天津市濱海新區(qū)大港第八中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測試試題含解析

天津市濱海新區(qū)大港第八中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．箱子中有標(biāo)號為1，2，3，4，5，6且大小、形狀完全相同的6個球，從箱子中一次摸出兩個球，記下號碼并放回，如果兩球號碼之積是4的倍數(shù)，則獲獎．若有4人參與摸獎，則恰好有3人獲獎的概率為()A．16625 B．96625 C．6242．將兩顆骰子各擲一次，設(shè)事件“兩個點數(shù)不相同”，“至少出現(xiàn)一個6點”，則概率等于（）A． B． C． D．3．從4種蔬菜品種中選出3種，分別種植在不同土質(zhì)的3塊土地上，不同的種植方法共有()A．12種 B．24種 C．36種 D．48種4．在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為，若曲線與交于、兩點，則等于（）A． B． C． D．5．已知向量，，若，則()A． B．1 C．2 D．6．在一段線路中并聯(lián)著兩個獨(dú)立自動控制的開關(guān)，只要其中一個開關(guān)能夠閉合，線路就可以正常工作.設(shè)這兩個開關(guān)能夠閉合的概率分別為0.5和0.7，則線路能夠正常工作的概率是（）A．0.35 B．0.65 C．0.85 D．7．設(shè)定義在(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)滿足xf′(x)－f(x)＝xlnx，，則f(x)()A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值C．既有極大值，又有極小值 D．既無極大值，又無極小值8．某大學(xué)安排5名學(xué)生去3個公司參加社會實踐活動，每個公司至少1名同學(xué)，安排方法共有()種A．60 B．90 C．120 D．1509．.盒子里有25個外形相同的球，其中10個白的，5個黃的，10個黑的，從盒子中任意取出一球，已知它不是白球，則它是黑球的概率為A．15B．25C．110．在某次試驗中，實數(shù)的取值如下表：013561.35.67.4若與之間具有較好的線性相關(guān)關(guān)系，且求得線性回歸方程為，則實數(shù)的值為（）A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.911．函數(shù)的定義域為，且，當(dāng)時，；當(dāng)時，，則A．672 B．673 C．1345 D．134612．已知f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù)，若f(1)<1，f(5)＝，則實數(shù)a的取值范圍為()A．(－1,4) B．(－2,0) C．(－1,0) D．(－1,2)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．多項式的展開式中，含項的系數(shù)是________.14．已知雙曲線E:x2a2-15．已知復(fù)數(shù)滿足，則等于______.16．若復(fù)數(shù)，則__________．（是的共軛復(fù)數(shù)）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）求的值及函數(shù)的最小正周期；（Ⅱ）當(dāng)時，求函數(shù)的最大值.18．（12分）在直角坐標(biāo)系中，是過點且傾斜角為的直線.以坐標(biāo)原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的參數(shù)方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線交于兩點，，求.19．（12分）在提出的“變害為利，造福人民”的木蘭溪全流域治理系統(tǒng)過程中，莆田市環(huán)保局根據(jù)水文觀測點的歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù)，得到木蘭溪某段流域的每年最高水位（單位：米）的頻率分布直方圖（如圖）.若將河流最高水位落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每年河流最高水位相互獨(dú)立．（1）求在未來3年里，至多有1年河流最高水位的概率（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）；（2）根據(jù)評估，該流域?qū)ρ睾悠髽I(yè)影響如下：當(dāng)時，不會造成影響；當(dāng)時，損失1000萬元；當(dāng)時，損失6000萬元．為減少損失，莆田市委在舉行的一次治理聽證會上產(chǎn)生了三種應(yīng)對方案：方案一：布置能防御35米最高水位的工程，需要工程費(fèi)用380萬元；方案二：布置能防御31米最高水位的工程，需要工程費(fèi)用200萬元；方案三：不采取措施；試問哪種方案更好，請說明理由．20．（12分）某大廈的一部電梯從底層出發(fā)后只能在第18,19,20層停靠．若該電梯在底層載有5位乘客，且每位乘客在這三層的每一層下電梯的概率均為，用ξ表示這5位乘客在第20層下電梯的人數(shù)，求：（1）隨機(jī)變量ξ的分布列；（2）隨機(jī)變量ξ的均值．21．（12分）設(shè)數(shù)列的前項和為，且滿足.（1）若為等比數(shù)列，求的值及數(shù)列的通項公式；（2）在（1）的條件下，設(shè)，求數(shù)列的前項和.22．（10分）如圖，在矩形中，，，點是邊上一點，且，點是的中點，將沿著折起，使點運(yùn)動到點處，且滿足.（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】獲獎的概率為p=6C62=25，記獲獎的人數(shù)為ξ，ξ~B(4,2、A【解題分析】解：由題意事件A={兩個點數(shù)都不相同}，包含的基本事件數(shù)是36-6=30至少出現(xiàn)一個6點的情況分二類，給兩個骰子編號，1號與2號，若1號是出現(xiàn)6點，2號沒有6點共五種2號是6點，一號不是6點有五種，若1號是出現(xiàn)6點，2號也是6點，有1種，故至少出現(xiàn)一個6點的情況是11種∴=3、B【解題分析】

由分步計數(shù)原理計算可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①、先在4種蔬菜品種中選出3種，有種取法，②、將選出的3種蔬菜對應(yīng)3塊不同土質(zhì)的土地，有種情況，則不同的種植方法有種；故選：B．【題目點撥】本題考查計數(shù)原理的運(yùn)用，注意本題問題要先抽取，再排列．4、B【解題分析】

由題意可知曲線與交于原點和另外一點，設(shè)點為原點，點的極坐標(biāo)為，聯(lián)立兩曲線的極坐標(biāo)方程，解出的值，可得出，即可得出的值.【題目詳解】易知，曲線與均過原點，設(shè)點為原點，點的極坐標(biāo)為，聯(lián)立曲線與的坐標(biāo)方程，解得，因此，，故選：B.【題目點撥】本題考查兩圓的相交弦長的計算，常規(guī)方法就是計算出兩圓的相交弦方程，計算出弦心距，利用勾股定理進(jìn)行計算，也可以聯(lián)立極坐標(biāo)方程，計算出兩極徑的值，利用兩極徑的差來計算，考查方程思想的應(yīng)用，屬于中等題.5、B【解題分析】

由，，表示出，再由，即可得出結(jié)果.【題目詳解】因為，，所以，又，所以，即，解得.故選B【題目點撥】本題主要考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，熟記運(yùn)算法則即可，屬于基礎(chǔ)題型.6、C【解題分析】試題分析：線路能夠了正常工作的概率=,故選C.考點：獨(dú)立事件，事件的關(guān)系與概率.7、D【解題分析】因為xf′(x)－f(x)＝xlnx，所以，所以，所以f(x)＝xln2x＋cx.因為f()＝ln2＋c×＝，所以c＝，所以f′(x)＝ln2x＋lnx＋＝(lnx＋1)2≥0，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)在(0，＋∞)上既無極大值，也無極小值，故選D.點睛：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求原函數(shù)，常常需構(gòu)造輔助函數(shù)，一般根據(jù)導(dǎo)數(shù)法則進(jìn)行：如構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造等8、D【解題分析】分析：由題意結(jié)合排列組合公式整理計算即可求得最終結(jié)果.詳解：由題意可知，5人的安排方案為或，結(jié)合平均分組計算公式可知，方案為時的方法有種，方案為時的方法有種，結(jié)合加法公式可知安排方法共有種.本題選擇D選項.點睛：(1)解排列組合問題要遵循兩個原則：一是按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類；二是按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配問題，往往是先分組再分配．在分組時，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的求法．9、D【解題分析】解：由題意知本題是一個等可能事件的概率，試驗發(fā)生包含的事件是從盒子中取出一個不是白球的小球，共有5+10=15種結(jié)果，滿足條件的事件是取出的球是一個黑球，共有10種結(jié)果，∴根據(jù)等可能事件的概率得到P==1010、D【解題分析】

根據(jù)表中數(shù)據(jù)求得，代入回歸直線方程即可求得結(jié)果.【題目詳解】由表中數(shù)據(jù)可知：，又，解得：本題正確選項：【題目點撥】本題考查利用回歸直線求解數(shù)據(jù)的問題，關(guān)鍵是明確回歸直線恒過點，屬于基礎(chǔ)題.11、D【解題分析】

根據(jù)函數(shù)周期的定義，得到函數(shù)是周期為3的周期函數(shù)，進(jìn)而求得的值，進(jìn)而得到，即可求解.【題目詳解】根據(jù)題意，函數(shù)的定義域為，且，則函數(shù)是周期為3的周期函數(shù)，又由當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，則，由函數(shù)是周期為3的周期函數(shù)，則則，所以，故選D.【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)周期性的應(yīng)用，以及函數(shù)值的計算，其中解答中根據(jù)函數(shù)周期性的定義，求得函數(shù)是周期為3的周期函數(shù)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解題分析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性和周期性將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用不等式的解法即可得到結(jié)論．【題目詳解】∵f（x）是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù)，∴f（5）=f（5﹣6）=f（﹣1）=f（1），∴由f（1）＜1，f（5）=，得f（5）=＜1，即﹣1＜0，＜0，即（a﹣4）（a+1）＜0，解得：﹣1＜a＜4，故選：A．【題目點撥】本題主要考查不等式的解法，利用函數(shù)的奇偶性和周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、200【解題分析】

根據(jù)題意，由二項式定理可得，的通項公式為，令，求出對應(yīng)的值即可求解.【題目詳解】根據(jù)題意，由二項式定理可得，的通項公式為，當(dāng)時，可得，當(dāng)時，可得，所以多項式的展開式中，含的項為，故多項式的展開式中，含項的系數(shù)為.故答案為：【題目點撥】本題考查利用二項式定理求二項展開式中某項的系數(shù)；考查運(yùn)算求解能力；熟練掌握二項展開式的通項公式是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題、常考題型.14、2【解題分析】

可令x=c，代入雙曲線的方程，求得y=±b2a，再根據(jù)題意，設(shè)出A,B,C,D的坐標(biāo)，由2AB=3【題目詳解】令x=c，代入雙曲線的方程可得y=±b由題意可設(shè)A(-c,b由2AB=3BC，由b2=c2-a2故答案是2.【題目點撥】該題考查的是有關(guān)雙曲線的離心率的求解問題，在解題的過程中，涉及到的知識點有雙曲線上的點的坐標(biāo)的求法，根據(jù)雙曲線對稱性，得到四個點A,B,C,D四個點的坐標(biāo)，應(yīng)用雙曲線中系數(shù)的關(guān)系，以及雙曲線的離心率的公式求得結(jié)果.15、【解題分析】

先求出復(fù)數(shù)z,再求|z|.【題目詳解】由題得.故答案為【題目點撥】（1）本題主要考查復(fù)數(shù)的計算和復(fù)數(shù)的模的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和基本的計算能力.(2)復(fù)數(shù)的模.16、2【解題分析】分析：利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡求得z，進(jìn)而得到最后求出復(fù)數(shù)的模即可．詳解：由，可得∴，∴故答案為：2點睛：復(fù)數(shù)的運(yùn)算，難點是乘除法法則，設(shè)，則，.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ），最小正周期為；（Ⅱ）2.【解題分析】

（Ⅰ）整理，得，由周期公式可得解；（Ⅱ）由已知可得，所以，問題得解.【題目詳解】（Ⅰ）∵，∴，∴，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∵，則，∴，∴的最大值為2.【題目點撥】本題考查了輔助角公式和三角函數(shù)周期公式，考查了整體法求三角函數(shù)的值域，屬于中檔題.18、（1）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）;；（2）【解題分析】

分析：(1)先根據(jù)傾斜角寫直線的參數(shù)方程，根據(jù)，將曲線極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，(2)將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)參數(shù)幾何意義以及韋達(dá)定理得.詳解：（1）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.由曲線的極坐標(biāo)方程，得，把，，代入得曲線的直角坐標(biāo)方程為.（2）把代入圓的方程得，化簡得，設(shè)，兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為，，則，∴，，則.點睛：直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式的應(yīng)用過點M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程是.(t是參數(shù)，t可正、可負(fù)、可為0)若M1，M2是l上的兩點，其對應(yīng)參數(shù)分別為t1，t2，則(1)M1，M2兩點的坐標(biāo)分別是(x0＋t1cosα，y0＋t1sinα)，(x0＋t2cosα，y0＋t2sinα).(2)|M1M2|＝|t1－t2|.(3)若線段M1M2的中點M所對應(yīng)的參數(shù)為t，則t＝，中點M到定點M0的距離|MM0|＝|t|＝.(4)若M0為線段M1M2的中點，則t1＋t2＝0.19、（1）（2）見解析【解題分析】

（1）先在頻率分布直方圖中找出河流最高水位在區(qū)間的頻率，然后利用獨(dú)立重復(fù)試驗的概率公式計算出所求事件的概率；（2）計算出三種方案的損失費(fèi)用期望，在三種方案中選擇損失最小的方案．【題目詳解】（1）由題設(shè)得，所以，在未來3年里，河流最高水位發(fā)生的年數(shù)為，則～，記事件“在未來3年里，至多有1年河流水位”為事件，則，∴未來3年里，至多有1年河流水位的概率為．（2）由題設(shè)得，，用分別表示方案一、方案二、方案三的損失，由題意得萬元，的分布列為：20062000.990.01萬元，的分布列為：0100060000.740.250.01∴萬元，三種方案采取方案二的損失最小，采取方案二好．【題目點撥】本題考查獨(dú)立重復(fù)試驗概率的計算，考查離散型隨機(jī)變量分布列及其數(shù)學(xué)期望，在求解時要弄清隨機(jī)變量所服從的分布列類型，考查計算能力，屬于中等題．20、(1)見解析；(2)【解題分析】

（1）一位乘客是否在第20層下電梯為一次試驗，這是5次獨(dú)立重復(fù)試驗．故ξ～B，由此能求出ξ的分布列．（2）由ξ～B，能求出Eξ．【題目詳解】（1）考察一位乘客是否在第20層下電梯為一次試驗，這是5次獨(dú)立重復(fù)試驗，故，即有，.由此可得的分布列為012345（2），.【題目點撥】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差，是中檔題．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意二項分布的合理運(yùn)用．21、（1），；（2）.【解題分析】

（1）利用和關(guān)系得到，驗