安徽省皖南八校2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末考試模擬試題含解析

安徽省皖南八校2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末考試模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．袋中裝有紅球3個(gè)、白球2個(gè)、黑球1個(gè)，從中任取2個(gè)，則互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是A．至少有一個(gè)白球；都是白球 B．至少有一個(gè)白球；至少有一個(gè)紅球C．至少有一個(gè)白球；紅、黑球各一個(gè) D．恰有一個(gè)白球；一個(gè)白球一個(gè)黑球2．下列有關(guān)統(tǒng)計(jì)知識(shí)的四個(gè)命題正確的是（）A．衡量?jī)勺兞恐g線性相關(guān)關(guān)系的相關(guān)系數(shù)越接近，說(shuō)明兩變量間線性關(guān)系越密切B．在回歸分析中，可以用卡方來(lái)刻畫(huà)回歸的效果，越大，模型的擬合效果越差C．線性回歸方程對(duì)應(yīng)的直線至少經(jīng)過(guò)其樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)中的一個(gè)點(diǎn)D．線性回歸方程中，變量每增加一個(gè)單位時(shí)，變量平均增加個(gè)單位3．在平面內(nèi)，點(diǎn)x0,y0到直線Ax+By+C=0的距離公式為d=Ax0A．3 B．6 C．6774．設(shè)等差數(shù)列{an}滿足3a8=5a15，且A．S23 B．S24 C．S5．若，則（）A． B． C． D．6．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．7．設(shè)，則的值為（）A．29 B．49C．39 D．598．設(shè)是兩個(gè)平面向量，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)在處取得極大值，則函數(shù)的圖象可能是A． B．C． D．10．在的展開(kāi)式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是（）A．第3項(xiàng) B．第4項(xiàng) C．第5項(xiàng) D．第6項(xiàng)11．用，，，，這個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)12．已知，，，若，則（）A．-5 B．5 C．1 D．-1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知集合，且下列三個(gè)關(guān)系：有且只有一個(gè)正確，則函數(shù)的值域是_______．14．如圖所示的流程圖中，輸出的結(jié)果S為_(kāi)_______.15．若對(duì)甲、乙、丙3組不同的數(shù)據(jù)作線性相關(guān)性檢驗(yàn)，得到這3組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)系數(shù)依次為0.83,0.72，-0.90，則線性相關(guān)程度最強(qiáng)的一組是_______.（填甲、乙、丙中的一個(gè)）16．在極坐標(biāo)系中，曲線和相交于點(diǎn)A，B，則線段AB的中點(diǎn)E到極點(diǎn)的距離是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若點(diǎn)在棱上，且，求點(diǎn)到平面的距離．18．（12分）已知函數(shù),（）.（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)點(diǎn)，是函數(shù)圖象的不同兩點(diǎn)，其中，，是否存在實(shí)數(shù)，使得，且函數(shù)在點(diǎn)切線的斜率為，若存在，請(qǐng)求出的范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.19．（12分）（1）解不等式:（2）設(shè)，求證：20．（12分）己知數(shù)列的首項(xiàng)均為1,各項(xiàng)均為正數(shù)，對(duì)任意的不小于2的正整數(shù)n，總有，成立，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和分別為，求所有使得等式成立的正整數(shù)m,的值.21．（12分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的定義域；（Ⅱ）若關(guān)于的不等式的解集是，求的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù)，且曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（1）證明：在上為增函數(shù)．（2）證明：．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

由題意逐一考查所給的事件是否互斥、對(duì)立即可求得最終結(jié)果.【題目詳解】袋中裝有紅球3個(gè)、白球2個(gè)、黑球1個(gè)，從中任取2個(gè)，逐一分析所給的選項(xiàng)：在A中，至少有一個(gè)白球和都是白球兩個(gè)事件能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故A不成立．在B中，至少有一個(gè)白球和至少有一個(gè)紅球兩個(gè)事件能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故B不成立；在C中，至少有一個(gè)白球和紅、黑球各一個(gè)兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生但能同時(shí)不發(fā)生，是互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件，故C成立；在D中，恰有一個(gè)白球和一個(gè)白球一個(gè)黑球兩個(gè)事件能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故D不成立；本題選擇C選項(xiàng).【題目點(diǎn)撥】“互斥事件”與“對(duì)立事件”的區(qū)別：對(duì)立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情況，但互斥事件不一定是對(duì)立事件，“互斥”是“對(duì)立”的必要不充分條件．2、A【解題分析】分析：利用“卡方”的意義、相關(guān)指數(shù)的意義及回歸分析的適用范圍，逐一分析四個(gè)答案的真假，可得答案．詳解：A.衡量?jī)勺兞恐g線性相關(guān)關(guān)系的相關(guān)系數(shù)越接近，說(shuō)明兩變量間線性關(guān)系越密切，正確；B.在回歸分析中，可以用卡方來(lái)刻畫(huà)回歸的效果，越大，模型的擬合效果越差，錯(cuò)誤對(duì)分類變量與的隨機(jī)變量的觀測(cè)值來(lái)說(shuō)，越大，“與有關(guān)系”可信程度越大;故B錯(cuò)誤；C.線性回歸方程對(duì)應(yīng)的直線至少經(jīng)過(guò)其樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)中的一個(gè)點(diǎn)，錯(cuò)誤，回歸直線可能不經(jīng)過(guò)其樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)中的任何一個(gè)點(diǎn)；D.線性回歸方程中，變量每增加一個(gè)單位時(shí)，變量平均增加個(gè)單位，錯(cuò)誤，由回歸方程可知變量每增加一個(gè)單位時(shí)，變量平均增加個(gè)單位.故選A.點(diǎn)睛：本題考查回歸分析的意義以及注意的問(wèn)題．是對(duì)回歸分析的思想、方法小結(jié)．要結(jié)合實(shí)例進(jìn)行掌握.3、B【解題分析】

類比得到在空間，點(diǎn)x0,y【題目詳解】類比得到在空間，點(diǎn)x0,y0，所以點(diǎn)2,1,2到平面x+y+2z-1=0的距離為d=2+1+4-1故選：B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查類比推理，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解題分析】因a8=a1+7d,a15=a1+14d，故由題設(shè)3a8=5a155、D【解題分析】

結(jié)合函數(shù)、不等式及絕對(duì)值含義判斷即可【題目詳解】對(duì)，若，則，但推不出，故錯(cuò)；對(duì)，若，設(shè)，則函數(shù)為增函數(shù)，則，故錯(cuò)；對(duì)，若，但推不出，故錯(cuò)誤；對(duì)，設(shè)，則函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則，故正確；故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查由指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)及絕對(duì)值的含義比大小，屬于基礎(chǔ)題6、A【解題分析】

根據(jù)題意函數(shù)在上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為在恒成立，利用換元法，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)，列出相應(yīng)的不等式，即可求解出的取值范圍。【題目詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，所以恒成立，即恒成立，因?yàn)?，所以，即．故答案選A?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查了已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍，解題時(shí)常與導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用相結(jié)合。7、B【解題分析】

根據(jù)二項(xiàng)式特點(diǎn)知，，，，，為正，，，，，為負(fù)，令，得.【題目詳解】因?yàn)?，，，，為正，，，，，為?fù)，令，得，故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了二項(xiàng)式的系數(shù)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解題分析】

由，則是成立的；反之，若，而不一定成立，即可得到答案.【題目詳解】由題意是兩個(gè)平面向量，若，則是成立的；反之，若，則向量可能是不同的，所以不一定成立，所以是是成立的充分而不必要條件，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了向量的概念以及向量模的概念的應(yīng)用，以及充分條件與必要條件的判定，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解題分析】

因?yàn)?2為極值點(diǎn)且為極大值點(diǎn)，故在-2的左側(cè)附近>0，-2的右側(cè)<0,所以當(dāng)x>-2且在-2的右側(cè)附近時(shí)，排除BC，當(dāng)x<-2且在-2的左側(cè)附近時(shí)，，排除AC，故選D10、C【解題分析】

先判斷二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，再根據(jù)正負(fù)號(hào)區(qū)別得到答案.【題目詳解】的展開(kāi)式中共有8項(xiàng).由二項(xiàng)式系數(shù)特點(diǎn)可知第4項(xiàng)和第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，但第4項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)值，所以的展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng).故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了展開(kāi)式系數(shù)的最大值，先判斷二項(xiàng)式系數(shù)的最大值是解題的關(guān)鍵.11、B【解題分析】

利用分類計(jì)數(shù)原理，個(gè)位數(shù)字為時(shí)有；個(gè)位數(shù)字為或時(shí)均為，求和即可.【題目詳解】由已知得：個(gè)位數(shù)字為的偶數(shù)有，個(gè)位數(shù)字為的偶數(shù)為，個(gè)位數(shù)字為的偶數(shù)有，所以符合條件的偶數(shù)共有.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查了分類計(jì)數(shù)運(yùn)算、排列、組合，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解題分析】

通過(guò)平行可得m得值，再通過(guò)數(shù)量積運(yùn)算可得結(jié)果.【題目詳解】由于，故，解得，于是，，所以.故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查共線與數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：根據(jù)集合相等的條件，列出a、b、c所有的取值情況，再判斷是否符合條件，求出a，b，c的值，結(jié)合的最值即可求出函數(shù)的值域．詳解：由{a，b，c}={2，3，4}得，a、b、c的取值有以下情況：當(dāng)a=2時(shí)，b=3、c=4時(shí)，a≠3，b=3，c≠4都正確，不滿足條件．當(dāng)a=2時(shí)，b=4、c=3時(shí)，a≠3成立，c≠4成立，此時(shí)不滿足題意；當(dāng)a=3時(shí)，b=2、c=4時(shí)，都不正確，此時(shí)不滿足題意；當(dāng)a=3時(shí)，b=4、c=2時(shí)，c≠4成立，此時(shí)滿足題意；當(dāng)a=4時(shí)，b=2，c=3時(shí)，a≠3，c≠4成立，此時(shí)不滿足題意；當(dāng)a=4時(shí)，b=3、c=2時(shí)，a≠3，b=3成立，此時(shí)不滿足題意；綜上得，a=3、b=4、c=2，則函數(shù)=，當(dāng)x＞4時(shí)，f（x）=2x＞24=16，當(dāng)x≤4時(shí)，f（x）=（x﹣2）2+3≥3，綜上f（x）≥3，即函數(shù)的值域?yàn)閇3，+∞），故答案為[3，+∞）．點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)的值域的計(jì)算，根據(jù)集合相等關(guān)系以及命題的真假條件求出a，b，c的值是解決本題的關(guān)鍵．14、25【解題分析】

按照程序框圖的流程，寫(xiě)出每次循環(huán)后得到的結(jié)果，并判斷每個(gè)結(jié)果是否滿足判斷框的條件，直到不滿足條件，輸出即可.【題目詳解】經(jīng)過(guò)第一次循環(huán)，；經(jīng)過(guò)第二次循環(huán)，；經(jīng)過(guò)第三次循環(huán)，；經(jīng)過(guò)第四次循環(huán)，；經(jīng)過(guò)第五次循環(huán)，；此時(shí)已不滿足條件，輸出.于是答案為25.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖的輸出結(jié)果，難度不大.15、丙【解題分析】

根據(jù)兩個(gè)變量y與x的回歸模型中，相關(guān)系數(shù)|r|的絕對(duì)值越接近于1，其相關(guān)程度越強(qiáng)即可求解．【題目詳解】?jī)蓚€(gè)變量y與x的回歸模型中，它們的相關(guān)系數(shù)|r|越接近于1，這個(gè)模型的兩個(gè)變量線性相關(guān)程度就越強(qiáng)，在甲、乙、丙中，所給的數(shù)值中﹣0.90的絕對(duì)值最接近1，所以丙的線性相關(guān)程度最強(qiáng)．故答案為丙．【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用相關(guān)系數(shù)判斷兩個(gè)變量相關(guān)性強(qiáng)弱的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．16、2【解題分析】

將曲線方程化為直角坐標(biāo)系下的方程，聯(lián)立方程組，由此求得中點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出其到極點(diǎn)的距離.【題目詳解】將曲線方程化為直角坐標(biāo)方程可得將曲線方程化為直角坐標(biāo)方程可得，聯(lián)立兩方程可得故可得中點(diǎn)坐標(biāo)為，則其到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離即為所求，即.故答案為：2.【題目點(diǎn)撥】本題考查將極坐標(biāo)方程化為普通方程，屬基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）詳見(jiàn)解析（1）．【解題分析】分析：（1）連接，欲證平面，只需證明即可；（1）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，只需論證的長(zhǎng)即為所求，再利用平面幾何知識(shí)求解即可.詳解：（1）因?yàn)锳P=CP=AC=4，O為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)P⊥AC，且OP=．連結(jié)OB．因?yàn)锳B=BC=，所以△ABC為等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==1．由知，OP⊥OB．由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．（1）作CH⊥OM，垂足為H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的長(zhǎng)為點(diǎn)C到平面POM的距離．由題設(shè)可知OC==1，CM==，∠ACB=45°．所以O(shè)M=，CH==．所以點(diǎn)C到平面POM的距離為．點(diǎn)睛：立體幾何解答題在高考中難度低于解析幾何，屬于易得分題，第一問(wèn)多以線面的證明為主，解題的核心是能將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系的證明；本題第二問(wèn)可以通過(guò)作出點(diǎn)到平面的距離線段求解，也可利用等體積法解決.18、（1）的增區(qū)間為,減區(qū)間為；（2）存在實(shí)數(shù)取值范圍是.【解題分析】

（1）分別研究，兩種情況，先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的方法判斷其單調(diào)性，即可得出結(jié)果；（2）先由題意，得到，再根據(jù)，得到，得出，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合題中條件，得到，構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得出結(jié)果.【題目詳解】(1)當(dāng)時(shí),,令得,令得.當(dāng)時(shí)，，所以在上是增函數(shù)。所以當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為,減區(qū)間為；(2)由題意可得：，，所以，，令，則在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減,，當(dāng)時(shí)，，所以存在實(shí)數(shù)取值范圍是.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，通常需要對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)的方法研究單調(diào)性，最值等，屬于?？碱}型.19、（1）（2）見(jiàn)解析【解題分析】

（1）根據(jù)零點(diǎn)分段法，分三段建立不等式組，解出各不等式組的解集，再求并集即可.（2）運(yùn)用柯西不等式，直接可以證明不等式，注意考查等號(hào)成立的條件，.【題目詳解】（1）解：原不等式等價(jià)于或或即：或或故元不等式的解集為：（2）由柯西不等式得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.所以【題目點(diǎn)撥】本題考查絕對(duì)值不等式得解法、柯西不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力.含絕對(duì)值不等式的解法：（1）定義法；即利用去掉絕對(duì)值再解（2）零點(diǎn)分段法：通常適用于含有兩個(gè)及兩個(gè)以上的絕對(duì)值符號(hào)的不等式；（3）平方法：通常適用于兩端均為非負(fù)實(shí)數(shù)時(shí)（比如）；（4）圖象法或數(shù)形結(jié)合法；20、（1），；（2），.【解題分析】

(1)通過(guò)因式分解可判斷為等差數(shù)列，于是可得通項(xiàng)，通過(guò)等比中項(xiàng)性質(zhì)可知為等比數(shù)列，于是可求通項(xiàng)；（2）計(jì)算出前n項(xiàng)和，化簡(jiǎn)式子，通過(guò)分解因式找出因子，然后利用正整數(shù)解可求得，.【題目詳解】(1)由于，整理得，而，故，所以為等差數(shù)列，所以；由于，可知為等比數(shù)