2024屆上海市同濟(jì)中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

2024屆上海市同濟(jì)中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知全集U＝{x∈Z|0<x<10}，集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，則(?UA)∩B＝()A．{6，8} B．{2，4} C．{2，6，8} D．{4，8}2．已知，則不等式的解集為（）A． B． C． D．3．已知復(fù)數(shù)z滿足（i是虛數(shù)單位），若在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，則點(diǎn)Z的軌跡為（）A．雙曲線的一支 B．雙曲線 C．一條射線 D．兩條射線4．某研究機(jī)構(gòu)在對(duì)具有線性相關(guān)的兩個(gè)變量和進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時(shí)，得到的數(shù)據(jù)如下表所示．由表中數(shù)據(jù)求得關(guān)于的回歸方程為，則在這些樣本點(diǎn)中任取一點(diǎn)，該點(diǎn)落在回歸直線上方的概率為（）4681012122.956.1A． B． C． D．無(wú)法確定5．若則有（）A． B．C． D．6．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（）A．4 B．7 C．14 D．7．已知函數(shù)fx在R上可導(dǎo)，且fx=A．-2 B．2 C．4 D．-48．已知，都是實(shí)數(shù)，那么“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．某工件的三視圖如圖所示，現(xiàn)將該工件通過(guò)切削，加工成一個(gè)體積盡可能大的長(zhǎng)方體新工件，并使新工件的一個(gè)面落在原工件的一個(gè)面內(nèi)，則原工件材料的利用率為（）（）A． B． C． D．10．已知點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)滿足條件那么點(diǎn)P到直線3x－4y－13＝0的距離的最小值為()A．2 B．1 C． D．11．將函數(shù)的圖形向左平移個(gè)單位后得到的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則正數(shù)的最小正值是（）A． B． C． D．12．函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是（）．A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在中，，，是內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值為_(kāi)___________.14．已知某程序框圖如圖所示，則該程序運(yùn)行后輸出的值為_(kāi)_________．15．函數(shù)在上的減區(qū)間為_(kāi)____．16．已知等比數(shù)列是遞減數(shù)列，是的前項(xiàng)和，若是方程的兩個(gè)根，則__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系xoy有相同的長(zhǎng)度單位，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸．已知直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程為．（1）求C的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)|AB|．18．（12分）選修4—5：不等式選講設(shè)函數(shù).（1）若，求不等式的解集；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求的取值范圍.19．（12分）已知,,設(shè),且,求復(fù)數(shù),.20．（12分）已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍.21．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），過(guò)原點(diǎn)的兩條直線分別與曲線交于異于原點(diǎn)的、兩點(diǎn)，且,其中的傾斜角為.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求和的極坐標(biāo)方程；（2）求的最大值.22．（10分）觀察下列等式:；；；；；(1)猜想第n(n∈N*)個(gè)等式;(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

先化簡(jiǎn)已知條件,再求.【題目詳解】由題得,因?yàn)?,故答案為A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查集合的化簡(jiǎn)，考查集合的補(bǔ)集和交集運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平.2、A【解題分析】

利用導(dǎo)數(shù)判斷出在上遞增，而，由此將不等式轉(zhuǎn)化為，然后利用單調(diào)性列不等式，解不等式求得的取值范圍.【題目詳解】由，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，又由，故不等式可化為，，得，解得．故選A.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查對(duì)數(shù)不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解題分析】分析：利用兩個(gè)復(fù)數(shù)的差的絕對(duì)值表示兩個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離，來(lái)分析已知等式的意義．詳解：∵復(fù)數(shù)z滿足（i是虛數(shù)單位），在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，則點(diǎn)Z到點(diǎn)（1，2）的距離減去到點(diǎn)（﹣2，﹣1）的距離之差等于3，而點(diǎn)（1，2）與點(diǎn)（﹣2，﹣1）之間的距離為3，故點(diǎn)Z的軌跡是以點(diǎn)（1，2）為端點(diǎn)的經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣2，﹣1）的一條射線．故選C．點(diǎn)睛：本題考查兩個(gè)復(fù)數(shù)的差的絕對(duì)值的意義，兩個(gè)復(fù)數(shù)的差的絕對(duì)值表示兩個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離．4、B【解題分析】

求出樣本的中心點(diǎn)，計(jì)算出，從而求出回歸直線方程，個(gè)點(diǎn)中落在回歸直線上方的有三個(gè)，算出概率即可?！绢}目詳解】由題可得，因?yàn)榫€性回歸方程過(guò)樣本中心點(diǎn)，所以，所以，所以，故個(gè)點(diǎn)中落在回歸直線上方有，，，共個(gè)，所以概率為.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查線性回歸方程和古典概型，解題的關(guān)鍵是求出線性回歸方程，屬于一般題。5、D【解題分析】①，∵，∴，故．②，，∴，故．綜上．選D．6、B【解題分析】

由題意利用等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式，求出首項(xiàng)和公差的值，可得結(jié)論．【題目詳解】等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，．再根據(jù)，可得，，則，故選．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題．7、A【解題分析】

求導(dǎo)后代入x=1可得關(guān)于f'1【題目詳解】由fx=令x=1，則f'1本題正確選項(xiàng)：A【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)值的求解，關(guān)鍵是能夠根據(jù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則得到導(dǎo)函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解題分析】；，與沒(méi)有包含關(guān)系，故為“既不充分也不必要條件”.9、A【解題分析】試題分析：分析題意可知，問(wèn)題等價(jià)于圓錐的內(nèi)接長(zhǎng)方體的體積的最大值，設(shè)長(zhǎng)方體體的長(zhǎng)，寬，高分別為，，，長(zhǎng)方體上底面截圓錐的截面半徑為，則，如下圖所示，圓錐的軸截面如圖所示，則可知，而長(zhǎng)方體的體積，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)利用率為，故選A.考點(diǎn)：1.圓錐的內(nèi)接長(zhǎng)方體；2.基本不等式求最值.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查立體幾何中的最值問(wèn)題，與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合，立意新穎，屬于較難題，需要考生從實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中提取出相應(yīng)的幾何元素，再利用基本不等式求解，解決此類問(wèn)題的兩大核心思路：一是化立體問(wèn)題為平面問(wèn)題，結(jié)合平面幾何的相關(guān)知識(shí)求解；二是建立目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)思想，選擇合理的變量，或利用導(dǎo)數(shù)或利用基本不等式，求其最值.10、A【解題分析】

由約束條件作出可行域，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，由點(diǎn)到直線的距離公式求得點(diǎn)到直線的最小值，即可求解．【題目詳解】由約束條件作出可行域，如圖所示，由圖可知，當(dāng)與重合時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最小為．故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃求解目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題．其中解答中正確畫(huà)出不等式組表示的可行域，利用“一畫(huà)、二移、三求”，確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，及推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．11、D【解題分析】

由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，得出結(jié)論．【題目詳解】解：將函數(shù)的圖形向左平移個(gè)單位后，可得函數(shù)的圖象，再根據(jù)得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，可得，即，令，可得正數(shù)的最小值是，故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．12、C【解題分析】

求導(dǎo)后代入即可.【題目詳解】易得,故函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

設(shè)，，，在中，由正弦定理，得，，在中，，，其中，，從而，由最小值為的最小值為，故答案為.14、【解題分析】

執(zhí)行程序框圖，依次寫(xiě)出每次循環(huán)得到的S，i的值，當(dāng)i＝2019時(shí)，不滿足條件退出循環(huán)，輸出S的值為．【題目詳解】執(zhí)行程序框圖，有S＝2，i＝1滿足條件，執(zhí)行循環(huán)，S，i＝2滿足條件，執(zhí)行循環(huán)，S，i＝3滿足條件，執(zhí)行循環(huán)，S，i＝4滿足條件，執(zhí)行循環(huán)，S＝2，i＝5…觀察規(guī)律可知，S的取值以4為周期，由于2018＝504*4+2，故有：S,i＝2019，不滿足條件退出循環(huán)，輸出S的值為，故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了程序框圖和算法，其中判斷S的取值規(guī)律是解題的關(guān)鍵，屬于基本知識(shí)的考查．15、【解題分析】

利用兩角和差的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為,結(jié)合正弦函數(shù)圖像,即可求得函數(shù)的減區(qū)間.【題目詳解】函數(shù)根據(jù)正弦函數(shù)減區(qū)間可得:,解得:,故函數(shù)的減區(qū)間為:再由,可得函數(shù)的減區(qū)間為故答案為:【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法,利用正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵,考查了計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

由題可知，于是可知，從而利用求和公式得到答案.【題目詳解】∵是方程的兩根，且，∴，，則公比，因此.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等比數(shù)列的基本量的相關(guān)計(jì)算，難度很小.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ)；（Ⅱ）.【解題分析】

試題分析：（Ⅰ）兩邊同時(shí)乘以，利用公式，代入得到曲線的普通方程；（Ⅱ）直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，轉(zhuǎn)化為的二次方程，根據(jù)公式計(jì)算.試題解析：解：（Ⅰ）由，得，即曲線的直角坐標(biāo)方程為.（Ⅱ）將直線的方程代入，并整理得，，，.所以.18、(1)；(2).【解題分析】分析：(1)對(duì)分三種情況討論，分別去掉絕對(duì)值符號(hào)，然后求解不等式組，再求并集即可得不等式的解集；（2）因?yàn)?，所以，可得，從而可得結(jié)果.詳解：（1）當(dāng)時(shí)，.由，得.①當(dāng)時(shí)，不等式化為，即.所以，原不等式的解為.②當(dāng)時(shí)，不等式化為，即.所以，原不等式無(wú)解.③當(dāng)時(shí)，不等式化為，即.所以，原不等式的解為.綜上，原不等式的解為.（2）因?yàn)椋?，所以，解得或，即的取值范圍?點(diǎn)睛：絕對(duì)值不等式的常見(jiàn)解法：①利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；②利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；③通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想．19、【解題分析】

明確復(fù)數(shù),的實(shí)部與虛部，結(jié)合加減法的運(yùn)算規(guī)則，即可求出復(fù)數(shù)，從而用表示出，接下來(lái)根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件列出關(guān)于的方程組求解，即可得出,.【題目詳解】∵.∴.又∵∴∴∴∴【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)相等的充要條件，屬于中檔題.復(fù)數(shù)相等的性質(zhì)是：若兩復(fù)數(shù)相等則它們的實(shí)部與虛部分別對(duì)應(yīng)相等.20、（1）極小值為（2）【解題分析】分析：（1）根據(jù)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的一般步驟求解即可；（2）,由于函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，令，則即在上恒成立，由此可求的取值范圍..詳解：（1）當(dāng)時(shí)，，，令，解得，當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表0+單調(diào)遞減1單調(diào)遞增因此，當(dāng)時(shí)，有極小值，并且極小值為（2）,由于函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)所以，令，則即在上恒成立設(shè)，則在上為增函數(shù)，∴∴，即的取值范圍是．點(diǎn)睛：本題考查利用到時(shí)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．是圣.21、（1），；（2）4【解題分析】

（1）將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，然后由代入化簡(jiǎn)后得出曲線的極坐標(biāo)方程，由直線過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為可直接得出直線的極坐標(biāo)方程；（2）由題干條件得出直線、的極坐標(biāo)方程分別為、，然后將這兩條直線的參數(shù)方程分別代入曲線的極坐標(biāo)方程可得出和，利用誘導(dǎo)公式以及輔助角公式化簡(jiǎn)得出關(guān)于的三角函數(shù)表達(dá)式，并利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出最大值．【題目詳解】（1）由消去參數(shù)得普通方程為，即，所以極坐標(biāo)方程為，即.的極坐標(biāo)方程為.（2）將代入得，將代入得因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，的最大值為．【題目點(diǎn)撥】本題考查參數(shù)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化，考查極坐標(biāo)方程的應(yīng)用，利用極坐標(biāo)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，需注意極坐標(biāo)適用于曲線上的點(diǎn)與原點(diǎn)線段長(zhǎng)度相關(guān)的問(wèn)題，解法步驟如下：（1）將曲線方程用極坐標(biāo)方程表示出來(lái)，并將與原點(diǎn)相連的直線用極坐標(biāo)方程表示；（2）將直線方程與曲線的極坐標(biāo)方程聯(lián)立，求出線段長(zhǎng)度關(guān)于極角的三函數(shù)；（3）利用三角恒等變換思想