2024屆廣東省廣州市番禺區(qū)番禺中學高二數學第二學期期末預測試題含解析

2024屆廣東省廣州市番禺區(qū)番禺中學高二數學第二學期期末預測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．甲組有5名男同學，3名女同學；乙組有6名男同學、2名女同學．若從甲、乙兩組中各選出2名同學，則選出的4人中恰有1名女同學的不同選法共有()A．150種 B．180種 C．300種 D．345種2．從10名大學畢業(yè)生中選3人擔任村長助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數為()A．85 B．56C．49 D．283．函數在定義域內可導，其圖象如圖所示，記的導函數為，則不等式的解集為（）A． B．C． D．4．在二項式的展開式中，的系數為（）A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．805．六個人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有（）A．192種 B．216種 C．240種 D．288種6．的展開式中常數項為()A．-240 B．-160 C．240 D．1607．設函數，若實數分別是的零點，則（）A． B． C． D．8．已知經過，兩點的直線AB與直線l垂直，則直線l的傾斜角是（）A．30° B．60° C．120° D．150°9．針對時下的“抖音熱”，某校團委對“學生性別和喜歡抖音是否有關”作了一次調查，其中被調查的女生人數是男生人數的12，男生喜歡抖音的人數占男生人數的16，女生喜歡抖音的人數占女生人數23，若有99%參考公式：KP0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828A．12人 B．18人 C．24人 D．30人10．己知變量x，y的取值如下表：x3456y2.5344.5由散點圖分析可知y與x線性相關，且求得回歸方程為，據此預測：當時，y的值約為A．5.95 B．6.65 C．7.35 D．711．平面向量，，（），且與的夾角等于與的夾角，則（）A． B． C． D．12．已知雙曲線：1，左右焦點分別為，，過的直線交雙曲線左支于，兩點，則的最小值為（）A． B．11 C．12 D．16二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知地球的半徑約為6371千米，上海的位置約為東經、北緯，開羅的位置約為東經、北緯，兩個城市之間的距離為______．（結果精確到1千米）14．雙曲線H的漸近線為x+2y＝1與x﹣2y＝1．若H經過點P（2，1），則雙曲線H的方程為_____．15．已知冪函數的圖象經過點，則實數α的值是_______.16．函數在上的減區(qū)間為_____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某公司為了解廣告投入對銷售收益的影響，在若干地區(qū)各投入萬元廣告費用，并將各地的銷售收益（單位：萬元）繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.由于工作人員操作失誤，橫軸的數據丟失，但可以確定橫軸是從開始計數的.廣告投入/萬元12345銷售收益/萬元23257（Ⅰ）根據頻率分布直方圖計算圖中各小長方形的寬度；（Ⅱ）該公司按照類似的研究方法，測得另外一些數據，并整理得到上表：表中的數據顯示與之間存在線性相關關系，求關于的回歸方程；（Ⅲ）若廣告投入萬元時，實際銷售收益為萬元，求殘差.附：，18．（12分）已知函數.（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）求函數的極值.19．（12分）已知函數的最大值為4.（1）求實數的值；（2）若，求的最小值.20．（12分）如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，面，且，為中點．（1）證明：//平面；（2）證明：平面平面；（3）求二面角的余弦值．21．（12分）已知函數的最小正周期為.（1）當時，求函數的值域；（2）已知的內角，，對應的邊分別為，，，若，且，，求的面積.22．（10分）如圖，在四棱錐E﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，且DE＝，平面ABCD⊥平面ADE，∠ADE＝30°（1）求證：AE⊥平面CDE；（2）求AB與平面BCE所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】試題分析：分兩類（1）甲組中選出一名女生有種選法；（2）乙組中選出一名女生有種選法．故共有345種選法考點：排列組合2、C【解題分析】試題分析：根據題意：，故選C.考點：排列組合.3、A【解題分析】

根據導數大于0時函數單調遞增，導數小于0時原函數單調遞減，確定函數的單調性【題目詳解】解：由圖象可知，即求函數的單調減區(qū)間，從而有解集為，故選：．【題目點撥】本題主要考查了函數的單調性與導數的關系，解題的關鍵是識圖，屬于基礎題．4、A【解題分析】

根據二項展開式的通項，可得，令，即可求得的系數，得到答案.【題目詳解】由題意，二項式的展開式的通項為，令，可得，即展開式中的系數為，故選A.【題目點撥】本題主要考查了二項式定理的應用，其中解答中熟記二項展開式的通項是解答本題的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.5、B【解題分析】分類討論，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根據加法原理可得結論．解：最左端排甲，共有=120種，最左端只排乙，最右端不能排甲，有=96種，根據加法原理可得，共有120+96=216種．故選B．6、C【解題分析】

求得二項式的通項，令，代入即可求解展開式的常數項，即可求解.【題目詳解】由題意，二項式展開式的通項為，當時，，即展開式的常數項為，故選C.【題目點撥】本題主要考查了二項式的應用，其中解答中熟記二項展開式的通項，準確運算是解答的關鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題.7、A【解題分析】由題意得，函數在各自的定義域上分別為增函數，∵，又實數分別是的零點∴，∴，故．選A．點睛：解答本題時，先根據所給的函數的解析式判斷單調性，然后利用判斷零點所在的范圍，然后根據函數的單調性求得的取值范圍，其中借助0將與聯系在一起是關鍵．8、B【解題分析】

首先求直線的斜率，再根據兩直線垂直，求直線的斜率，以及傾斜角.【題目詳解】，，，直線l的傾斜角是.故選B.【題目點撥】本題考查了兩直線垂直的關系，以及傾斜角和斜率的基本問題，屬于簡單題型.9、B【解題分析】

設男生人數為x，女生人數為x2，完善列聯表，計算K2【題目詳解】設男生人數為x，女生人數為x喜歡抖音不喜歡抖音總計男生1656x女生1316x總計xx32K男女人數為整數故答案選B【題目點撥】本題考查了獨立性檢驗，意在考查學生的計算能力和應用能力.10、B【解題分析】

先計算數據的中心點，代入回歸方程得到，再代入計算對應值.【題目詳解】數據中心點為代入回歸方程當時，y的值為故答案選B【題目點撥】本題考查了數據的回歸方程，計算數據中心點代入方程是解題的關鍵，意在考查學生的計算能力.11、D【解題分析】

,,,與的夾角等于與的夾角,,,解得,故選D.【考點定位】向量的夾角及向量的坐標運算.12、B【解題分析】

根據雙曲線的定義，得到，再根據對稱性得到最小值，從而得到的最小值.【題目詳解】根據雙曲線的標準方程，得到，根據雙曲線的定義可得，，所以得到，根據對稱性可得當為雙曲線的通徑時，最小.此時，所以的最小值為.故選：B.【題目點撥】本題考查雙曲線的定義求線段和的最小值，雙曲線的通徑，考查化歸與轉化思想，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、千米【解題分析】

設上海為點,開羅為點.求兩個城市之間的距離,即求兩城市在地球上的球面距離.由題意可知上海和開羅都在北緯的位置,即在同一緯度的圓上,計算出此圓的半徑,即可求.在三角形由余弦定理可求得,結合扇形弧長公式,即可求得兩個城市之間的距離.【題目詳解】設上海為點,開羅為點,地球半徑為根據緯度定義,設北緯所在圓的半徑為,可得:上海的位置約為東經,開羅的位置約為東經,故在北緯所在圓上的圓心角為:.在中得中,根據余弦定理可得:根據扇形弧長公式可得:劣弧故答案為:千米.【題目點撥】本題由經度,緯度求球面上兩點距離,根據題意畫出空間圖形,理解經度和緯度的定義是解本題關鍵,考查空間想象能力,屬于基礎題.14、1【解題分析】

設共漸近線的雙曲線系方程后，代入點坐標即可得到答案.【題目詳解】依題意可設所求雙曲線方程為，因為H經過點P（2，1），所以，即，所以雙曲線的方程為，即.故答案為：【題目點撥】本題考查了用共漸近線的雙曲線系方程求雙曲線方程，設出共共漸近線的雙曲線系方程是解題關鍵，屬于基礎題.15、【解題分析】

由冪函數的定義，把代入可求解.【題目詳解】點在冪函數的圖象上，，，故答案為：【題目點撥】本題考查冪函數的定義.冪函數的性質:(1)冪函數在上都有定義；(2)冪函數的圖象過定點；(3)當時，冪函數的圖象都過點和，且在上單調遞增；(4)當時，冪函數的圖象都過點，且在上單調遞減；(5)當為奇數時，冪函數為奇函數；當為偶數時，冪函數為偶函數．16、【解題分析】

利用兩角和差的正弦公式化簡函數的解析式為,結合正弦函數圖像,即可求得函數的減區(qū)間.【題目詳解】函數根據正弦函數減區(qū)間可得:,解得:,故函數的減區(qū)間為:再由,可得函數的減區(qū)間為故答案為:【題目點撥】本題主要考查三角函數的單調區(qū)間的求法,利用正弦函數的圖像和性質是解決本題的關鍵,考查了計算能力,屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1).(2).(3).【解題分析】分析：（Ⅰ）設各小長方形的寬度為，由頻率直方圖各小長方形的面積總和為，可得，從而可得結果；（Ⅱ）利用平均數公式求出平均數、利用樣本中心的性質結合公司可求得回歸系數，從而可寫出線性回歸方程；（Ⅲ）計算當時，銷售收益預測值，再求殘差值.詳解：（Ⅰ）設各小長方形的寬度為，由頻率直方圖各小長方形的面積總和為，可知，故.（Ⅱ）由題意，可知，，，，根據公式，可求得，，所以關于的回歸方程為.（Ⅲ）當時，銷售收益預測值（萬元），又實際銷售收益為萬元，所以殘差點睛：求回歸直線方程的步驟：①確定兩個變量具有線性相關關系；②計算的值；③計算回歸系數；④寫出回歸直線方程為；回歸直線過樣本點中心是一條重要性質，利用線性回歸方程可以估計總體，幫助我們分析兩個變量的變化趨勢.18、（Ⅰ）（Ⅱ）的極大值為，的極小值為【解題分析】分析：（1）先求導，再利用導數的幾何意義求切線的斜率，再求曲線在點處的切線方程.(2)利用導數求函數的極值.詳解：（Ⅰ），，.故切線的斜率，由直線的點斜式方程可得，化簡得，所以切線方程為.（Ⅱ）由（Ⅰ），得.令，得或.當變化時，，的變化情況如下表：1+0-0+極大值極小值綜上，的極大值為，的極小值為.點睛：（1）本題主要考查導數的幾何意義和切線方程的求法，考查利用導數求函數的極值，意在考查學生對這些基礎知識的掌握水平和分析推理能力.(2)求函數的極值的一般步驟:先求定義域,再求導，再解方程（注意和求交集），最后列表確定極值.19、（1）；（2）.【解題分析】【試題分析】(1)利用絕對值不等式,消去,可求得實數的值.(2)由(1)得.利用配湊法,結合基本不等式可求得最小值.【試題解析】（1）由，當且僅當且當時取等號，此時取最大值，即；（2）由（1）及可知，∴，則，（當且僅當，即時，取“=”）∴的最小值為4.20、（1）見解析；（2）見解析；（3）【解題分析】

（1）連接BD與AC交于點O，連接EO，證明EO//PB，由線線平行證明線面平行即可；（2）通過證明CD平面PAD來證明平面平面；（3）以A為坐標原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，通過空間向量的方法求二面角的余弦值.【題目詳解】（1）證明：連結BD交AC于點O，連結EO．O為BD中點，E為PD中點，∴EO//PB．EO平面AEC，PB平面AEC，∴PB//平面AEC．（2）證明：PA⊥平面ABCD．平面ABCD，∴．又在正方形ABCD中且，∴CD平面PAD．又平面PCD，∴平面平面．（3）如圖，以A為坐標原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系．由PA=AB=2可知A、B、C、D、P、E的坐標分別為A（0,0,0）,B（2,0,0）,C（2,2,0）,D（0,2,0）,P（0,0,2）,E（0,1,1）．PA平面ABCD，∴是平面ABCD的法向量，=（0,0,2）．設平面AEC的法向量為,,,則,即∴令,則.∴,二面角的余弦值為【題目點撥】本題考查線面平行，面面垂直的判定定理，考查用空間向量求二面角，也考查了學生的空間想象能力和計算能力，屬于中檔題.21、（Ⅰ）（Ⅱ）【解題分析】

（1）利用周期公式求出ω，求出相位的范圍，利用正弦函數的值域求解函數f（x）的值域；（2）求出A，利用余弦定理求出bc，然后求解三角形的面積．【題目詳解】解：（1）的最小正周期是，得，當時，所以，此時的值域為（2）因為，所以，∴，的面積【題目點撥】本題考查三角函數的性質以及三角形的解法，余弦定理的應用，考查計算能力．22、（1）詳見解析；（2）.【解題分析】

（1）根據線面垂直的判定定理，可直接得出結論成立；