天津市寶坻區(qū)等部分區(qū)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

天津市寶坻區(qū)等部分區(qū)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．一個(gè)均勻的正方體，把其中相對(duì)的面分別涂上紅色、黃色、藍(lán)色，隨機(jī)向上拋出，正方體落地時(shí)“向上面為紅色”的概率是A． B． C． D．2．的值是（）A．B．C．D．3．函數(shù)f(x)=|x|-ln|x|，若[f(x)]2-mf(x)+3=0有A．(23,4) B．(2,4) C．(2,24．若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則=（）A．1 B．2 C． D．5．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A． B． C． D．6．一個(gè)停車場(chǎng)有5個(gè)排成一排的空車位，現(xiàn)有2輛不同的車停進(jìn)這個(gè)停車場(chǎng)，若停好后恰有2個(gè)相鄰的停車位空著，則不同的停車方法共有A．6種 B．12種 C．36種 D．72種7．在10個(gè)籃球中有6個(gè)正品，4個(gè)次品.從中抽取4個(gè)，則正品數(shù)比次品數(shù)少的概率為A． B． C． D．8．已知函數(shù)，且，則曲線在處的切線方程為（）A． B．C． D．9．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)，若是圖象的一條對(duì)稱軸的方程，則下列說法正確的是（）A．圖象的一個(gè)對(duì)稱中心 B．在上是減函數(shù)C．的圖象過點(diǎn) D．的最大值是11．已知隨機(jī)變量，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，若向長(zhǎng)方形中隨機(jī)投擲1點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好落在陰影部分的概率為（）附：若隨機(jī)變量，則，.A．0.1359 B．0.7282 C．0.6587 D．0.864112．“紋樣”是中國藝術(shù)寶庫的瑰寶，“火紋”是常見的一種傳統(tǒng)紋樣．為了測(cè)算某火紋紋樣(如圖陰影部分所示)的面積，作一個(gè)邊長(zhǎng)為5的正方形將其包含在內(nèi)，并向該正方形內(nèi)隨機(jī)投擲1000個(gè)點(diǎn)，己知恰有400個(gè)點(diǎn)落在陰影部分，據(jù)此可估計(jì)陰影部分的面積是A．2 B．3 C．10 D．15二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．隨機(jī)變量的概率分布為，其中是常數(shù)，則__________．14．已知函數(shù)，若，則m的取值范圍是___________.15．若，且，則______.16．設(shè)定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，若關(guān)于的方程恰有兩個(gè)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某企業(yè)為了解下屬某部門對(duì)本企業(yè)職工的服務(wù)情況，隨機(jī)訪問50名職工，根據(jù)這50名職工對(duì)該部門的評(píng)分，繪制頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）估計(jì)該企業(yè)的職工對(duì)該部門評(píng)分不低于80的概率；（3）從評(píng)分在的受訪職工中，隨機(jī)抽取2人，求此2人評(píng)分都在的概率.18．（12分）已知函數(shù)．當(dāng)時(shí)，求在上的值域；若方程有三個(gè)不同的解，求b的取值范圍．19．（12分）在中，已知,,.(1)求內(nèi)角的大小;(2)求邊的長(zhǎng).20．（12分）如圖，已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，底面，.（1）求直線與平面所成的角的大小；（2）求四棱錐的側(cè)面積.21．（12分）一個(gè)口袋里裝有7個(gè)白球和1個(gè)紅球，從口袋中任取5個(gè)球．(1)共有多少種不同的取法？(2)其中恰有一個(gè)紅球，共有多少種不同的取法？(3)其中不含紅球，共有多少種不同的取法？22．（10分）如圖，棱長(zhǎng)為的正方形中，點(diǎn)分別是邊上的點(diǎn)，且將沿折起，使得兩點(diǎn)重合于，設(shè)與交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

∵隨機(jī)拋正方體，有6種等可能的結(jié)果，其中正方體落地時(shí)“向上面為紅色”有2種情況，

∴正方體落地時(shí)“向上面為紅色”的概率是

.故選B.2、B【解題分析】試題分析：設(shè)，結(jié)合定積分的幾何意義可知定積分值為圓在第一象限的面積的值是考點(diǎn)：定積分的幾何意義3、A【解題分析】

方程有8個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根指存在8個(gè)不同x的值；根據(jù)函數(shù)f(x)的圖象，可知方程[f(x)]2-mf(x)+3=0必存在2個(gè)大于1【題目詳解】∵f(x)=∵f(-x)=f(x)，∴函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可畫出其函數(shù)圖象（如圖所示），若[f(x)]2-mf(x)+3=0有8個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根?關(guān)于∴Δ=【題目點(diǎn)撥】與復(fù)合函數(shù)有關(guān)的函數(shù)或方程問題，要會(huì)運(yùn)用整體思想看問題；本題就是把所求方程看成是關(guān)于f(x)的一元二次方程，再利用二次函數(shù)根的分布求m的范圍.4、C【解題分析】試題分析：因?yàn)?，所以因此考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的模5、A【解題分析】分析：先把拋物線的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，再求其焦點(diǎn)坐標(biāo).詳解：由題得，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為A.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平.(2)研究圓錐曲線時(shí)，首先一般把曲線的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程再研究.6、B【解題分析】

分類討論,利用捆綁法、插空法,即可得出結(jié)論.【題目詳解】把空著的2個(gè)相鄰的停車位看成一個(gè)整體，即2輛不同的車可以停進(jìn)4個(gè)停車場(chǎng)，由題意,若2輛不同的車相鄰,則有種方法

若2輛不同的車不相鄰,則利用插空法,2個(gè)相鄰的停車位空著,利用捆綁法,所以有種方法，不同的停車方法共有：種，

綜上,共有12種方法，

所以B選項(xiàng)是正確的.本題考查排列、組合的綜合應(yīng)用,注意空位是相同的,是關(guān)鍵.7、A【解題分析】

正品數(shù)比次品數(shù)少，包括一正三次和全部是次品兩種情況，根據(jù)情況寫出所有的組合數(shù)計(jì)算即可.【題目詳解】正品數(shù)比次品數(shù)少，包括一正三次和全部是次品這兩種情況為，總數(shù)為，所以概率為．選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查概率問題，解題的關(guān)鍵是正確的求出所有可能的結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】

先對(duì)已知函數(shù)f(x)求導(dǎo)，由可得a的值，由此確定函數(shù)和其導(dǎo)函數(shù)的解析式，進(jìn)而可得x=0處的切線方程?！绢}目詳解】，，解得，即，，則，，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.【題目點(diǎn)撥】本題考查求函數(shù)某點(diǎn)處的切線方程，解題關(guān)鍵是先由條件求出函數(shù)f(x)中的未知量a。9、D【解題分析】

試題分析：，∵函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，∴在區(qū)間上恒成立．∴，而在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴．∴的取值范圍是．故選D．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.10、A【解題分析】

利用正弦函數(shù)對(duì)稱軸位置特征，可得值，從而求出解析式，利用的圖像與性質(zhì)逐一判斷即可．【題目詳解】∵是圖象的一條對(duì)稱軸的方程，∴，又，∴，∴.圖象的對(duì)稱中心為，故A正確；由于的正負(fù)未知，所以不能判斷的單調(diào)性和最值，故B，D錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤.故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．11、D【解題分析】

根據(jù)正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性和性質(zhì)，再利用面積比的幾何概型求解概率，即得解.【題目詳解】由題意，根據(jù)正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性，可得：故所求的概率為，故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查了正態(tài)分布的圖像及其應(yīng)用，考查了學(xué)生概念理解，轉(zhuǎn)化與劃歸的能力，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解題分析】

根據(jù)古典概型概率公式以及幾何概型概率公式分別計(jì)算概率，解方程可得結(jié)果.【題目詳解】設(shè)陰影部分的面積是s，由題意得4001000=【題目點(diǎn)撥】(1)當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)殚L(zhǎng)度、面積、體積等時(shí)，應(yīng)考慮使用幾何概型求解．(2)利用幾何概型求概率時(shí)，關(guān)鍵是試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找，有時(shí)需要設(shè)出變量，在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)隨機(jī)變量分布列概率和為1求出，求出，再由方差性質(zhì)，即可求解.【題目詳解】由題意得，則，∴，，，則，，∴.故答案為:【題目點(diǎn)撥】本題考查離散型隨機(jī)變量分布列性質(zhì)、期望、方差以及方差的性質(zhì)，考查計(jì)算求解能力，屬于中檔題.14、【解題分析】

求導(dǎo)得到，利用均值不等式判斷，得到函數(shù)單調(diào)遞增，故，解得答案.【題目詳解】，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，又，，可得，解得或.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，均值不等式，意在考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用.15、5【解題分析】

由正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性可得，正態(tài)分布曲線關(guān)于直線對(duì)稱，即可得，再求解即可.【題目詳解】解：由，得，又，所以，即，故答案為：5.【題目點(diǎn)撥】本題考查了正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，屬基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

根據(jù)滿足，得到的周期是4，再根據(jù)方程恰有兩個(gè)根，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)問題求解.【題目詳解】因?yàn)闈M足，所以，所以函數(shù)的周期是4，又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，且當(dāng)時(shí)，，作出的圖象，如圖所示：已知，所以，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)殛P(guān)于的方程恰有兩個(gè)根，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)與方程，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）0.006；（Ⅱ）；（Ⅲ）【解題分析】

試題分析：（Ⅰ）在頻率分布直方圖中，由頻率總和即所有矩形面積之和為，可求；（Ⅱ）在頻率分布直方圖中先求出50名受訪職工評(píng)分不低于80的頻率為，由頻率與概率關(guān)系可得該部門評(píng)分不低于80的概率的估計(jì)值為;（Ⅲ）受訪職工評(píng)分在[50,60)的有3人，記為，受訪職工評(píng)分在[40,50)的有2人，記為，列出從這5人中選出兩人所有基本事件，即可求相應(yīng)的概率.試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?，所以…?.4分)（Ⅱ）由所給頻率分布直方圖知，50名受訪職工評(píng)分不低于80的頻率為，所以該企業(yè)職工對(duì)該部門評(píng)分不低于80的概率的估計(jì)值為………8分（Ⅲ）受訪職工評(píng)分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3（人），即為;受訪職工評(píng)分在[40,50)的有：50×0.004×40＝2（人），即為.從這5名受訪職工中隨機(jī)抽取2人，所有可能的結(jié)果共有10種，它們是又因?yàn)樗槿?人的評(píng)分都在[40,50)的結(jié)果有1種，即，故所求的概率為考點(diǎn)：1.頻率分布直方圖；2.概率和頻率的關(guān)系；3.古典概型.【名師點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖、概率與頻率關(guān)系、古典概型，屬中檔題；利用頻率分布直方圖解題的時(shí)，注意其表達(dá)的意義，同時(shí)要理解頻率是概率的估計(jì)值這一基礎(chǔ)知識(shí)；在利用古典概型解題時(shí)，要注意列出所有的基本事件，千萬不可出現(xiàn)重、漏的情況.18、12．【解題分析】

（1）求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性確定最值取得的點(diǎn)，從而得到值域；（2）將問題轉(zhuǎn)化成與有三個(gè)交點(diǎn)的問題，通過求導(dǎo)得到圖象，通過圖象可知只需位于極大值和極小值之間即可，從而得到不等式，求解出范圍.【題目詳解】（1）當(dāng)時(shí)，則令，解得或列表如下；由表可知，在上的最小值為，最大值為所以在的值域是（2）由，得設(shè)，則由，解得：由，解得：或所以在遞減；在，遞增所以極大值為：；極小值為：，畫出的圖象如圖所示；有三個(gè)不同解與有三個(gè)不同交點(diǎn)結(jié)合圖形知，解得：，所以方程有三個(gè)不同的解時(shí)，的取值范圍是【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值問題以及導(dǎo)數(shù)問題中的根的個(gè)數(shù)問題.解決根的個(gè)數(shù)類問題的關(guān)鍵在于能夠?qū)栴}變成曲線和平行于軸直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，從而利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)圖象，結(jié)合圖象得到相應(yīng)的關(guān)系.19、（1）（2）【解題分析】分析：(1)根據(jù)配角公式得，解得A，（2）先根據(jù)平方關(guān)系得，根據(jù)兩角和正弦公式求，再根據(jù)正弦定理求邊的長(zhǎng).詳解：解：（1）因?yàn)樗?，即因?yàn)椋运?，所?2)因?yàn)?，所以所以在中，所以，得點(diǎn)睛：解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的.其基本步驟是：第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標(biāo)出來，然后確定轉(zhuǎn)化的方向.第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實(shí)施邊角之間的互化.第三步：求結(jié)果.20、（1）；（2）【解題分析】

（1）先得到平面的垂線,可得即為所求角；（2）容易證明側(cè)面的各個(gè)面均為直角三角形,有勾股定理求出各棱長(zhǎng)后,將面積求和即可【題目詳解】解：（1）底面是正方形,,底面,底面,,平面,直線與平面所成的角為,（2）由題可知,側(cè)面由,,,四個(gè)三角形構(gòu)成由（1）知,,,即是直角三角形【題目點(diǎn)撥】本題考查線面角,考查側(cè)面積,考查線面垂直,考查運(yùn)算能力21、（1）56；（2）35；（3）21【解題分析】

分析：（1）從口袋里的個(gè)球中任取個(gè)球,利用組合數(shù)的計(jì)算公式，即可求解.（2）從口袋里的個(gè)球中任取個(gè)球,其中恰有一個(gè)紅球,可以分兩步完成:第一步,從個(gè)白球中任取個(gè)白球,第二步,把個(gè)紅球取出,即可得到答案.（3）從口袋里任取個(gè)球,其中不含紅球,只需從個(gè)白球中任取個(gè)白球即可得到結(jié)果.詳解：（1）從口袋里的個(gè)球中任取個(gè)球,不同取法的種數(shù)是（2）從口袋里的個(gè)球中任取個(gè)球,其中恰有一個(gè)紅球,可以分兩步完成:第一步,從個(gè)白球中任取個(gè)白球,有種取法;第二步,把個(gè)紅球取出,有種取法.故不同取法的種數(shù)是:（3）從口袋里任取個(gè)球,其中不含紅球,只需從個(gè)白球中任取個(gè)白球即可,不同取法的種數(shù)是.點(diǎn)睛：本題主要考查了組合及組合數(shù)的應(yīng)用，其中認(rèn)真分析題意，合理選擇組合及組合數(shù)的公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及推理與計(jì)算能力.22、（1）見證明（2）【解題分析】

（1）由平面可得，結(jié)合可得平面，故，又得出平面；（2）建立空間坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算平面的法向量，則為直線與平面所成角的正弦值