5個不同的位置，從中任選3個位置給3名大學畢業(yè)生，則本題即為從5個不同元素中任取3個元素的排列問題．所以不同的招聘方案共有＝5×4×3＝60(種)．點睛：本題考查排列定義，考查基本求解能力.15、.【解題分析】分析：由題意結(jié)合所給等式的規(guī)律歸納出第個等式即可.詳解：首先觀察等式左側(cè)的特點：第1個等式開頭為1，第2個等式開頭為2，第3個等式開頭為3，第4個等式開頭為4，則第n個等式開頭為n，第1個等式左側(cè)有1個數(shù)，第2個等式左側(cè)有3個數(shù)，第3個等式左側(cè)有5個數(shù)，第4個等式左側(cè)有7個數(shù)，則第n個等式左側(cè)有2n-1個數(shù)，據(jù)此可知第n個等式左側(cè)為：，第1個等式右側(cè)為1，第2個等式右側(cè)為9，第3個等式右側(cè)為25，第4個等式右側(cè)為49，則第n個等式右側(cè)為，據(jù)此可得第個等式為.點睛：歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理，由歸納推理所得的結(jié)論不一定正確，通常歸納的個體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法．16、④【解題分析】

舉出特例，如fx=(x-2017)2-1，即可判斷①為假；根據(jù)定義域先將原函數(shù)化簡，再根據(jù)奇偶性的定義，即可判斷②為假；根據(jù)函數(shù)f(x)=lgax2+5x+4的值域為【題目詳解】①若fx=(x-2017)2-1，則fx在2015,2019上有零點，此時②由9-x2>0得-3<x<3，所以y=所以函數(shù)y=x+③若函數(shù)f(x)=lgax當a=0時，顯然成立.當a≠0時，則二次函數(shù)y=ax2+5x+4即Δ=25-16a≥0a>0解得0<a≤所以實數(shù)a的取值范圍是0≤a≤2516④因為f(x)-4f1x=x，所以有f可得f(x)=-115x+所以fx當x>0時，x+4當x<0時，x+4所以fx=115故答案為④【題目點撥】本題主要考查命題真假的判定，熟記零點存在性定理、函數(shù)奇偶性的概念、對數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)、以及解方程組法求函數(shù)解析式等即可，屬于?？碱}型.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）證明見解析.【解題分析】分析：（1），根據(jù)導數(shù)的符號可知的極大值為；（2），就分類討論即可；（3）根據(jù)可以得到，因此原不等式的證明可化為，可用導數(shù)證明該不等式.詳解:（1）當時，，當時，，當時，，故的極大值為.（2），①若時，則，是區(qū)間上的增函數(shù)，∵，，∴，函數(shù)在區(qū)間有唯一零點；②若，有唯一零點；③若，令，得，在區(qū)間上，，函數(shù)是增函數(shù)；在區(qū)間上，，函數(shù)是減函數(shù)；故在區(qū)間上，的極大值為，由于無零點，須使，解得，故所求實數(shù)的取值范圍是．（3）由已知得，所以，故等價于即．不妨設(shè)，令，，則，在上為單調(diào)增函數(shù)，所以即，也就是，故原不等式成立．點睛：導數(shù)背景下的函數(shù)零點個數(shù)問題，應(yīng)該根據(jù)單調(diào)性和零點存在定理來說明．而要證明零點滿足的不等式，則需要根據(jù)零點滿足的等式構(gòu)建新的目標等式，從而把要求證的不等式轉(zhuǎn)化為易證的不等式．18、（1）206；（2）見解析【解題分析】試題分析：(1)先求出君子，代入公式求，，再求線性回歸方程自變量為9的函數(shù)值，(2)先確定隨機變量取法，在利用概率乘法求對應(yīng)概率，列表可得分布列，根據(jù)數(shù)學期望公式求期望.試題解析：（1），經(jīng)計算，所以線性回歸方程為，當時，的估計值為206元；（2）的可能取值為0，300，500，600，800，1000；；；；；；；03005006008001000所以的數(shù)學期望．19、（1）2；（2）①；②【解題分析】

（1）求出直線的參數(shù)方程，并代入圓的方程，利用直線參數(shù)方程的幾何意義即可求解；（2）將極坐標方程化為直角坐標方程，①將圓心代入直線即可求出②先求出圓心到直線的距離，根據(jù)弦長公式即可得出直線被圓C所截得的弦長.【題目詳解】（1）直線的參數(shù)方程為，即.把直線代入，得，，，則點P到A，B兩點的距離之積為2.（2）①以極點為坐標原點，極軸所在直線為x軸建立直角坐標系.由得，則圓C的直角坐標方程是，圓心坐標為，半徑.由，得，則直線l的直角坐標方程是.若直線l通過圓C的圓心，則，所以.②若，則圓心到直線的距離，所以直線l被圓C所截得的弦長為.【題目點撥】本題主要考查了直線參數(shù)方程的幾何意義以及極坐標方程與直角坐標方程的互化，過點,且傾斜角為的直線的參數(shù)方程，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）；（2）的分布列見解析；數(shù)學期望為；方差為【解題分析】

首先由莖葉圖統(tǒng)計出“幸?！钡娜藬?shù)和其他人數(shù)，再計算概率．由莖葉圖知任選一人，該人幸福度為“幸?！钡母怕蕿?，知道在該小區(qū)中任選一人該人幸福度為“幸?！钡母怕蕿?，再計算即可．【題目詳解】(1)由莖葉圖可知，抽取的16人中“幸?！钡娜藬?shù)有12人，其他的有4人；記“從這16人中隨機選取3人，至少有2人是“幸?！保睘槭录?由題意得(2)由莖葉圖知任選一人，該人幸福