2024屆湖南省邵東縣一中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

2024屆湖南省邵東縣一中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在正四面體中，點，分別在棱，上，若且，，則四面體的體積為（）A． B． C． D．2．若，則的取值范圍為（）A． B． C． D．3．拋擲甲、乙兩顆骰子，若事件A：“甲骰子的點數(shù)大于4”；事件B：“甲、乙兩骰子的點數(shù)之和等于7”，則的值等于（）A． B． C． D．4．過點且與平行的直線與圓：交于，兩點，則的長為（）A． B． C． D．5．對33000分解質(zhì)因數(shù)得，則的正偶數(shù)因數(shù)的個數(shù)是（）A．48 B．72 C．64 D．966．某幾何體的三視圖如圖所示，則其體積為（）A．80B．160C．240D．4807．如圖，在矩形中的曲線分別是，的一部分，，，在矩形內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率為（）A． B． C． D．8．已知正項等差數(shù)列滿足：，等比數(shù)列滿足：，則（）A．-1或2 B．0或2 C．2 D．19．某三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，高為6，則該三棱柱的體積為A． B． C． D．10．安排4名志愿者完成5項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有A．120種 B．180種 C．240種 D．480種11．若是的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍是()A．[－3,3] B．C． D．[－1,1]12．從8名女生和4名男生中選出6名學(xué)生組成課外活動小組，則按性別分層抽樣組成課外活動小組的概率為（）A．B．C．D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的平方根是______．14．設(shè)直線（為參數(shù)），曲線（為參數(shù)），直線與曲線交于兩點，則__________.15．在8張獎券中有一、二、三等獎各1張，其余5張無獎．將這8張獎券分配給4個人，每人2張，不同的獲獎情況有__________種(用數(shù)字作答)．16．已知全集,集合,,則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此作了四次試驗，得到的數(shù)據(jù)如表：零件的個數(shù)x（個）2345加工的時間y（小時）2.5344.5參考公式：，，殘差（1）在給定的坐標(biāo)系中畫出表中數(shù)據(jù)的散點圖；（2）求出關(guān)于的線性回歸方程；（3）求第二個點的殘差值，并預(yù)測加工10個零件需要多少小時？18．（12分）已知等差數(shù)列的公差為，等差數(shù)列的公差為，設(shè)，分別是數(shù)列，的前項和，且，，.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，證明：.19．（12分）已知向量a＝(3sinα，cosα)，b＝(2sinα,5sinα－4cosα)，α∈，且a⊥b.(1)求tanα的值；(2)求cos的值．20．（12分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）曲線與相交于兩點，求過兩點且面積最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.21．（12分）如圖，一條小河岸邊有相距的兩個村莊（村莊視為岸邊上兩點），在小河另一側(cè)有一集鎮(zhèn)（集鎮(zhèn)視為點），到岸邊的距離為，河寬為，通過測量可知，與的正切值之比為．當(dāng)?shù)卣疄榉奖愦迕癯鲂?，擬在小河上建一座橋（分別為兩岸上的點，且垂直河岸，在的左側(cè)），建橋要求：兩村所有人到集鎮(zhèn)所走距離之和最短，已知兩村的人口數(shù)分別是人、人，假設(shè)一年中每人去集鎮(zhèn)的次數(shù)均為次．設(shè)．（小河河岸視為兩條平行直線）（1）記為一年中兩村所有人到集鎮(zhèn)所走距離之和，試用表示；（2）試確定的余弦值，使得最小，從而符合建橋要求．22．（10分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)在點處的切線方程；（2）若在時恒成立，求的取值范圍。

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

由題意畫出圖形，設(shè)，，，由余弦定理得到關(guān)于，，的方程組，求解可得，的值，然后分別求出三角形的面積及A到平面的高，代入棱錐體積公式得答案．【題目詳解】如圖，設(shè)，，，∵，，∴由余弦定理得，①②③③-①得，，即，∵，則，代入③，得，又，得，，∴．∴A到平面PEF的距離．∴，故選C．【題目點撥】本題考查棱柱、棱錐、棱臺體積的求法，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查計算能力，是中檔題．2、D【解題分析】

由，得，設(shè)，，當(dāng)時，遞減；當(dāng)時，遞增，，，故選D.【方法點晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值以及不等式恒成立問題．不等式恒成立問題常見方法：①分離參數(shù)恒成立(可)或恒成立（即可）；②數(shù)形結(jié)合(圖象在上方即可)；③討論最值或恒成立；④討論參數(shù).本題是利用方法①求得的范圍.3、C【解題分析】本小題屬于條件概率所以事件B包含兩類：甲5乙2;甲6乙1;所以所求事件的概率為4、D【解題分析】

由題意可得直線，求得圓心到直線距離，再由弦長公式即可求解【題目詳解】設(shè)直線過點，可得，則直線圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，圓心到直線距離，，故選D【題目點撥】本題考查用設(shè)一般方程求平行直線方程以及幾何法求圓的弦長問題5、A【解題分析】分析：分的因數(shù)由若干個、若干個、若干個、若干個相乘得到，利用分步計數(shù)乘法原理可得所有因數(shù)個數(shù)，減去不含的因數(shù)個數(shù)即可得結(jié)果.詳解：的因數(shù)由若干個（共有四種情況），若干個（共有兩種情況），若干個（共有四種情況），若干個（共有兩種情況），由分步計數(shù)乘法原理可得的因數(shù)共有，不含的共有，正偶數(shù)因數(shù)的個數(shù)有個，即的正偶數(shù)因數(shù)的個數(shù)是，故選A.點睛：本題主要考查分步計數(shù)原理合的應(yīng)用，屬于中檔題.有關(guān)排列組合的綜合問題，往往是兩個原理及排列組合問題交叉應(yīng)用才能解決問題，解答這類問題理解題意很關(guān)鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件.解題過程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”，在應(yīng)用分類計數(shù)加法原理討論時，既不能重復(fù)交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準(zhǔn)確率.6、B【解題分析】由三視圖可知，該幾何體是由一個三棱柱截去一個三棱錐得到的，三棱柱的底面是直角三角形，兩直角邊邊長為6和8，三棱柱的高為10，三棱錐的底面是直角三角形，兩直角邊為6和8，三棱錐的高為10，所以幾何體的體積V=17、A【解題分析】

先利用定積分計算陰影部分面積，再用陰影部分面積除以總面積得到答案.【題目詳解】曲線分別是，的一部分則陰影部分面積為：總面積為：【題目點撥】本題考查了定積分，幾何概型，意在考查學(xué)生的計算能力.8、C【解題分析】分析：根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，結(jié)合等差和等比數(shù)列的定義和性質(zhì)求出數(shù)列的通項公式即可得到結(jié)論．詳解：由，得，

∵是正項等差數(shù)列，

∴

，∵是等比數(shù)列，則，即

故選：D．點睛：本題主要考查對數(shù)的基本運算，根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，求出數(shù)列的通項公式是解決本題的關(guān)鍵．9、C【解題分析】

計算結(jié)果.【題目詳解】因為底面是邊長為2的正三角形，所以底面的面積為，則該三棱柱的體積為．【題目點撥】本題考查了棱柱的體積公式，屬于簡單題型.10、C【解題分析】

根據(jù)題意，分兩步進(jìn)行分析：先將5項工作分成4組，再將分好的4組進(jìn)行全排，對應(yīng)4名志愿者，分別求出每一步的情況數(shù)，由分步計數(shù)原理計算即可得到答案。【題目詳解】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：（1）先將5項工作分成4組，有種分組方法；（2）將分好的4組進(jìn)行全排，對應(yīng)4名志愿者，有種情況；分步計數(shù)原理可得：種不同的安排方式。故答案選C【題目點撥】本題考查排列、組合的綜合應(yīng)用，注意題目中“每人至少完成1項，每項工作由1人完成”的要求，屬于基礎(chǔ)題。11、D【解題分析】

根據(jù)充分、必要條件的定義，可知當(dāng)時，恒成立，解一元二次不等式即可?！绢}目詳解】依題意可知，當(dāng)時，恒成立，所以，解得，故選D?！绢}目點撥】本題主要考查充分、必要條件定義的應(yīng)用以及恒成立問題的解法。12、A【解題分析】按性別分層抽樣男生女生各抽4人和2人；從8名女生中抽4人的方法為種；，4名男生中抽2人的方法為種；所以按性別分層抽樣組成課外活動小組的概率為故選A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

設(shè)的平方根為，由列方程組，解方程組求得.【題目詳解】設(shè)的平方根為（為實數(shù)），故，所以，解得，或，故.故答案為：.【題目點撥】本小題主要考查負(fù)數(shù)的平方根，考查復(fù)數(shù)運算，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】試題分析：由題意得，曲線的普通方程為，直線的直角坐標(biāo)方程為，所以圓心到直線的距離為，所以直線與曲線交于．考點：直線與圓的位置的弦長的計算．15、60【解題分析】試題分析：當(dāng)一，二，三等獎被三個不同的人獲得，共有種不同的方法，當(dāng)一，二，三等獎被兩個不同的人獲得，即有一個人獲得其中的兩個獎，共有,所以獲獎的不同情況有種方法,故填：60.考點：排列組合【方法點睛】本題主要考察了排列組合和分類計數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題型，重點是分析不同的獲獎情況包含哪些情況，其中一，二，三等獎看成三個不同的元素，剩下的5張無獎獎券看成相同元素，那8張獎券平均分給4人，每人2張，就可分為三張獎券被3人獲得，或是被2人獲得的兩種情況，如果是被3人獲得，那這4組獎券就可看成4個不同的元素的全排列，如何2人獲得，3張獎券分為2組，從4人挑2人排列，最后方法相加.16、【解題分析】

利用集合補集和交集的定義直接求解即可.【題目詳解】因為全集,集合,,所以.故答案為：【題目點撥】本題考查了集合的補集、交集的定義,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）；（3）；8.05個小時【解題分析】

按表中信息描點．利用所給公式分別計算出和殘差，計算出即為預(yù)測值．【題目詳解】（1）作出散點圖如下：（2），，，所求線性回歸方程為：（3）當(dāng)代入回歸直線方程，得（小時）加工10個零件大約需要8.05個小時【題目點撥】本題考查線性回歸直線，考查學(xué)生的運算能力，屬于基礎(chǔ)題．18、（1），；（2）見解析【解題分析】

（1）由等差數(shù)列的通項公式及求和公式列的方程組求解則可求，進(jìn)而得（2）利用分組求和即可證明【題目詳解】（1）因為數(shù)列，是等差數(shù)列，且，，所以.整理得，解得，所以，即，，即.綜上，，.（2）由（1）得，所以，即.【題目點撥】本題考查等差數(shù)列的通項公式及求和公式，裂項相消求和，考查推理計算能力，是中檔題19、（1）－（2）【解題分析】(1)∵a⊥b，∴a·b＝0.而a＝(3sinα，cosα)，b＝(2sinα，5sinα－4cosα)，故a·b＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0，即＝0.由于cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4＝0.解得tanα＝－或tanα＝.∵α∈，∴tanα＜0，∴tanα＝－.(2)∵α∈，∴∈.由tanα＝－，求得tan＝－或tan＝2(舍去)．∴sin＝，cos＝－，∴cos＝coscos－sin·sin＝－×－×＝－20、（1）曲線的普通方程為，的直角坐標(biāo)方程為；（2）【解題分析】試題分析：（1）利用消參和極坐標(biāo)公式，化參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程為普通方程；（2）直線和橢圓相交，聯(lián)立求中點即為圓心，弦長即為直徑，所以過兩點且面積最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．試題解析：（1）由消去參數(shù)，得，即曲線的普通方程為，由，得，即，即．即曲線的直角坐標(biāo)方程為；（2）過兩點且面積最小的圓是以線段為直徑的圓，令．由，得，所以，所以圓心坐標(biāo)為，又因為半徑，所以過兩點且面積最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．21、（1），；（2）當(dāng)時，符合建橋要求.【解題分析】

（1）利用正切值之比可求得，；根據(jù)可表示出和，代入整理可得結(jié)果；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論可得，利用導(dǎo)數(shù)可求得時，取得最小值，得到結(jié)論.【題目詳解】（1）與的正切值之比為則，，，，（2）由（1）知：，，令，解得：令，且當(dāng)時，，；當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；時，函數(shù)取最小值，即當(dāng)時，符合建橋要求【題目點撥】本題考查函數(shù)解析式和最值的求解問題，關(guān)鍵是能夠通過根據(jù)題意建立起所求函數(shù)和變量之間的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的最值.22、（1）（2）【解題分析】

（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到，，利用直