2024屆河北省隆華存瑞中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末調(diào)研模擬試題含解析

2024屆河北省隆華存瑞中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末調(diào)研模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．下列四個(gè)命題中，其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（）①經(jīng)過(guò)球面上任意兩點(diǎn)，可以作且只可以作一個(gè)大圓；②經(jīng)過(guò)球直徑的三等分點(diǎn)，作垂直于該直徑的兩個(gè)平面，則這兩個(gè)平面把球面分成三部分的面積相等；③球的面積是它大圓面積的四倍；④球面上兩點(diǎn)的球面距離，是這兩點(diǎn)所在截面圓上，以這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的劣弧的長(zhǎng)．A．0 B．1 C．2 D．32．已知某產(chǎn)品連續(xù)4個(gè)月的廣告費(fèi)用（千元）與銷售額（萬(wàn)元），經(jīng)過(guò)對(duì)這些數(shù)據(jù)的處理，得到如下數(shù)據(jù)信息：①?gòu)V告費(fèi)用和銷售額之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系；②；③回歸直線方程中的＝0.8（用最小二乘法求得）；那么，廣告費(fèi)用為8千元時(shí)，可預(yù)測(cè)銷售額約為（）A．4.5萬(wàn)元 B．4.9萬(wàn)元 C．6.3萬(wàn)元 D．6.5萬(wàn)元3．若點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為（）A． B． C． D．4．已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖1和圖2所示．為了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取4%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為()A．400，40 B．200，10 C．400，80 D．200，205．與圓及圓都外切的圓的圓心在（）．A．一個(gè)圓上 B．一個(gè)橢圓上 C．雙曲線的一支上 D．拋物線上6．已知為定義在上的奇函數(shù)，且滿足，則的值為()A． B． C． D．7．已知數(shù)列，都是等差數(shù)列，，，設(shè)，則數(shù)列的前2018項(xiàng)和為（）A． B． C． D．8．已知向量，若，則實(shí)數(shù)（）A． B． C． D．9．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A．或 B． C． D．10．2019年，河北等8省公布了高考改革綜合方案將采取“3+1+2”模式，即語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)必考，然后考生先在物理、歷史中選擇1門(mén)，再在思想政治、地理、化學(xué)、生物中選擇2門(mén).一名同學(xué)隨機(jī)選擇3門(mén)功課，則該同學(xué)選到物理、地理兩門(mén)功課的概率為（）A． B． C． D．11．已知隨機(jī)變量滿足，，則下列說(shuō)法正確的是（）A．， B．，C．， D．，12．已知函數(shù)的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．平面上畫(huà)條直線，且滿足任何條直線都相交，任何條直線不共點(diǎn)，則這條直線將平面分成__________個(gè)部分．14．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則______.15．圓：在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到了曲線，曲線的矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到了曲線，則曲線的方程為_(kāi)_________．16．某校高一年級(jí)有名學(xué)生，其中女生人，按男女比例用分層抽樣的方法從該年級(jí)學(xué)生中抽取一個(gè)容量為的樣本，則應(yīng)抽取的男生人數(shù)是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知正三棱柱的高為3，底面邊長(zhǎng)為，點(diǎn)分別為棱和的中點(diǎn)．（1）求證：直線平面；（2）求二面角的余弦值．18．（12分）如圖所示,是邊長(zhǎng)為3的正方形,平面與平面所成角為.(Ⅰ)求證：平面；(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),試確定點(diǎn)的位置,使得平面,并證明你的結(jié)論．19．（12分）已知函數(shù)在處的切線的斜率為1．(1)求的值及的最大值；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明：20．（12分）如圖，直角梯形中，，，，，底面，底面且有.（1）求證：；（2）若線段的中點(diǎn)為，求直線與平面所成角的正弦值.21．（12分）已知二次函數(shù)滿足，且.（1）求的解析式；（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求的最小值；（3）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意，總存在，使得成立，求m的取值范圍.22．（10分）為評(píng)估設(shè)備生產(chǎn)某種零件的性能，從設(shè)備生產(chǎn)零件的流水線上隨機(jī)抽取100件零件作為樣本，測(cè)量其直徑后，整理得到下表：直徑5859616263646566676869707173合計(jì)件數(shù)11356193318442121100經(jīng)計(jì)算，樣本的平均值，標(biāo)準(zhǔn)差，以頻率值作為概率的估計(jì)值，用樣本估計(jì)總體.（1）將直徑小于等于或直徑大于的零件認(rèn)為是次品，從設(shè)備的生產(chǎn)流水線上隨意抽取3個(gè)零件，計(jì)算其中次品個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望；（2）為評(píng)判一臺(tái)設(shè)備的性能，從該設(shè)備加工的零件中任意抽取一件，記其直徑為，并根據(jù)以下不等式進(jìn)行評(píng)判（表示相應(yīng)事件的概率）：①；②；③.評(píng)判規(guī)則為：若同時(shí)滿足上述三個(gè)不等式，則設(shè)備等級(jí)為甲；僅滿足其中兩個(gè)，則等級(jí)為乙；若僅滿足其中一個(gè)，則等級(jí)為丙；若全部不滿足，則等級(jí)為丁，試判斷設(shè)備的性能等級(jí)并說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

結(jié)合球的有關(guān)概念:如球的大圓、球面積公式、球面距離等即可解決問(wèn)題,對(duì)于球的大圓、球面積公式、球面距離等的含義的理解,是解決此題的關(guān)鍵.【題目詳解】對(duì)于①,若兩點(diǎn)是球的一條直徑的端點(diǎn),則可以作無(wú)數(shù)個(gè)球的大圓,故①錯(cuò);

對(duì)于②三部分的面積都是，故②正確對(duì)于③,球面積=,是它大圓面積的四倍,故③正確;

對(duì)于④,球面上兩點(diǎn)的球面距離,是這兩點(diǎn)所在大圓上以這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的劣弧的長(zhǎng),故④錯(cuò).

所以①④錯(cuò)誤.

所以C選項(xiàng)是正確的.【題目點(diǎn)撥】本題考查球的性質(zhì),特別是求兩點(diǎn)的球面距離,這兩個(gè)點(diǎn)肯定在球面上,做一個(gè)圓使它經(jīng)過(guò)這兩個(gè)點(diǎn),且這個(gè)圓的圓心在球心上,兩點(diǎn)的球面距離對(duì)應(yīng)的是這個(gè)圓兩點(diǎn)之間的對(duì)應(yīng)的較短的那個(gè)弧的距離.2、C【解題分析】

由已知可求出，進(jìn)而可求出，即可得到回歸方程，令，可求出答案.【題目詳解】由題意，，因?yàn)椋?，則回歸直線方程為.當(dāng)時(shí)，.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了線性回歸方程的求法，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解題分析】點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn),所以當(dāng)曲線在點(diǎn)P的切線與直線平行時(shí)，點(diǎn)P到直線的距離的最小，直線的斜率為1，由，解得或（舍）.所以曲線與直線的切點(diǎn)為.點(diǎn)到直線的距離最小值是.選C.4、A【解題分析】

由扇形圖能得到總數(shù)，利用抽樣比較能求出樣本容量；由分層抽樣和條形圖能求出抽取的高中生近視人數(shù).【題目詳解】用分層抽樣的方法抽取的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，樣本容量為：，抽取的高中生近視人數(shù)為：，故選A.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)概率統(tǒng)計(jì)的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有扇形圖與條形圖的應(yīng)用，以及分層抽樣的性質(zhì)，注意對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的靈活應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)單題目.5、C【解題分析】

設(shè)動(dòng)圓的半徑為，然后根據(jù)動(dòng)圓與圓及圓都外切得，再兩式相減消去參數(shù)，則滿足雙曲線的定義，即可求解.【題目詳解】設(shè)動(dòng)圓的圓心為，半徑為，而圓的圓心為，半徑為1；圓的圓心為，半徑為1．依題意得，則，所以點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了圓與圓的位置關(guān)系，以及雙曲線的定義的應(yīng)用，其中解答中熟記圓與圓的位置關(guān)系和雙曲線的定義是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解題分析】

由已知求得函數(shù)的周期為4，可得f（11）＝f（2+8）＝f（2）＝1．【題目詳解】∵f（1+x）＝f（1﹣x），∴f（﹣x）＝f（2+x），又f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，∴f（2+x）＝﹣f（x），則f[2+（2+x）]＝﹣f（2+x）＝﹣[﹣f（x）]＝f（x），即f（4+x）＝f（x），∴f（x）為以4為周期的周期函數(shù)，由f（1+x）＝f（1﹣x），得f（2）＝f（1）＝1，∴f（11）＝f（2+8）＝f（2）＝1．故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．7、D【解題分析】

利用，求出數(shù)列，的公差，可得數(shù)列，的通項(xiàng)公式，從而可得，進(jìn)而可得結(jié)果.【題目詳解】設(shè)數(shù)列，的公差分別為，，則由已知得，，所以，，所以，，所以，所以數(shù)列的前2018項(xiàng)和為,故選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式基本量運(yùn)算，考查了數(shù)列的求和，意在考查綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解答問(wèn)題的能力，屬于中檔題.8、B【解題分析】

由題得，解方程即得解.【題目詳解】因?yàn)椋?故選B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查向量垂直的坐標(biāo)表示，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.9、C【解題分析】

先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)小于零，解不等式即可得出單調(diào)遞減區(qū)間。【題目詳解】由題可得，令，即，解得或，又因?yàn)?，故，故選C【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，解題的關(guān)鍵是注意定義域，屬于簡(jiǎn)單題。10、B【解題分析】

先計(jì)算出基本事件的總數(shù)，然后再求出該同學(xué)選到物理、地理兩門(mén)功課的基本事件的個(gè)數(shù)，應(yīng)用古典概型公式求出概率.【題目詳解】解:由題意可知總共情況為，滿足情況為，該同學(xué)選到物理、地理兩門(mén)功課的概率為.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了古典概型公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.11、D【解題分析】分析：利用期望與方差的性質(zhì)與公式求解即可.詳解：隨機(jī)變量滿足，所以，解得，故選D.點(diǎn)睛：已知隨機(jī)變量的均值、方差，求的線性函數(shù)的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接用的均值、方差的性質(zhì)求解.若隨機(jī)變量的均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差，則數(shù)的均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差.12、C【解題分析】

函數(shù)在時(shí)取得最大值,在或時(shí)得,結(jié)合二次函數(shù)圖象性質(zhì)可得的取值范圍.【題目詳解】二次函數(shù)的圖象是開(kāi)口向下的拋物線.最大值為，且在時(shí)取得，而當(dāng)或時(shí)，.結(jié)合函數(shù)圖象可知的取值范圍是．故選:C．【題目點(diǎn)撥】本題考查二次函數(shù)的圖像和性質(zhì),考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：根據(jù)幾何圖形，列出前面幾項(xiàng)，根據(jù)歸納推理和數(shù)列中的累加法即可得到結(jié)果。詳解：1條直線將平面分成2個(gè)部分，即2條直線將平面分成4個(gè)部分，即3條直線將平面分為7個(gè)部分，即4條直線將平面分為11個(gè)部分，即，所以….根據(jù)累加法得所以點(diǎn)睛：本題綜合考查了數(shù)列的累加法、歸納推理的綜合應(yīng)用。在解題過(guò)程中，應(yīng)用歸納推理是解決較難題目的一種思路和方法，通過(guò)分析具體項(xiàng)，找到一般規(guī)律，再分析解決問(wèn)題，屬于中檔題。14、4【解題分析】

由已知條件可判斷出數(shù)列為等比數(shù)列，再由可求出首項(xiàng)，再令即可求出的值.【題目詳解】，且，，即，則數(shù)列為等比數(shù)列且公比為，，，在中令得：故答案為：4【題目點(diǎn)撥】本題考查了已知的關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)，以及等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于一般題.15、【解題分析】分析：詳解：，設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，是圓：上與P對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，，得，，是圓上的點(diǎn)，的方程為，即.故答案為：.點(diǎn)睛：本題考查了幾種特殊的矩陣變換，體現(xiàn)了方程的數(shù)學(xué)思想.16、【解題分析】

先求出男生的抽樣比,再乘以樣本容量即可得到應(yīng)抽取的男生人數(shù).【題目詳解】因?yàn)槟承８咭荒昙?jí)有名學(xué)生，其中女生人,所以其中男生有180-80=100人,所以男生抽樣比為,若抽取一個(gè)容量為的樣本,則應(yīng)抽取的男生人數(shù)是人.故答案為:25.【題目點(diǎn)撥】本題考查了分層抽樣,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）詳見(jiàn)解析；（2）．【解題分析】

取BC中點(diǎn)F，連接FE，F(xiàn)D，可證平面AFDE，則，求解三角形證明，再由線面垂直的判定可得直線平面BCE；

以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面BED與平面BCD的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．【題目詳解】（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)，如圖，由題意知，四邊形為矩形，且．因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)椋云矫?，所以．?所以平面．（2）以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則0，，0，，，

，，

設(shè)平面BED的一個(gè)法向量為，

由，取，得．

取平面BCD的一個(gè)法向量為，

．

且二面角為銳角，

二面角的余弦值為．【題目點(diǎn)撥】本題考查線面垂直的判定，利用空間向量求解二面角的余弦值，考查空間想象能力與思維能力，屬于中檔題．18、(Ⅰ)見(jiàn)解析；(Ⅱ).【解題分析】試題分析:(1)由線面垂直的判定定理證明;(2)建立空間直角坐標(biāo)系,寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo),由于點(diǎn)M在線段BD上,所以設(shè),求出平面BEF的法向量,由,求出點(diǎn)M的坐標(biāo).試題解析:(Ⅰ)證明：∵平面,∴,∵是正方形,∴,又,∴平面.(Ⅱ)解：因?yàn)閮蓛纱怪?所以建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,因?yàn)榕c平面所成角為,即,所以,由,可知,則,所以,設(shè)平面的法向量,則,即.令得,,又點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn),設(shè),則因?yàn)槠矫?所以,即解得.此時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,2,0)即當(dāng)時(shí),平面.19、（1）；（2）見(jiàn)證明【解題分析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用即可求出的值，再利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的增減性，于是求得最大值；（2）①當(dāng)，不等式成立；②假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立；驗(yàn)證時(shí)，不等式成立即可.【題目詳解】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)數(shù)，得．由已知，得，即，∴．此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．∴當(dāng)時(shí)，取得極大值，該極大值即為最大值，∴；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，∴左邊＞右邊，不等式成立．②假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即．那么，由（1），知（，且）．令，則，∴，∴．即當(dāng)時(shí)，不等式也成立．根據(jù)①②，可知不等式對(duì)任意都成立．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的最值，數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，分析能力，邏輯推理能力，難度較大.20、(1)證明見(jiàn)解析；(2).【解題分析】試題分析：（1）根據(jù)線段長(zhǎng)度的關(guān)系得到，，、是平面內(nèi)的相交直線，平面，進(jìn)而得到線線垂直；（2）常用的方法是建系，建立空間坐標(biāo)系，求得直線的方向向量和面的法向量，根據(jù)向量的夾角公式得到線面角.解析：（1），，且是等腰直角三角形，平面中，，，可得，即底面，底面，、是平面內(nèi)的相交直線，平面平面，（2）解法一：幾何法如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接，，，，，平面，平面，結(jié)合且，可得平面是在平面內(nèi)的射影，可得就是直線與平面所成的角.中，，中，，，，可得因此，在中，即直線與平面所成角的正弦值是.解法二：向量法如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以：設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由可取設(shè)直線與平面所成角為，則.21、（1）；（2）；（3）【解題分析】

(1)根據(jù)二次函數(shù),則可設(shè),再根據(jù)題中所給的條件列出對(duì)應(yīng)的等式對(duì)比得出所求的系數(shù)即可.(2)根據(jù)(1)中所求的求得,再分析對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論求解的最小值即可.(3)根