2024屆河南省登封市外國語高級中學數(shù)學高二下期末質量檢測模擬試題含解析

2024屆河南省登封市外國語高級中學數(shù)學高二下期末質量檢測模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設實數(shù)x，y滿足約束條件3x-2y+4≥0x+y-4≤0x-ay-2≤0，已知z=2x+y的最大值是7，最小值是A．6B．-6C．-1D．12．函數(shù)f(x)=x3-12x+8在區(qū)間A．17 B．12 C．32 D．243．已知函數(shù)，如果函數(shù)在定義域為(0,?+∞)只有一個極值點，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．4．設函數(shù)定義如下表：1234514253執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的的值是（）A．4 B．5 C．2 D．35．已知是可導函數(shù)，且對于恒成立，則A． B．C． D．6．在底面為正方形的四棱錐中，平面，，則異面直線與所成的角是（）A． B． C． D．7．已知隨機變量服從的分布列為123…nP…則的值為（）A．1 B．2 C． D．38．已知定義域為正整數(shù)集的函數(shù)滿足，則數(shù)列的前項和為（）A． B． C． D．9．已知復數(shù)是純虛數(shù)，，則（）A． B． C． D．10．設隨機變量ξ~B(2,p),?η~B(4,p)，若P(ξ≥1)=5A．1127 B．3281 C．6511．設a∈R，則“a=3”是“直線ax+2y+3a=0和直線3x+(a-1)y=a-7平行”的A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要條件 D．既不充分也不必要12．在△ABC中內角A，B，C所對各邊分別為，，，且，則角=A．60° B．120° C．30° D．150°二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．執(zhí)行如圖所示的流程圖，則輸出的值為_______．14．已知函數(shù)為偶函數(shù)，則的解集為__________．15．已知圓：的兩焦點為，，點滿足，則的取值范圍為______.16．不等式的解為______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足：Sn＝＋－1，且an>0，n∈N*.（1）求a1，a2，a3，并猜想{an}的通項公式；（2）證明（1）中的猜想.18．（12分）已知的最小正周期為．(1)求的值；(2)在中，角，，所對的邊分別是為，，，若，求角的大小以及的取值范圍．19．（12分）已知的內角A的大小為，面積為.(1)若，求的另外兩條邊長；(2)設O為的外心，當時，求的值.20．（12分）已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的零點；（2）若不等式至少有一個負解，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）第一屆“一帶一路”國際合作高峰論壇于2017年5月14日至15日在北京舉行，這是2017年我國重要的主場外交活動，對推動國際和地區(qū)合作具有重要意義．某高中政教處為了調查學生對“一帶一路”的關注情況，在全校組織了“一帶一路知多少”的知識問卷測試，并從中隨機抽取了12份問卷，得到其測試成績（百分制），如莖葉圖所示．（1）寫出該樣本的眾數(shù)、中位數(shù)，若該校共有3000名學生，試估計該校測試成績在70分以上的人數(shù)；（2）從所抽取的70分以上的學生中再隨機選取4人．①記表示選取4人的成績的平均數(shù)，求；②記表示測試成績在80分以上的人數(shù)，求的分布和數(shù)學期望．22．（10分）隨著國內電商的不斷發(fā)展，快遞業(yè)也進入了高速發(fā)展時期，按照國務院的發(fā)展戰(zhàn)略布局，以及國家郵政管理總局對快遞業(yè)的宏觀調控，SF快遞收取快遞費的標準是：重量不超過1kg的包裹收費10元；重量超過1kg的包裹，在收費10元的基礎上，每超過1kg（不足1kg，按1kg計算）需再收5元.某縣SF分代辦點將最近承攬的100件包裹的重量統(tǒng)計如下：重量（單位：kg）（0，1]（1，2]（2，3]（3，4]（4，5]件數(shù)43301584對近60天，每天攬件數(shù)量統(tǒng)計如下表：件數(shù)范圍0~100101~200201~300301~400401~500件數(shù)50150250350450天數(shù)663016以上數(shù)據(jù)已做近似處理，將頻率視為概率.（1）計算該代辦點未來5天內不少于2天攬件數(shù)在101~300之間的概率；（2）①估計該代辦點對每件包裹收取的快遞費的平均值；②根據(jù)以往的經(jīng)驗，該代辦點將快遞費的三分之一作為前臺工作人員的工資和公司利潤，其余的用作其他費用.目前該代辦點前臺有工作人員3人，每人每天攬件不超過150件，日工資110元.代辦點正在考慮是否將前臺工作人員裁減1人，試計算裁員前后代辦點每日利潤的數(shù)學期望，若你是決策者，是否裁減工作人員1人？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】試題分析：畫出不等式組表示的區(qū)域如圖，從圖形中看出當不成立，故，當直線經(jīng)過點時,取最大值，即，解之得，所以應選D.考點：線性規(guī)劃的知識及逆向運用．【易錯點晴】本題考查的是線性約束條件與數(shù)形結合的數(shù)學思想的求參數(shù)值的問題,解答時先構建平面直角坐標系,準確的畫出滿足題設條件3x-2y+4≥0x+y-4≤0x-ay-2≤0的平面區(qū)域,然后分類討論參數(shù)的符號,進而移動直線,發(fā)現(xiàn)當該直線經(jīng)過點時取得最大值,以此建立方程,通過解方程求出參數(shù)的值.2、D【解題分析】

對函數(shù)求導，求出函數(shù)y=fx的極值點，分析函數(shù)的單調性，再將極值與端點函數(shù)值比較大小，找出其中最大的作為函數(shù)y=f【題目詳解】∵fx=x3-12x+8x-3,-2-2-2,222,3f+0-0+f↗極大值↘極小值↗所以，函數(shù)y=fx的極大值為f-2=24又f-3=17，f3=-1，因此，函數(shù)y=fx故選：D?！绢}目點撥】本題考查利用導數(shù)求函數(shù)在定區(qū)間上的最值，解題時嚴格按照導數(shù)求最值的基本步驟進行，考查計算能力，屬于中等題。3、C【解題分析】分析：求函數(shù)的導函數(shù)，并化簡整理，結合函數(shù)在定義域為(0,?+∞)只有一個極值點進行討論即可.詳解：函數(shù)的定義域為(0,?+∞)①當時，恒成立，令，則，即在上單調遞增，在上單調遞減，則在處取得極小值，符合題意；②當時，時，又函數(shù)在定義域為(0,?+∞)只有一個極值點，在處取得極值.從而或恒成立，構造函數(shù)，，設與相切的切點為，則切線方程為，因為切線過原點，則，解得，則切點為此時.由圖可知：要使恒成立，則.綜上所述：.故選：C.點睛：導函數(shù)的零點并不一定就是原函數(shù)的極值點．所以在求出導函數(shù)的零點后一定要注意分析這個零點是不是原函數(shù)的極值點．4、B【解題分析】

根據(jù)流程圖執(zhí)行循環(huán)，確定周期，即得結果【題目詳解】執(zhí)行循環(huán)得：所以周期為4，因此結束循環(huán)，輸出，選B.【題目點撥】本題考查循環(huán)結構流程圖，考查基本分析求解能力，屬基礎題.5、D【解題分析】分析：構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷其單調性即可得出.詳解：已知是可導函數(shù)，且對于恒成立，即恒成立，令，則，函數(shù)在R上單調遞減，，即，化為.故選：D.點睛：本題是知識點交匯的綜合題，考查綜合運用函數(shù)思想解題的能力，恰當構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷單調性是解題的關鍵.6、B【解題分析】

底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，分別過P，D點作AD，AP的平行線交于M，連接CM，AM，因為PB∥CM，所以就是異面直線PB與AC所成的角.【題目詳解】解：由題意：底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，分別過P，D點作AD，AP的平行線交于M，連接CM，AM，

.

∴PBCM是平行四邊形，

∴PB∥CM，

所以∠ACM就是異面直線PB與AC所成的角.

設PA＝AB＝，在三角形ACM中，

∴三角形ACM是等邊三角形.

所以∠ACM等于60°，即異面直線PB與AC所成的角為60°.

故選：B.【題目點撥】本題考查了兩條異面直線所成的角的證明及求法.屬于基礎題.7、A【解題分析】

由概率之和為1，列出等式，即可求得k值.【題目詳解】由概率和等于1可得：，即.故選A.【題目點撥】本題考查分布列中概率和為1，由知識點列式即可得出結論.8、A【解題分析】分析：通過求出，再利用等差數(shù)列的求和公式即可求得答案.詳解：當時，有；當時，有；當時，有；…...，.故答案為：A.點睛：本題主要考查了數(shù)列求和以及通項公式的求法，考查計算能力與分析能力，屬于中檔題.9、B【解題分析】

根據(jù)純虛數(shù)定義，可求得的值；代入后可得復數(shù)，再根據(jù)復數(shù)的除法運算即可求得的值.【題目詳解】復數(shù)是純虛數(shù)，則，解得，所以，則，故選：B.【題目點撥】本題考查了復數(shù)的概念，復數(shù)的除法運算，屬于基礎題.10、A【解題分析】

利用二項分布概率計算公式結合條件Pξ≥1=59計算出【題目詳解】由于ξ~B2,p，則Pξ≥1=1-P所以，η~B4,1=1127【題目點撥】本題考查二項分布概率的計算，解題的關鍵在于找出基本事件以及靈活利用二項分布概率公式，考查計算能力，屬于中等題。11、C【解題分析】

先由兩直線平行解得a的值，再通過檢驗是否重合可得a=3，從而得兩命題的關系.【題目詳解】若直線ax+2y+3a=0和直線3x+(a-1)y=a-7平行，可得：aa-1=2×3，解得當a=3時，兩直線分別為：3x+2y+9=0和3x+2y+4=0，滿足平行；當a=-2時，兩直線分別為：x-y+3=0和x-y+3=0，兩直線重合；所以“a=3”是“直線ax+2y+3a=0和直線3x+(a-1)y=a-7平行”的充要條件.故選C.【題目點撥】本題主要考查了兩直線平行求參數(shù)值的問題。已知兩直線的一般方程判定兩直線平行的一般方法為：已知l1:A1x+12、A【解題分析】分析：利用余弦定理即可。詳解：由余弦定理可知，所以。點睛：已知三邊關系求角度，用余弦定理。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解題分析】

根據(jù)程序框圖運行程序，直到滿足，輸出結果即可.【題目詳解】按照程序框圖運行程序，輸入，則，，不滿足，循環(huán)；，，不滿足，循環(huán)；，，不滿足，循環(huán)；，，滿足，輸出結果：本題正確結果：【題目點撥】本題考查根據(jù)程序框圖中的循環(huán)結構計算輸出結果，屬于常考題型.14、【解題分析】

先求出，根據(jù)為偶函數(shù)，即可得出,從而得出，從而判斷在上單調遞增，且，這樣即可由，得出，從而得出，這樣解不等式即可.【題目詳解】由題知函數(shù)為偶函數(shù)，則解得，所以，，故即答案為.【題目點撥】本題主要考查函數(shù)的奇偶性，屬于中檔題.已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，主要方法有兩個，一是利用關系式：奇函數(shù)由恒成立求解，偶函數(shù)由恒成立求解；二是利用特殊值：奇函數(shù)一般由求解，偶函數(shù)一般由求解，用特殊法求解參數(shù)后，一定要注意驗證奇偶性.15、【解題分析】

點滿足則點在橢圓內,且不包含原點.故根據(jù)橢圓定義再分析即可.【題目詳解】由題有點在橢圓內,且不包含原點.故,又當在線段上（不包含原點）時取得最小值2.故.故答案為：【題目點撥】本題主要考查了橢圓的定義及其性質,屬于基礎題型.16、或或或【解題分析】

利用組合數(shù)公式得出關于的不等式，解出的取值范圍，即可得出正整數(shù)的取值.【題目詳解】，由組合數(shù)公式得，得，整理得，即，解得，由題意可知且，因此，不等式的解為或或或.故答案為：或或或.【題目點撥】本題考查組合不等式的求解，解題的關鍵就是利用組合數(shù)公式列出不等式，考查運算求解能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）a1＝－1；a2＝－；a3＝－；猜想an＝－（n∈N*）（2）證明見解析【解題分析】

（1）分別令n＝1、2，通過解一元二次方程結合已知的遞推公式可以求出a1，a2，同理求出a3，根據(jù)它們的值的特征猜想{an}的通項公式；（2）利用數(shù)學歸納法，通過解一元二次方程可以證明即可.【題目詳解】（1）當n＝1時，由已知得a1＝＋－1，即∴當n＝2時，由已知得a1＋a2＝＋－1，將a1＝－1代入并整理得＋2a2－2＝0.∴a2＝－（a2>0）.同理可得a3＝－.猜想an＝－（n∈N*）.（2）【證明】①由（1）知，當n＝1，2，3時，通項公式成立.②假設當n＝k（k≥3，k∈N*）時，通項公式成立，即ak＝－.由于ak＋1＝Sk＋1－Sk＝＋－－，將ak＝－代入上式，整理得＋2ak＋1－2＝0，∴ak+1＝－，即n＝k＋1時通項公式成立.根據(jù)①②可知，對所有n∈N*，an＝－成立.【題目點撥】本題考查了通過數(shù)列前幾項的值，猜想數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學歸納法證明猜想，屬于基礎題.18、(1);(2),.【解題分析】試題分析：（1）根據(jù)三角恒等變換的公式，得，根據(jù)周期，得，即，即可求解的值；（2）根據(jù)正弦定理和三角恒等變換的公式，化簡，可得，可得，進而求得，即可求解的取值范圍.試題解析：(1)∵，由函數(shù)的最小正周期為，即，得，∴，∴．（2）∵，∴由正弦定理可得，∴．∵，∴．∵，．∵，∴，∴，∴，∴．19、（1）,；（2）或【解題分析】

（1）由三角形面積公式得到AC邊，再由余弦定理即可得出BC邊；（2）由（1）可知，利用余弦定理可求，設的中點為，則，結合為的外心，可得，從而可求得．【題目詳解】（1）設的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，于是，所以因為，所以.由余弦定理得.（2）由得，即，解得或4.設的中點為D，則，因為O為的外心，所以，于是.所以當時，，；當時，，.【題目點撥】本題主要考查三角形的面積公式及余弦定理的應用以及向量的基本運算和性質的應用．屬于中檔題.20、（1）；（2）【解題分析】

（1）由，有，即，即可求得函數(shù)的零點；（2）不等式可化為，分別作出拋物線在軸上方的部分和拋物線在軸下方的部，結合圖象求得兩個臨界位置，即可得到答案.【題目詳解】（1）當時，函數(shù)，令，有，即，則，解得，即，故函數(shù)的零點為；（2）不等式可化為，如圖所示，曲線段和分別是拋物線在軸上方的部分和拋物線在軸下方的部，因為不等式至少有一個負解，由圖象可知，直線有兩個臨界位置，一個是與曲線段相切，另一個是通過曲線段和軸的交點，后者顯然對應于；前者由可得到方程，由，解得，因此當時，不等式至少有一個負解，故實數(shù)的取值范圍是.【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合應用，以及利用函數(shù)的圖象求解不等式的有解問題，其中解答中熟記函數(shù)零點的概念，以及合理利用函數(shù)的圖象是解答的關鍵，著重考查了數(shù)形結合思想，以及推理與運算能力，屬于中檔試題.21、（1）；（2）①，②.【解題分析】試題分析：（1）眾數(shù)為，中位數(shù)為，抽取的人中，分以下的有人，不低于分的有人，從而求出從該校學生中任選人，這個人測試成績在分以上的概率，由此能求出該校這次測試成績在分以上的人數(shù)；（2）①由題意知分以上的有，，，，，，，，當所選取的四個人的成績的平均分大于分時，有兩類：一類是：，，，，共1種；另一類是：，，，，共3種．由此能求出；②由題意得的可能取值為0，1，2，3，4，分別求出相應的概率，由此能求出的分布列和．試題解析：(1)眾數(shù)為76，中位數(shù)為76.抽取的12人中，70分以下的有4人，不低于70分的有8人，故從該校學生中人選1人，這個人測試成績在70分以上的概率為，故該校這次測試成績在70分以上的約有（人）(2)①由題意知70分以上的有72，76，76，76，82，88，93，94.當所選取的四個人的成績的平均分大于87分時，有兩類.一類是82，88，93，94，共1種；另一類是76，88，93，94，共3種.所以.②由題意可得，的可能取值為0，1，2，3，4,,,,.的分別列為01234.22、（1）28533125（2）①15，②代辦點不應將前臺工作人員裁員1【解題分析】

（1）由題意得到樣本中包裹件數(shù)在101~300之間的概率為35，進而得到包裹件數(shù)在101~300之間的天數(shù)服從二項分布X（2）①利用平均數(shù)的計算公式，求得樣本中每件快遞收取的費用的平均值，即可得到結論；②根據(jù)題意及①，分別計算出不裁員和裁員，代辦點平均每日利潤的期望值，比較即可得到結論.【題目詳解】（1）由題意，可得樣本中包裹件數(shù)在101~300之間的天數(shù)為36，頻率f=36故可估計概率為35，顯然未來5天中，包裹件數(shù)在1