江西省宜春市豐城中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測(cè)試試題含解析

江西省宜春市豐城中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測(cè)試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．下列說(shuō)法中正確的是（）①相關(guān)系數(shù)用來(lái)衡量?jī)蓚€(gè)變量之間線性關(guān)系的強(qiáng)弱，越接近于，相關(guān)性越弱；②回歸直線一定經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心；③隨機(jī)誤差滿足，其方差的大小用來(lái)衡量預(yù)報(bào)的精確度；④相關(guān)指數(shù)用來(lái)刻畫回歸的效果，越小，說(shuō)明模型的擬合效果越好.A．①② B．③④ C．①④ D．②③2．已知是函數(shù)的零點(diǎn)，是函數(shù)的零點(diǎn)，且滿足，則實(shí)數(shù)的最小值是（）.A．-1 B． C． D．3．已知三棱錐S-ABC中，底面ABC為邊長(zhǎng)等于2的等邊三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直線AB與平面SBC所成角的正弦值為A．34B．C．74D．4．某大學(xué)安排5名學(xué)生去3個(gè)公司參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)公司至少1名同學(xué)，安排方法共有()種A．60 B．90 C．120 D．1505．在中，，BC邊上的高等于,則（）A． B． C． D．6．記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有（）A．1440種 B．960種 C．720種 D．480種7．已知函數(shù)，且對(duì)任意的，都有恒成立，則的最大值為（）A． B． C． D．8．已知定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，若，則的大小關(guān)系是A． B． C． D．9．已知集合則A．[2,3] B．（-2,3] C．[1,2） D．10．設(shè)，，，則的值分別為（）A．18， B．36, C．36， D．18，11．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x，y)，則A． B． C． D．12．已知的周長(zhǎng)為9，且，則的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．中，內(nèi)角所對(duì)的邊的長(zhǎng)分別為，且，則__________．14．若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.15．已知向量與，則的最小值是__________.16．某晚會(huì)安排5個(gè)攝影組到3個(gè)分會(huì)場(chǎng)負(fù)責(zé)直播,每個(gè)攝影組去一個(gè)分會(huì)場(chǎng),每個(gè)分會(huì)場(chǎng)至少安排一個(gè)攝影組,則不同的安排方法共有______種(用數(shù)字作答).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）（衡水金卷2018年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬試卷）如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面，且，是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)棱上運(yùn)動(dòng).（1）當(dāng)是棱的中點(diǎn)時(shí)，求證：平面；（2）當(dāng)直線與平面所成的角的正切值為時(shí)，求二面角的余弦值.18．（12分）已知函數(shù)（且）．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．19．（12分）已知平面內(nèi)點(diǎn)到點(diǎn)的距離和到直線的距離之比為，若動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C．（I）求曲線C的方程；（II）過(guò)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn).證明：．20．（12分）在銳角中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，的面積為，求的值.21．（12分）2017年“一帶一路”國(guó)際合作高峰論壇于今年5月14日至15日在北京舉行.為高標(biāo)準(zhǔn)完成高峰論壇會(huì)議期間的志愿服務(wù)工作，將從27所北京高校招募大學(xué)生志愿者，某調(diào)查機(jī)構(gòu)從是否有意愿做志愿者在某高校訪問(wèn)了80人，經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)，得到如下丟失數(shù)據(jù)的列聯(lián)表：（，表示丟失的數(shù)據(jù)）無(wú)意愿有意愿總計(jì)男40女5總計(jì)2580（1）求出的值，并判斷：能否有99.9%的把握認(rèn)為有意愿做志愿者與性別有關(guān)；（2）若表中無(wú)意愿做志愿者的5個(gè)女同學(xué)中，3個(gè)是大學(xué)三年級(jí)同學(xué)，2個(gè)是大學(xué)四年級(jí)同學(xué).現(xiàn)從這5個(gè)同學(xué)中隨機(jī)選2同學(xué)進(jìn)行進(jìn)一步調(diào)查，求這2個(gè)同學(xué)是同年級(jí)的概率.附參考公式及數(shù)據(jù)：，其中.0.40100.0050.0010.7081.3232.7066.6357.87910.82822．（10分）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，方程在區(qū)間內(nèi)有唯一實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）對(duì)于區(qū)間上的任意不相等的實(shí)數(shù)、，都有成立，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

運(yùn)用相關(guān)系數(shù)、回歸直線方程等知識(shí)對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一進(jìn)行分析即可【題目詳解】①相關(guān)系數(shù)用來(lái)衡量?jī)蓚€(gè)變量之間線性關(guān)系的強(qiáng)弱，越接近于，相關(guān)性越強(qiáng)，故錯(cuò)誤②回歸直線一定經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心，故正確③隨機(jī)誤差滿足，其方差的大小用來(lái)衡量預(yù)報(bào)的精確度，故正確④相關(guān)指數(shù)用來(lái)刻畫回歸的效果，越大，說(shuō)明模型的擬合效果越好，故錯(cuò)誤綜上，說(shuō)法正確的是②③故選【題目點(diǎn)撥】本題主要考查的是命題真假的判斷，運(yùn)用相關(guān)知識(shí)來(lái)進(jìn)行判斷，屬于基礎(chǔ)題2、A【解題分析】

先根據(jù)的單調(diào)性確定出最小值從而確定出的值，再由不等式即可得到的范圍，根據(jù)二次函數(shù)零點(diǎn)的分布求解出的取值范圍.【題目詳解】因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，所以，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)閷?duì)應(yīng)的，且有零點(diǎn)，（1）當(dāng)時(shí)，或，所以，所以，所以，（2）當(dāng)時(shí)，或，此時(shí)，所以，綜上可知：，所以.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的零點(diǎn)以及根據(jù)二次函數(shù)的零點(diǎn)分布求解參數(shù)范圍，屬于綜合性問(wèn)題，難度較難.其中處理二次函數(shù)的零點(diǎn)分布問(wèn)題，除了直接分析還可以采用畫圖象的方法進(jìn)行輔助分析.3、D【解題分析】略視頻4、D【解題分析】分析：由題意結(jié)合排列組合公式整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.詳解：由題意可知，5人的安排方案為或，結(jié)合平均分組計(jì)算公式可知，方案為時(shí)的方法有種，方案為時(shí)的方法有種，結(jié)合加法公式可知安排方法共有種.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：(1)解排列組合問(wèn)題要遵循兩個(gè)原則：一是按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類；二是按事情發(fā)生的過(guò)程進(jìn)行分步．具體地說(shuō)，解排列組合問(wèn)題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配問(wèn)題，往往是先分組再分配．在分組時(shí)，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的求法．5、C【解題分析】試題分析：設(shè),故選C.考點(diǎn)：解三角形.6、B【解題分析】5名志愿者先排成一排，有種方法，2位老人作一組插入其中，且兩位老人有左右順序，共有=960種不同的排法，選B．7、B【解題分析】

先求出導(dǎo)函數(shù)，再分別討論，，的情況，從而得出的最大值【題目詳解】由題可得：；（1）當(dāng)時(shí)，則，由于，所以不可能恒大于等于零；（2）當(dāng)時(shí)，則在恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故不可能恒有；（3）當(dāng)時(shí)，令，解得：，令，解得：，令，解得：，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，對(duì)任意的，都有恒成立，即，得，所以；先求的最大值：由，令，解得：，令，解得：，令，解得，則在上所以單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以；所以的最大值為；綜述所述，的最大值為；故答案選B【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，滲透了分類討論思想，屬于中檔題。8、D【解題分析】分析：由題意可得函數(shù)為偶函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，以及指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較即可得到結(jié)果詳解：定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱即函數(shù)為偶函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增故選點(diǎn)睛：本題利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性判斷函數(shù)值的大小，根據(jù)單調(diào)性的概念，只要判定輸入值的大小即可判斷函數(shù)值的大小。9、B【解題分析】有由題意可得：，則(-2,3].本題選擇B選項(xiàng).10、A【解題分析】

由ξ～B（n，p），Eξ＝12，Dξ＝4，知np＝12，np（1﹣p）＝4，由此能求出n和p．【題目詳解】∵Eξ＝12，Dξ＝4，∴np＝12，np（1﹣p）＝4，∴n＝18，p．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查離散型隨機(jī)變量的期望和方差，解題時(shí)要注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)和應(yīng)用．11、C【解題分析】

本題考點(diǎn)為復(fù)數(shù)的運(yùn)算，為基礎(chǔ)題目，難度偏易．此題可采用幾何法，根據(jù)點(diǎn)（x，y）和點(diǎn)(0，1)之間的距離為1，可選正確答案C．【題目詳解】則．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義和模的運(yùn)算，滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取公式法或幾何法，利用方程思想解題．12、A【解題分析】

由題意利用正弦定理可得,再由余弦定理可得cosC的值．【題目詳解】由題意利用正弦定理可得三角形三邊之比為3：2：4，再根據(jù)△ABC的周長(zhǎng)為9，可得．再由余弦定理可得cosC，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，求得是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：利用余弦定理列出關(guān)系式，將已知等式變形代入，再利用正弦定理化簡(jiǎn)得到，進(jìn)而得到的值.詳解：，即，又由余弦定理，正弦定理則，即或.若，，，，由，得，由余弦定理，即有，，.故答案為.點(diǎn)睛：此題考查了正弦定理和余弦定理，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵.14、【解題分析】

關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，可轉(zhuǎn)化為求有兩個(gè)不同的解的問(wèn)題，令，分析的單調(diào)性和圖像，從而求出c的取值范圍.【題目詳解】引入函數(shù)，則，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．又分析知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，所以．【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，此題屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

,所以，所以，故當(dāng)時(shí)，的最小值是.考點(diǎn)：向量的模點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的模的最值，解題的關(guān)鍵是能準(zhǔn)確的表示出模的函數(shù)，再求解最值.16、150【解題分析】

根據(jù)題意，先將5個(gè)攝影組可分為三隊(duì)，分隊(duì)的方式有2種：（1，1，3）和（1,2,2），再進(jìn)行排列，由分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，5個(gè)攝影組可分為三隊(duì)，分隊(duì)的方式有2種：（1，1，3）和（1,2,2），①按（1，1，3）進(jìn)行分隊(duì)有種，再分配到3個(gè)分會(huì)場(chǎng)，共有種；②按（1，2，2）進(jìn)行分隊(duì)有種，再分配到3個(gè)分會(huì)場(chǎng)，共有種；再進(jìn)行相加，共計(jì)60+90=150種，故答案為：150.【題目點(diǎn)撥】本題考查排列、組合的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，考查分類、分步計(jì)數(shù)原理的靈活應(yīng)用，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見(jiàn)解析；（2）.【解題分析】試題分析：（1）取線段的中點(diǎn)，連結(jié)．可得四邊形是平行四邊形，，即可證明平面；（2）以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法二面角的余弦值.試題解析：(1)取線段的中點(diǎn)，連結(jié).∵,∴，且.又為的中點(diǎn)，∴,且.∴,且.∴四邊形是平行四邊形.∴.又平面平面,∴平面.(2)∵兩兩垂直，∴以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,∵三棱柱中，平面，∴即為直線與平面所成的角.設(shè)，則由，得.∴.∴,設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則令，得，即.又平面的一個(gè)法向量為,∴,又二面角的平面角為鈍角，∴二面角的余弦值為.18、（Ⅰ）單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為（Ⅱ）k＜0或k【解題分析】

（Ⅰ）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，上不等式成立；當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，設(shè)，進(jìn)而令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值，從而可求得的取值范圍．【題目詳解】（Ⅰ）由題意，函數(shù)f（x），則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.（Ⅱ）時(shí)，，①當(dāng)時(shí)，上不等式成立，滿足題設(shè)條件；②當(dāng)時(shí)，，等價(jià)于，設(shè)，則，設(shè)，則，∴在[1，+∞）上單調(diào)遞減，得，①當(dāng)，即時(shí)，得，∴在上單調(diào)遞減，得，滿足題設(shè)條件；②當(dāng)，即時(shí)，，而，∴，又單調(diào)遞減，∴當(dāng)，得，∴在上單調(diào)遞增，得，不滿足題設(shè)條件．綜上所述，或．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，以及恒成立問(wèn)題的求解，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計(jì)算能力，對(duì)于恒成立問(wèn)題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．19、（I）（II）見(jiàn)解析【解題分析】

（I）根據(jù)題目點(diǎn)到點(diǎn)的距離和到直線的距離之比為，列出相應(yīng)的等式方程，化簡(jiǎn)可得軌跡C的方程；（II）對(duì)直線分軸、l與x軸重合以及l(fā)存在斜率且斜率不為零三種情況進(jìn)行分析，當(dāng)l存在斜率且斜率不為零時(shí)，利用點(diǎn)斜式設(shè)直線方程，與曲線C的方程進(jìn)行聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，可推得，從而推出．【題目詳解】解：（I）∵到點(diǎn)的距離和到直線的距離之比為.∴，.化簡(jiǎn)得：．故所求曲線C的方程為：.（II）分三種情況討論：1、當(dāng)軸時(shí)，由橢圓對(duì)稱性易知：．2、當(dāng)l與x軸重合時(shí)，由直線與橢圓位置關(guān)系知：3、設(shè)l為：，，且，，由化簡(jiǎn)得：，∴，設(shè)MA,MB，所在直線斜率分別為：，，則此時(shí)，．綜上所述：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了利用定義法求軌跡方程以及直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系中常用的數(shù)學(xué)方法思想有方程思想，數(shù)形結(jié)合思想以及設(shè)而不求的整體代入的技巧與方法．20、(1).(2).【解題分析】試題分析：（1）由題意化簡(jiǎn)得，由銳角三角形，得，，所以；（2）由，得，所以，由余弦定理解得．試題解析：(Ⅰ)，,又為銳角三角形，，,.(Ⅱ)由，得,，,，即.點(diǎn)睛：本題考查解三角形的應(yīng)用．解三角形在高考中屬于基本題型，學(xué)生必須掌握其基本解法．本題中涉及到三角形的轉(zhuǎn)化，