炎德英才大聯(lián)考2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末調(diào)研試題含解析

炎德英才大聯(lián)考2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末調(diào)研試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)在的圖象大致為（）A． B．C． D．2．已知函數(shù)，若在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)，若有兩個零點(diǎn)，，則的取值范圍是（）A． B．C． D．4．曲線在處的切線斜率是()A． B． C． D．5．用指數(shù)模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設(shè)z＝㏑y，變換后得到線性回歸直線方程，則常數(shù)的值為（）A． B． C．0.3 D．46．以下四個命題中，真命題有（）．A．是周期函數(shù)，：空集是集合的子集，則為假命題B．“，”的否定是“，”C．“”是“”的必要不充分條件D．已知命題：“如果，那么或”，在命題的逆命題，否命題，逆否命題三個命題中，真命題的個數(shù)有個．7．一個幾何體的三視圖如圖所示，其體積為（）A． B． C． D．8．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線y2=2x與過焦點(diǎn)的直線交于A,B兩點(diǎn),則的值是A． B． C．3 D．39．某地氣象臺預(yù)計，7月1日該地區(qū)下雨的概率為，刮風(fēng)的概率為，既刮風(fēng)又下雨的概率為，設(shè)表示下雨，表示刮風(fēng)，則A． B． C． D．10．曲線在點(diǎn)處的切線平行于直線，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C．和 D．11．球的體積是，則此球的表面積是（）A． B． C． D．12．設(shè)函數(shù)，其中，，存在使得成立，則實(shí)數(shù)的值為（）A．B．C．D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知cos,則二項式的展開式中的系數(shù)為__________．14．已知，設(shè)，若存在不相等的實(shí)數(shù)同時滿足方程和，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．15．己知，集合中有且僅有三個整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.16．?dāng)?shù)列滿足下列條件：，且對于任意正整數(shù)，恒有，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某中學(xué)一名數(shù)學(xué)老師對全班50名學(xué)生某次考試成績分男女生進(jìn)行統(tǒng)計，其中120分（含120分）以上為優(yōu)秀，繪制了如圖所示的兩個頻率分布直方圖：（1）根據(jù)以上兩個直方圖完成下面的列聯(lián)表：性別成績優(yōu)秀不優(yōu)秀總計男生女生總計（2）根據(jù)（1）中表格的數(shù)據(jù)計算，你有多大把握認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與性別之間有關(guān)系？2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8280.150.100.050.0250.0100.0050.001附：，其中.18．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，且，．（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．19．（12分）已知函數(shù)對任意實(shí)數(shù)都有，且.（I）求的值，并猜想的表達(dá)式；（II）用數(shù)學(xué)歸納法證明（I）中的猜想.20．（12分）如圖，在多面體中，四邊形為等腰梯形，，已知，，，四邊形為直角梯形，，.（1）證明：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.21．（12分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線的方程為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）將的方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）為上一動點(diǎn)，求到直線的距離的最大值和最小值.22．（10分）將正整數(shù)排成如圖的三角形數(shù)陣，記第行的個數(shù)之和為.（1）設(shè)，計算，，的值，并猜想的表達(dá)式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）的猜想.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】，為偶函數(shù)，則B、D錯誤；又當(dāng)時，，當(dāng)時，得，則則極值點(diǎn)，故選C．點(diǎn)睛：復(fù)雜函數(shù)的圖象選擇問題，首先利用對稱性排除錯誤選項，如本題中得到為偶函數(shù)，排除B、D選項，在A、C選項中，由圖可知，雖然兩個圖象在第一象限都是先增后減，但兩個圖象的極值點(diǎn)位置不同，則我們采取求導(dǎo)來判斷極值點(diǎn)的位置，進(jìn)一步找出正確圖象．2、D【解題分析】

首先判斷函數(shù)單調(diào)性為增.,將函數(shù)不等式關(guān)系轉(zhuǎn)化為普通的不等式,再把不等式轉(zhuǎn)換為兩個函數(shù)的大小關(guān)系,利用圖像得到答案.【題目詳解】在定義域上單調(diào)遞增，，則由，得，，則當(dāng)時，存在的圖象在的圖象上方.，，則需滿足.選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,解不等式,將不等式關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖像關(guān)系等知識,其中當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞增時,是解題的關(guān)鍵.3、B【解題分析】

求出函數(shù)的解析式，并求出零點(diǎn)、關(guān)于的表達(dá)式，令，知，并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的值域，即可作出的取值范圍．【題目詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，，由，得，，由，得，設(shè)，則，所以，，設(shè)，則，，，即函數(shù)在上是減函數(shù)，，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)零點(diǎn)積的取值范圍，對于這類問題就是要利用函數(shù)的解析式求出函數(shù)零點(diǎn)的表達(dá)式，并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)來求出其范圍，難點(diǎn)在于構(gòu)造函數(shù)，考查分析問題的能力，屬于難題．4、C【解題分析】

根據(jù)已知對求導(dǎo)，將代入導(dǎo)函數(shù)即可.【題目詳解】∵y′=(cosx)′=-sinx，∴當(dāng)時，.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率問題，已知切點(diǎn)求切線斜率問題，先求導(dǎo)再代入切點(diǎn)橫坐標(biāo)即可，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解題分析】

我們根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：loga（MN）=logaM+logaN，logaNn=nlogaN，即可得出lny=ln（cekx）=lnc+lnekx=lnc+kx，可得z=lnc+kx，對應(yīng)常數(shù)為1=lnc，c=e1.【題目詳解】∵y=cekx，∴兩邊取對數(shù)，可得lny=ln（cekx）=lnc+lnekx=lnc+kx，令z=lny，可得z=lnc+kx，∵z=0.3x+1，∴l(xiāng)nc=1，∴c=e1．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查的知識點(diǎn)是線性回歸方程，其中熟練掌握對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是解答此類問題的關(guān)鍵．線性回歸直線過樣本中心點(diǎn)，在一組具有相關(guān)關(guān)系的變量的數(shù)據(jù)間，這樣的直線可以畫出許多條，而其中的一條能最好地反映x與Y之間的關(guān)系，這條直線過樣本中心點(diǎn)．線性回歸方程適用于具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量，對于具有確定關(guān)系的兩個變量是不適用的,線性回歸方程得到的預(yù)測值是預(yù)測變量的估計值，不是準(zhǔn)確值.6、C【解題分析】選項中，由題意得為真，為真，則為真，故不正確．選項中，命題的否定應(yīng)是“，”，故不正確．選項中，由“”不能得到“”成立；由“”一定能得到“”成立。故“”是“”的必要不充分條件．故C正確。選項中，命題的逆命題、否命題、逆否命題都為真，所以有個真命題，故不正確．綜上選．7、C【解題分析】

由三視圖還原原幾何體，可知該幾何體是直三棱柱剪去一個角，其中為等腰直角三角形，，再由棱錐體積剪去棱錐體積求解.【題目詳解】解：由三視圖還原原幾何體如圖，

該幾何體是直三棱柱剪去一個角，其中為等腰直角三角形，，

∴該幾何體的體積，

故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查由三視圖求體積，關(guān)鍵是由三視圖還原幾何體，是中檔題.8、B【解題分析】拋物線的焦點(diǎn)為,當(dāng)直線l與x軸垂直時，,所以9、B【解題分析】解：因?yàn)?月1日潯陽區(qū)下雨的概率為，刮風(fēng)的概率為，既刮風(fēng)又下雨的概率為，設(shè)A為下雨，B為刮風(fēng)，則10、C【解題分析】

求導(dǎo)，令，故或，經(jīng)檢驗(yàn)可得點(diǎn)的坐標(biāo).【題目詳解】因，令，故或，所以或，經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)，均不在直線上，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率，考查兩直線平行的條件：斜率相等，屬于基礎(chǔ)題．11、B【解題分析】

先計算出球的半徑，再計算表面積得到答案.【題目詳解】設(shè)球的半徑為R，則由已知得，解得，故球的表面積.故選：【題目點(diǎn)撥】本題考查了圓的體積和表面積的計算，意在考查學(xué)生的計算能力.12、A【解題分析】試題分析：函數(shù)f（x）可以看作是動點(diǎn)M（x，lnx2）與動點(diǎn)N（A，2A）之間距離的平方，動點(diǎn)M在函數(shù)y=2lnx的圖象上，N在直線y=2x的圖象上，問題轉(zhuǎn)化為求直線上的動點(diǎn)到曲線的最小距離，由y=2lnx得，y'==2，解得x=1，∴曲線上點(diǎn)M（1，0）到直線y=2x的距離最小，最小距離D=，則f（x）≥，根據(jù)題意，要使f（）≤，則f（）=，此時N恰好為垂足，由，解得考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：由微積分基本定理求出，再寫出二項展開式的通項，令的指數(shù)為1，求得，從而求得的系數(shù)．詳解：，二項式展開式通項為，令，則．∴的系數(shù)為．故答案為－1．點(diǎn)睛：求二項展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第項，再由特定項的特點(diǎn)求出值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項，再由通項寫出第項，由特定項得出值，最后求出其參數(shù).14、【解題分析】

根據(jù)奇偶性定義求得為奇函數(shù)，從而可得且，從而可將整理為：，通過求解函數(shù)的值域可得到的取值范圍.【題目詳解】為上的奇函數(shù)又且且即：令，則在上單調(diào)遞增又本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用問題，涉及到奇偶性的判定、單調(diào)性的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為的值域的求解問題；易錯點(diǎn)是在求解的取值范圍時，忽略的條件，錯誤求解為，造成增根.15、【解題分析】

首先分析出集合里面必有元素1，再討論集合為，，三種情況討論，求的取值范圍.【題目詳解】，，所以集合里的元素一定有1，集合有3個元素，當(dāng)集合是時，有，集合是空集；當(dāng)集合是時，有，解得：；當(dāng)集合是時，有，集合是空集；綜上：的取值范圍是故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)集合的元素個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，意在考查分類，轉(zhuǎn)化，和計算求解能力，屬于中檔題型.16、512【解題分析】

直接由，可得，這樣推下去，再帶入等比數(shù)列的求和公式即可求得結(jié)論?！绢}目詳解】故選C?！绢}目點(diǎn)撥】利用遞推式的特點(diǎn)，反復(fù)帶入遞推式進(jìn)行計算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，求出結(jié)果，本題是一道中等難度題目。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）有【解題分析】分析:(1)根據(jù)已知的數(shù)據(jù)完成2×2列聯(lián)表.(2)先計算，再判斷有多大把握認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與性別之間有關(guān)系.詳解：（1）性別成績優(yōu)秀不優(yōu)秀總計男生131023女生72027總計203050（2）由（1）中表格的數(shù)據(jù)知，，∵，∴有95%的把握認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與性別之間有關(guān)系.點(diǎn)睛：本題主要考查2×2列聯(lián)表和獨(dú)立性檢驗(yàn)，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理計算能力.18、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】

（1）推導(dǎo)出PA⊥AD，PA⊥AB，由此能證明PA⊥平面ABCD．（2）以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面PBC與平面PAD所成銳二面角的余弦值．【題目詳解】(1)因?yàn)?所以,即.同理可得.因?yàn)?所以平面.(2)由題意可知,兩兩垂直,故以A為原點(diǎn),分別為軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則，所以.設(shè)平面的法向量為，則，不妨取則易得平面,所以平面的一個法向量為，記平面與平面所成銳二面角為,則故平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．19、（I）；（II）證明見解析.【解題分析】

（I）根據(jù)的值猜想的表達(dá)式；（II）分和兩步證明.【題目詳解】（I），，，，猜想.（II）證明：當(dāng)時，，猜想成立；假設(shè)時，猜想成立，即，則當(dāng)時，，即當(dāng)時猜想成立.綜上，對于一切均成立.【題目點(diǎn)撥】本題考查抽象函數(shù)求值與歸納猜想.20、（1）見解析（2）【解題分析】分析：（1）通過取AD中點(diǎn)M，連接CM，利用，得到直角；再利用可得；而,DE平面ADEF，所以可得面面垂直．（2）以AD中點(diǎn)O建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，求得平面CAE與直線BE向量，根據(jù)直線與法向量的夾角即可求得直線與平面夾角的正弦值．詳解：（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，，由四邊形為平行四邊形，可知，在中，有，∴.又，，∴平面，∵平面，∴.又，，∴平面.∵平面，∴平面平面.（2）解：由（1）知平面平面，如圖，取的中點(diǎn)為，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，.設(shè)平面的法向量，則，即，不妨令，得.故直線與平面所成角的正弦值.點(diǎn)睛：本題考查了空間幾何體面面垂直的綜合應(yīng)用，利用法向量法求線面夾角的正弦值，關(guān)鍵注意計算要準(zhǔn)確，屬于中檔題．21、（1）（2）最大值是和最小值是.【解題分析】分析：（1）利用極坐標(biāo)公式化成直角坐標(biāo)方程.(2)先求出直線的直角坐標(biāo)方程為，再利用圓心到直線的距離求到直線的距離的最大值是和最小值是.詳解：（1）因?yàn)榍€的方程為，則，所以的直角坐標(biāo)方程為，即.（2）因?yàn)橹本€的參數(shù)方程為（為參數(shù)），所以直線的直角坐標(biāo)方程為，因?yàn)閳A心到直線的距離，則直線與圓相離，所以所求到直線的距離的最大值是和最小值是.點(diǎn)睛：(1)本題主要考查極坐標(biāo)、參數(shù)方程和直角坐