2024屆廣東省肇慶市數學高二第二學期期末考試試題含解析

2024屆廣東省肇慶市數學高二第二學期期末考試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知曲線在處的切線與直線平行，則的值為（）A．-3 B．-1 C．1 D．32．設為等差數列的前項和，若，，則A． B． C． D．3．執(zhí)行下面的程序框圖，若輸出的結果為，則判斷框中的條件是（）A． B． C． D．4．正項等比數列中，，若，則的最小值等于（）A．1 B． C． D．5．從1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2個數，事件A為“第一次取到的是奇數”，B為“第二次取到的是3的整數倍”，則（）A． B． C． D．6．設集合，，則A． B． C． D．7．同學聚會上，某同學從《愛你一萬年》，《十年》，《父親》，《單身情歌》四首歌中選出兩首歌進行表演，則《愛你一萬年》未選取的概率為（）A．B．C．D．8．已知、分別是雙曲線的左、右焦點，點是雙曲線右支上的點，且，若坐標原點到直線的距離等于實半軸長，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．9．下面推理過程中使用了類比推理方法，其中推理正確的是（）A．平面內的三條直線a,b,c，若a⊥c,b⊥c，則a//b.類比推出：空間中的三條直線a,b,c，若a⊥c,b⊥c，則a//bB．平面內的三條直線a,b,c，若a//c,b//c，則a//b.類比推出：空間中的三條向量a,b,cC．在平面內，若兩個正三角形的邊長的比為12，則它們的面積比為14.類比推出：在空間中，若兩個正四面體的棱長的比為1D．若a,b,c,d∈R，則復數a+bi=c+di?a=c,b=d.類比推理：“若a,b,c,d∈Q，則a+b210．已知數列an:12,122,222,32①210-1210是an的第2036項；②存在常數M，使得Sn<M恒成立；③其中正確的序號是（）A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④11．設，，則“”是“”的（）A．充要條件 B．充分而不必要條件 C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件12．已知，函數的零點分別為，函數的零點分別為，則的最小值為（）A．1 B． C． D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線被圓截得的弦長為________.14．在空間四邊形中，若分別是的中點，是上點，且，記，則_____.15．從字母中選出個字母排成一排，其中一定要選出和，并且它們必須相鄰(在前面)，共有排列方法__________種.16．展開式中的常數項是____________(用數字作答)三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知的展開式中，所有項的二項式系數之和為128.（1）求展開式中的有理項；（2）求展開后所有項的系數的絕對值之和.18．（12分）已知橢圓的離心率為，且過點.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓交于兩點（點均在第一象限），且直線的斜率成等比數列，證明：直線的斜率為定值.19．（12分）已知函數，其中.（1）討論的單調性；（2）若時，函數恰有一個零點，求實數的值.（3）已知數列滿足，其前項和為，求證：（其中）.20．（12分）在平面直角坐標系中，以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程是，圓的極坐標方程是．（1）求與交點的極坐標；（2）設為的圓心，為與交點連線的中點，已知直線的參數方程是（為參數），求的值．21．（12分）已知數列滿足．（1）求；（2）求數列的前n項和；（3）已知是公比q大于1的等比數列，且，，設，若是遞減數列，求實數的取值范圍22．（10分）某出版社的7名工人中，有3人只會排版，2人只會印刷，還有2人既會排版又會印刷，現(xiàn)從7人中安排2人排版，2人印刷，有幾種不同的安排方法．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

由導數的幾何意義求出曲線在處的切線的斜率，根據兩直線平行斜率相等即可得到的值?！绢}目詳解】因為，所以線在處的切線的斜率為，由于曲線在處的切線與直線平行，故，即，故選C．【題目點撥】本題考查導數的幾何意義，屬于基礎題2、B【解題分析】分析：首先設出等差數列的公差為，利用等差數列的求和公式，得到公差所滿足的等量關系式，從而求得結果，之后應用等差數列的通項公式求得，從而求得正確結果.詳解：設該等差數列的公差為，根據題中的條件可得，整理解得，所以，故選B.點睛：該題考查的是有關等差數列的求和公式和通項公式的應用，在解題的過程中，需要利用題中的條件，結合等差數列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差數列的通項公式得到與的關系，從而求得結果.3、C【解題分析】

根據已知的程序語句可得，該程序的功能是利用循環(huán)結構計算并輸出變量的值，模擬程序的運行過程，即可得出答案.【題目詳解】解：當時，不滿足輸出結果為，進行循環(huán)后，，；當時，不滿足輸出結果為，進行循環(huán)后，，；當時，不滿足輸出結果為，進行循環(huán)后，，；當時，不滿足輸出結果為，進行循環(huán)后，，；當時，不滿足輸出結果為，進行循環(huán)后，，；當時，滿足輸出結果為，故進行循環(huán)的條件，應為：.故選：C.【題目點撥】本題考查程序框圖的應用，屬于基礎題.4、D【解題分析】分析：先求公比，再得m,n關系式，最后根據基本不等式求最值.詳解：因為，所以，因為，所以，因此當且僅當時取等號選點睛：在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數)、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應用，否則會出現(xiàn)錯誤.5、B【解題分析】

由條件概率的定義，分別計算即得解.【題目詳解】由題意事件為“第一次取到的是奇數且第二次取到的是3的整數倍”：若第一次取到的為3或9，第二次有2種情況；若第一次取到的為1，5，7，第二次有3種情況，故共有個事件由條件概率的定義：故選：B【題目點撥】本題考查了條件概率的計算，考查了學生概念理解，分類討論，數學運算的能力，屬于中檔題.6、C【解題分析】由，得：∴；∵，∴∴故選C7、B【解題分析】,所以選B.8、B【解題分析】

利用題設條件和雙曲線性質在三角形中尋找等量關系，得出a與c之間的等量關系，進而求出雙曲線的離心率.【題目詳解】如圖，，，依題意，，

且，可知三角形是一個等腰直角三角形，

，，

在中，由余弦定理可得：

，

化簡得，

該雙曲線的離心率為．

故選：B．【題目點撥】本題主要考查余弦定理，雙曲線的定義、簡單幾何性質，突出了對計算能力和綜合運用知識能力的考查，屬中檔題．9、D【解題分析】

對四個答案中類比所得的結論逐一進行判斷，即可得到答案【題目詳解】對于A，空間中，三條直線a，b，c，若a⊥c，對于B，若b=0，則若a//b對于C，在平面上，正三角形的面積比是邊長比的平方，類比推出在空間中，正四面體的體積是棱長比的立方，棱長比為12，則它們的體積比為1對于D，在有理數Q中，由a+b2=c+d2可得，b=d，故正確綜上所述，故選D【題目點撥】本題考查的知識點是類比推理，解題的關鍵是逐一判斷命題的真假，屬于基礎題．10、B【解題分析】

找出數列an的規(guī)律：分母為2k的項有2k-1項，并將這些項排成楊輝三角形式的數陣，使得第k有2k-1項，每項的分母均為2k，并計算出每行各項之和b【題目詳解】由題意可知，數列an的規(guī)律為：分母為2k的項有2k-1項，將數列an中的項排成楊輝三角數陣，且使得第k12對于命題①，210-1210位于數陣第21對于命題②，數陣中第k行各項之和為bk，則b且數列bk的前kTk當k→+∞時，Tk→+∞，因此，不存在正數M，使得對于命題③，易知第9行最后一項位于數列an21第10行最后一項位于數列an的項數為2036，且1013<2019<2036則a2019位于數陣第10行第1006項（即2019-1013=1006所以，S=1023由①知，S2036=T則恰好滿足Sn>1019的項an位于第11則有T10+1由于64×63=4032，64×65=4160，則63×64<4096<64×65，∴m=64，因此，滿足Sn>1019的最小正整數故選：B.【題目點撥】本題考查歸納推理，考查與數列相關的知識，關鍵要找出數列的規(guī)律，在解題時可以將規(guī)律轉化為楊輝三角來處理，在做題過程中找出項與數陣中相對應的位置，綜合性較強，屬于難題。11、C【解題分析】不能推出，反過來，若則成立，故為必要不充分條件.12、B【解題分析】試題分析：由題知，，，，.，又故選B．考點：1、函數的零點；2、指數運算；3、函數的最值.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解題分析】

將圓的方程化為標準方程，求出圓心坐標與半徑，利用點到直線的距離公式，運用勾股定理即可求出截得的弦長【題目詳解】由圓可得則圓心坐標為，半徑圓心到直線的距離直線被圓截得的弦長為故答案為【題目點撥】本題主要考查了求直線被圓所截的弦長，由弦長公式，分別求出半徑和圓心到直線的距離，然后運用勾股定理求出弦長14、【解題分析】

由條件可得【題目詳解】因為，分別是的中點所以所以故答案為：【題目點撥】本題考查的是空間向量的線性運算，較簡單.15、36【解題分析】

從剩余的4個字母中選取2個，再將這2個字母和整體進行排列，根據分步計數原理求得結果．【題目詳解】由于已經選出，故再從剩余的4個字母中選取2個，方法有種，再將這2個字母和整體進行排列，方法有種，根據分步計數原理求得所有的排列方法共有種，故答案為36.【題目點撥】本題主要考查排列與組合及兩個基本原理的應用，屬于中檔題．16、【解題分析】

將二項式變形為，得出其展開式通項為，再利用，求出，不存在，再將代入可得出所求常數項。【題目詳解】，所以，展開式的通項為，令，可得，不存在，因此，展開式中的常數項是，故答案為：?！绢}目點撥】本題考查二項式定理，考查指定項系數的求解，解這類問題一般是利用二項式定理將展開式表示為通項，利用指數求出參數，考查計算能力，屬于中等題。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)，，，(2)21【解題分析】分析：（1）根據題意，求的，寫出二項展示的通項，即可得到展開式的有理項；（2）由題意，展開式中所有項的系數的絕對值之和，即為展開式中各項系數之和，即可求解.詳解：根據題意，，（1）展開式的通項為.于是當時，對應項為有理項，即有理項為（2）展開式中所有項的系數的絕對值之和，即為展開式中各項系數之和，在中令x＝1得展開式中所有項的系數和為（1＋2）7＝37＝21．所以展開式中所有項的系數和為21.點睛：本題主要考查二項式定理的通項與系數，屬于簡單題，二項展開式定理的問題也是高考命題熱點之一，關于二項式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個方面命題：（1）考查二項展開式的通項公式；（可以考查某一項，也可考查某一項的系數）（2）考查各項系數和和各項的二項式系數和；（3）二項式定理的應用．18、(1);(2)見解析.【解題分析】試題分析：（1）根據橢圓的離心率和所過的點得到關于的方程組，解得后可得橢圓的方程．（2）由題意設直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立后消元可得二次方程，根據二次方程根與系數的關系可得直線的斜率，再根據題意可得，根據此式可求得，為定值．試題解析：（1）由題意可得，解得．故橢圓的方程為．（2）由題意可知直線的斜率存在且不為0，設直線的方程為，由，消去整理得，∵直線與橢圓交于兩點，∴．設點的坐標分別為，則，∴．∵直線的斜率成等比數列，∴，整理得，∴，又，所以，結合圖象可知，故直線的斜率為定值．點睛：（1）圓錐曲線中的定點、定值問題是?？碱}型，難度一般較大，常常把直線、圓及圓錐曲線等知識結合在一起，注重數學思想方法的考查，尤其是函數思想、數形結合思想、分類討論思想的考查．（2）解決定值問題時，可直接根據題意進行推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．19、（1）當時，在上單調遞增，當時，在上單調遞增，在上單調遞減；（2）；（3）證明見解析【解題分析】

（1）求出，然后分和兩種情況討論（2）由（1）中的結論，要使恰有1個零點，只需函數的最小值為0（3）由（1）知，當時，，即，然后可得，由此可證明，然后兩邊同時取對數即可【題目詳解】（1）當時，，從而在上單調遞增；當時，，從而在上單調遞增，在上單調遞減（2）由（1）知，當時在上單調遞增，在上單調遞減，要使恰有1個零點，只需函數的最小值為0，即，解得（3）由（1）知，當時，，即令，得則，，，…，，即兩邊取以為底的對數得：【題目點撥】本題考查的是利用導數研究函數的單調性、零點個數及證明不等式，屬于較難題.20、(1)，或；(2)．【解題分析】試題分析：（1）聯(lián)立極坐標方程，解得與交點的極坐標是，或；（2）直線的參數方程化為普通方程，把，的直角坐標帶入，解得.試題解析：（1）代入，得．所以或，取，．再由得，或．所以與交點的極坐標是，或．（2）參數方程化為普通方程得．由（Ⅰ）得，的直角坐標分別是，，代入解得．21、（1）（2）（3）．【解題分析】

（1）利用項和轉換可得，即得；（2），裂項求和法可得解；（3）代入，可得．，轉化是遞減數列為恒成立，化簡可得，恒成立，又是遞減數列，即得解.【題目詳解】（1）由題意，數列的前n項和．當時，有，所以．當時