上海市2021年中考數(shù)學真題卷（含答案與解析）

上海市2021年初中畢業(yè)生學業(yè)考試

數(shù)學

注意事項：

1.答題前，考生務必將自己的學校、姓名、準考證號用0.5毫米的黑色墨水簽字筆填寫在答題

卡上，并檢查條形碼粘貼是否正確.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用25鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號；回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫

在本試卷上無效.

一、選擇題

1.下列實數(shù)中，有理數(shù)是（）

2.下列單項式中，//的同類項是（）

A.B.2a%3C.a2bD.ab3

3.將拋物線y=ar2+法+c（a/0）向下平移兩個單位，以下說法錯誤的是（）

A.開口方向不變B.對稱軸不變C.y隨x的變化情況不變D.與y軸的交點不變

4.商店準備一種包裝袋來包裝大米，經(jīng)市場調(diào)查以后，做出如下統(tǒng)計圖，請問選擇什么樣的包裝最合適（）

A.2kg/包B.3kg/包C.4kg/包D.5kg/包

5.如圖，已知平行四邊形A8C。中，AB=a,AD=h,EAB中點，求+（）

2

b

A.ECB.CEC-EDD.DE

6.如圖，已知長方形ABC￡>中，AB=4,AD=3,圓8的半徑為1,圓A與圓8內(nèi)切，則點C,。與圓4

B.點C在圓A外，點。在圓A外

C.點C在圓A上，點。在圓A內(nèi)D.點C在圓A內(nèi)，點￡)在圓A外

二、填空題

7.計算：X74-X2=...

8.已知f(x)=9,那么=

X

9.已知Jx+4=3,則》=_.

10.不等式2x-12<()解集是.

11.70。的余角是.

12.若一元二次方程2/一3%+。、=0無解，則c取值范圍為.

13.有數(shù)據(jù)1,2,3,5,8,13,21,34,從這些數(shù)據(jù)中取一個數(shù)據(jù)，得到偶數(shù)的概率為一，

14.已知函數(shù)》="經(jīng)過二、四象限，且函數(shù)不經(jīng)過(-1/)，請寫出一個符合條件的函數(shù)解析式一

15.某人購進一批蘋果到集貿(mào)市場零售，已知賣出的蘋果數(shù)量與售價之間的關系如圖所示，成本為5元/千

克，現(xiàn)以8元/千克賣出，賺元.

賣出的數(shù)星

17.六個帶30。角的直角三角板拼成一個正六邊形，直角三角板的最短邊為1,求中間正六邊形的面積

18.定義：在平面內(nèi)，一個點到圖形的距離是這個點到這個圖上所有點的最短距離，在平面內(nèi)有一個正方形,

邊長為2,中心為。，在正方形外有一點P,OP=2,當正方形繞著點。旋轉時，則點P到正方形的最短距

離4的取值范圍為.

D

三、解答題

19.計算：-2Tx近

2。.解方程組：0x_+y獷=3=。

4

21.已知在△ABO中，AC1BD,BC=S,CD=4LcosZABC=-,3/為A。邊上的中線.

A

，

BrD

(1)求AC的長；

(2)求tanNEBO的值.

22.現(xiàn)5G手機非常流行,某公司第一季度總共生產(chǎn)80萬部5G手機，三個月生產(chǎn)情況如下圖.

/1月份2月份\

/30%25%\

\3月份/

(1)求三月份共生產(chǎn)了多少部手機？

(2)5G手機速度很快，比4G下載速度每秒多95MB,下載一部1000MB電影，5G比4G要快190秒,

求5G手機的下載速度.

23.已知：在圓O內(nèi)，弦與弦5c交于點6)。=。氏知,77分別是。3和4。的中點，聯(lián)結“乂06.

(1)求證：OG工MN；

(2)聯(lián)結AC,AM,CN,當CN//OG時，求證：四邊形ACMW為矩形.

24.已知拋物線y=ax2+c(a^0)過點P(3,O),。(1,4).

(1)求拋物線的解析式;

(2)點4在直線PQ上且在第一象限內(nèi)，過A作AB_Lx軸于8,以A3為斜邊在其左側作等腰直角ABC.

①若A與。重合，求C到拋物線對稱軸的距離；

②若C落在拋物線上，求C的坐標.

25.如圖，在梯形ABC。中，AO//BC,NA3C=90o,AO=CD,O是對角線AC的中點，聯(lián)結B。并延

長交邊8或邊AD于￡.

(1)當點E在邊CD上時，

①求證：ADACSQBC；

AH

②若BELCD,求——的值;

BC

(2)若DE=2,OE=3,求CO的長.

參考答案

一、選擇題

1.下列實數(shù)中，有理數(shù)是（）

【答案】C

【解析】

【分析】先化簡二次根式，再根據(jù)有理數(shù)的定義選擇即可

【詳解】解：

A、應是無理數(shù)，故舊是無理數(shù)

B、￡=當；&是無理數(shù),故g是無理數(shù)

C、JL=J_為有理數(shù)

V42

口、是無理數(shù)，故g是無理數(shù)

故選：C

【點睛】本題考查二次根式的化簡、無理數(shù)的定義、有理數(shù)的定義、熟練掌握有理數(shù)的定義是關鍵

2.下列單項式中，/尸的同類項是（）

A.a3b2B.2a2b3C.a2bD.ab3

【答案】B

【解析】

【分析】比較對應字母的指數(shù)，分別相等就是同類項

【詳解】的指數(shù)是3,6的指數(shù)是2,與//中。的指數(shù)是2,〃的指數(shù)是3不一致,

???Y/不是病/的同類項，不符合題意；

:a的指數(shù)是2,人的指數(shù)是3,與中〃的指數(shù)是2,〃的指數(shù)是3一致,

是的同類項，符合題意;

Ya的指數(shù)是2,〃的指數(shù)是1,與中”的指數(shù)是2,6的指數(shù)是3不一致，

，/匕不是//的同類項，不符合題意；

?.%的指數(shù)是1,6的指數(shù)是3,與//中。的指數(shù)是2,b的指數(shù)是3不一致，

"3不是的同類項，不符合題意；

故選8

【點睛】本題考查了同類項，正確理解同類項的定義是解題的關鍵.

3.將拋物線丁=辦2+必+c（awO）向下平移兩個單位，以下說法錯誤的是（）

A.開口方向不變B.對稱軸不變C.y隨x的變化情況不變D.與y軸的交點不變

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的平移特點即可求解.

【詳解】將拋物線了=0?+笈+。3/0）向下平移兩個單位，開口方向不變、對稱軸不變、故y隨x的變

化情況不變；與y軸的交點改變

故選D.

【點睛】此題主要考查二次函數(shù)的函數(shù)與圖象，解題的關鍵是熟知二次函數(shù)圖象平移的特點.

4.商店準備一種包裝袋來包裝大米，經(jīng)市場調(diào)查以后，做出如下統(tǒng)計圖，請問選擇什么樣的包裝最合適（）

A.2kg/包B.3kg/包C.4kg/包D.5kg/包

【答案】A

【解析】

【分析】選擇人數(shù)最多的包裝是最合適的.

【詳解】由圖可知,選擇1.5kg/包-2.5kg/包的范圍內(nèi)的人數(shù)最多,

選擇在1.5kg/包-2.5kg/包的范圍內(nèi)的包裝最合適.

故選：A.

【點睛】本題較簡單，從圖中找到選擇人數(shù)最多的包裝的范圍，再逐項分析即可.

5.如圖，已知平行四邊形ABC。中，AB=a,AD=h,E為A3中點，求+()

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)向量的特點及加減法則即可求解.

【詳解】I?四邊形A8C。是平行四邊形，E為AB中點，

：.-a+b=-AB+BC=EB+BC=EC

22

故選A.

【點睛】此題主要考查向量的表示，解題的關鍵是熟知平行四邊形的特點及向量的加減法則.

6.如圖，已知長方形ABC。中，AB=4,AD=3,圓B的半徑為1,圓A與圓B內(nèi)切，則點C,。與圓4

的位置關系是()

A.點C在圓A外，點。在圓A內(nèi)B.點C在圓A外，點。在圓A外

C.點C在圓A上，點。在圓A內(nèi)D.點C在圓4內(nèi)，點。在圓A外

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)內(nèi)切得出圓A的半徑，再判斷點。、點E到圓心的距離即可

?.,圓4與圓B內(nèi)切，A3=4，圓8的半徑為1

...圓A的半徑為5

AD=3<5

.?.點。在圓A內(nèi)

在用Z\ABC中，+="2+32=5

.?.點C在圓A上

故選：C

【點睛】本題考查點與圓的位置關系、圓與圓的位置關系、勾股定理，熟練掌握點與圓的位置關系是關鍵

二、填空題

7.計算：X74-%2=..

【答案】X5

【解析】

【分析】根據(jù)同底數(shù)第的除法法則計算即可

詳解】X7+工2=X、，

故答案為：V.

【點睛】本題考查了同底數(shù)塞的除法，熟練掌握運算的法則是解題的關鍵.

8.已知/（x）=9,那么/（百）=

X

【答案】2G.

【解析】

［分析】直接利用已知的公式將X的值代入求出答案.

【詳解】解：???/（幻=9,

X

"(G)=6=26,

3

故答案為：2G.

【點睛】本題主要考查了函數(shù)值，正確把已知代入是解題關鍵.

9.已知Jx+4=3,則兀=.

【答案】5

【解析】

【分析】方程兩邊同平方，化為一元一次方程，進而即可求解.

【詳解】解：VTF4=3.

兩邊同平方，得x+4=9，

解得：x=5,

經(jīng)檢驗，戶5是方程的解，

/.x=5,

故答案是：5.

【點睛】本題主要考查解根式方程，把根式方程化為整式方程，是解題的關鍵.

10.不等式2x72<()解集是.

【答案】x<6

【解析】

【分析】根據(jù)不等式的性質即可求解.

【詳解】2x—12<()

2x<12

x<6

故答案為：x<6.

【點睛】此題主要考查不等式的求解，解題的關鍵是熟知不等式的性質.

11.70。的余角是.

【答案】20。

【解析】

【分析】根據(jù)余角的定義即可求解.

【詳解】70°余角是90°-70°=20°

故答案為：20。.

【點睛】此題主要考查余角的求解，解題的關鍵是熟知余角的定義與性質.

12.若一元二次方程2丁—3x+c=0無解，則。的取值范圍為.

9

【答案】c>-

8

【解析】

【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式的意義得到△=(「Bp-4x2cV0,然后求出c的取值范圍.

【詳解】解：關于x的一元二次方程2f—3x+c=0無解，

,:a=2,b=—39c=c，

??.△=b2-4ac=(-3『-4x2c<0,

9

解得c>—,

8

的取值范圍是c>'9.

8

9

故答案為：c>—.

8

【點睛】本題考查了一元二次方程^(WO)的根的判別式△=64a當△>(),方程有兩個不相

等的實數(shù)根；當△=(),方程有兩個相等的實數(shù)根；當△<(),方程沒有實數(shù)根.

13.有數(shù)據(jù)1,2,3,5,8,13,21,34,從這些數(shù)據(jù)中取一個數(shù)據(jù)，得到偶數(shù)的概率為.

【答案】9

O

【解析】

【分析】根據(jù)概率公式計算即可

【詳解】根據(jù)概率公式，得偶數(shù)的概率為3,

O

_3

故答案為：

O

【點睛】本題考查了概率計算，熟練掌握概率計算公式是解題的關鍵.

14.已知函數(shù)》=日經(jīng)過二、四象限，且函數(shù)不經(jīng)過請寫出一個符合條件的函數(shù)解析式.

【答案】y=-2x(%<0且左。一1即可)

【解析】

【分析】正比例函數(shù)經(jīng)過二、四象限，得到k<0,又不經(jīng)過得到k齊1,由此即可求解.

【詳解】解：???正比例函數(shù)>=也經(jīng)過二、四象限，

：.k<0,

當丫="經(jīng)過（一1,1）時，k=-\,

由題意函數(shù)不經(jīng)過（T,l）,說明厚-1,

故可以寫的函數(shù)解析式為：y=—2x（本題答案不唯一，只要人<0且左。一1即可）.

【點睛】本題考查了正比例函數(shù)的圖像和性質，屬于基礎題，產(chǎn)履（原0）當氏<0時經(jīng)過第二、四象限；當

%>0時經(jīng)過第一、三象限.

15.某人購進一批蘋果到集貿(mào)市場零售，已知賣出的蘋果數(shù)量與售價之間的關系如圖所示，成本為5元/千

33k

【答案】

【解析】

【分析】利用待定系數(shù)法求出函數(shù)關系式，求出當售價為8元/千克時的賣出的蘋果數(shù)量.再利用利潤=（售

價-進價）x銷售量，求出利潤.

【詳解】設賣出的蘋果數(shù)量與售價之間的關系式為y=/nx+〃（5KxWl（））,將（5,必），（10,k）代入關

系式:

3,

5根+〃=4攵m=——k

解得《5

10加+〃=2

n=7k

3

y=--Ax+7Z:（5<x<10）

令x=8,則丁二，左

I|33

，利潤二（8—5）*可氏=]%

【點睛】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和利潤求解問題.利潤二（售價-進價）X銷售量.

16.如圖，已知卷q3=i；,則q上%二

、"CD'BABCD

【解析】

Ani

【分析】先根據(jù)等高的兩個三角形的面積比等于邊長比，得出"=7再根據(jù)△A0￡>s/\C0B得出

BC2

再根據(jù)等高的兩個三角形的面積比等于邊長比計算即可

OBBC2

【詳解】解：作AELBC,CFVBD

SABD1

?°SABCD42

???△48。和488等高，高均為AE

-AD?AEA八1

...Sc.ABD=2=四=1

S-BCD1BC?AEBC2

2

?：AD//BC

△NOD-XCOB

.OPAD_]

"~0B~~BC~2

「△BOC和△OOC等高，高均為CF

SBOCg°BCFOB2

?A/WC___

?*I-

Sjx>cLOD.CF°。1

2

.S^BOC_2

SdBCD3

2

故答案為：一

3

【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質、等高的兩個三角形的面積比等于邊長比，熟練掌握三角形的

面積的特點是解題的關鍵

17.六個帶30。角的直角三角板拼成一個正六邊形，直角三角板的最短邊為1,求中間正六邊形的面積

【解析】

【分析】由六個帶30。角的直角三角板拼成一個正六邊形，直角三角板的最短邊為1,可以得到中間正六邊

形的邊長為1,做輔助線以后，得到△ABC、ACDE,ZVIEF為以1為邊長的等腰三角形，△ACE為等邊三

角形，再根據(jù)等腰三角形與等邊三角形的性質求出邊長，求出面積之和即可.

【詳解】解：如圖所示，連接AC、AE.CE,作BGJ_AC、。/_LCE、FH±AE,A1LCE,

在正六邊形A8CDEF中，

???直角三角板的最短邊為1,

.,.正六邊形ABCDE尸為1,

.?.△ABC、ACDE、△AEF為以1為邊長的等腰三角形，Z\ACE為等邊三角形,

,；NABC=/CDE=NEFA=120°,AB=BC=CD=DE=EF=FA=l,

ZBAG=ZBCG=ZDCE=ZDEC=ZFAE=ZFEA=30°,

BG=DI=FH=—,

2

...由勾股定理得：AG=CG=CI=EI=EH=AH=—

2

.\AC-AE=CE=G,

3

???由勾股定理得：4/=一,

2

故答案為：史.

2

【點睛】本題主要考查了含30度角的直角三角形的性質、正多邊形形與圓以及等邊三角形的性質，關鍵在

于知識點：在直角三角形中，30度角所對的直角邊等于斜邊的一半的應用.

18.定義：在平面內(nèi)，一個點到圖形的距離是這個點到這個圖上所有點的最短距離，在平面內(nèi)有一個正方形,

邊長為2,中心為O,在正方形外有一點P，OP=2,當正方形繞著點。旋轉時，則點P到正方形的最短距

離4的取值范圍為.

【答案】2-V2<J<l

【解析】

【分析】先確定正方形的中心O與各邊的所有點的連線中的最大值與最小值，然后結合旋轉的條件即可求

解.

【詳解】解：如圖1,設AO的中點為E,連接04,OE,則AE=OE=1,NAEO=90°,04=0.

點0與正方形ABCO邊上的所有點的連線中,

OE最小,等于1,OA最大，等于應.

,/OP=2,

.?.點P與正方形ABC。邊上的所有點的連線中，

如圖2所示，當點E落在OP上時，最大值PE=PO-￡O=2-1=1；

如圖3所示，當點A落在OP上時，最小值24=20-40=2—8.

當正方形ABCD繞中心0旋轉時，點P到正方形的距離d的取值范圍是2-夜<d<\-

故答案為：2-&WdWl

【點睛】本題考查了新定義、正方形的性質、勾股定理等知識點，準確理解新定義的含義和熟知正方形的

性質是解題的關鍵.

三、解答題

19.計算：9；+|1-逝|-2八戊

【答案】2

【解析】

【分析】根據(jù)分指數(shù)運算法則，絕對值化簡，負整指數(shù)運算法則，化最簡二次根式，合并同類二次根式以

及同類項即可.

1

【詳解】解：921-⑸-2Tx指，

=.\/9——V2j——x2.\f2,

=3+72-1-72-

=2.

【點睛】本題考查實數(shù)混合運算，分指數(shù)運算法則，絕對值符號化簡，負整指數(shù)運算法則，化最簡二次根

式，合并同類二次根式與同類項，掌握實數(shù)混合運算法則與運算順序，分指數(shù)運算法則，絕對值符號化簡,

負整指數(shù)運算法則，化最簡二次根式，合并同類二次根式與同類項是解題關鍵.

x+y=3

20.解方程組：，

x2-4y2=0

x=2x-6

【答案】和＜

y=iy=-3

【解析】

【分析】由第一個方程得到x=3-y,再代入第二個方程中，解一元二次方程方程即可求出再回代第

一個方程中即可求出x.

x+y=3…⑴

【詳解】解：由題意:

x2-4y2=0---(2)

由方程(1)得到：x=3-y,再代入方程(2)中:

得至U：(3-y)2-4y2=0,

進一步整理為：3-y=2y或3-y=-2y,

解得凹=1,y2=-3,

再回代方程(1)中，解得對應的'=2,々=6,

x=2[x=6

故方程組的解為：\|和《「

[y=i[y=-3

【點睛】本題考查了代入消元法解方程及一元二次方程的解法，熟練掌握代入消元法，運算過程中細心即

可.

4

21.已知在△ABO中，AC±BD,BC=8,CD=4,cosZABC=-,BF為AO邊上的中線.

(1)求AC的長;

(2)求tanNEBO的值.

3

【答案】(1)AC=6；(2)—

【解析】

【分析】(1)在放ZVIBC中，利用三角函數(shù)即可求出A8,故可得到AC的長;

(2)過點尸作FG，8。，利用中位線的性質得到尸G,CG,再根據(jù)正切的定義即可求解.

4

【詳解】(I)：AC_LBD,cosZABC=-

BC4

/.cosZABC=—=-

AB5

.*.A8=10

AC=dAB'z_BC'Z=6；

(2)過點尸作尸G,80,

???Bb為AO邊上的中線.

二廠是AO中點

,JFGVBD,AC±BD

：.FG//AC

；.FG是△ACO的中位線

：.FG=-AC=3

2

CG=-CD=2

2

FG33

在RtABFG中，tanNFBD...------——

BG8+210

【點睛】此題主要考查解直角三角形，解題的關鍵是熟知三角函數(shù)的定義.

22.現(xiàn)在5G手機非常流行，某公司第一季度總共生產(chǎn)80萬部5G手機，三個月生產(chǎn)情況如下圖.

(1)求三月份共生產(chǎn)了多少部手機?

(2)5G手機速度很快，比4G下載速度每秒多95MB,下載一部1()(X)MB的電影，5G比4G要快190秒,

求5G手機的下載速度.

【答案】(1)36萬部；(2)100MB/秒

【解析】

【分析】(1)根據(jù)扇形統(tǒng)計圖求出3月份的百分比，再利用80萬X3月份的百分比求出三月份共生產(chǎn)的手

機數(shù)；

(2)設5G手機的下載速度為xMB/秒，貝14G下載速度為(X-95)MB/秒，根據(jù)下載一部1000MB的電

影，5G比4G要快190秒列方程求解.

【詳解】(1)3月份的百分比=1一30%—25%=45%

三月份共生產(chǎn)的手機數(shù)=80x45%=36(萬部)

答：三月份共生產(chǎn)了36萬部手機.

(2)設5G手機的下載速度為xMB/秒，貝U4G下載速度為(％-95)MB/秒,

」—10001000…

由題意可知：-------------=190

x-95x

解得：x=100

檢驗：當x=100時，x-(x-95)^0

；.x=10()是原分式方程的解.

答：5G手機的下載速度為100MB/秒.

【點睛】本題考查實際問題與分式方程.求解分式方程時，需要檢驗最簡公分母是否為0.

23.已知：在圓。內(nèi)，弦AO與弦8c交于點6,4。=。8,加,乂分別是。3和4。的中點，聯(lián)結MN,OG.

(1)求證：OG上MN；

(2)聯(lián)結AC,AM,CN,當CN//OG時，求證：四邊形ACNM為矩形.

【答案】(1)見解析；(2)見解析

【解析】

【分析】（1）連結O"，ON,由仞、N分別是CB和的中點，可得OMLBC,ONLAD,由AB=CD,

可得OM=0N,可證RtAEOWRfMVP(HL),MG=NG,ZMGO=ZNGO,根據(jù)等腰三角形三

線合一性質OGLMN;

(2)設0G交MN于E,由RtAEOP^RtAFOP,可得MG=NG,可得ZCMN=ZANM,

CM=、CB=LAD=AN,可證ACMN也A/VW可得AM=CN,由CN〃OG,可得

22

ZAMN=NCNM=90°,由NAMN+/aVM=180°可得AM/CN,可證ACM0是平行四邊形，再由

ZAMN=90°可證四邊形ACNM是矩形.

【詳解】證明：(1)連結OM,ON,

?；例、N分別是CB和AO的中點，

OM,ON為弦心距，

：.OM1BC,ON1AD,

4GMO=4GNO=90°,

在OO中，AB=CD,

;.OM=ON,

在Rt&JMG和RtxONG中，

OM=ON

OG=OG'

Rt\GOM^Rt^GON(HL),

：.MG=NG,ZMGO=ZNGO,

：.OG±MN;

(2)設OG交MN于E,

Rt\GOM^Rt\GON(HL),

MG=NG,

：.4GMN=NGNM,即NCMN=N/VW,

-：CM=-CB=-AD=AN,

22

在△CMN和△AMW中

CM=AN

<NCMN=ZANM,

MN=NM

:.ACMN”AANM，

AM=CN,AAMN=4CNM,

,:CN〃OG,

Z.CNM=4GEM=90°,

ZAMN=NCNM=90°,

ZAMN+ZCNM=900+90°=180°,

:.AM〃CN,

：.ACNM是平行四邊形，

■.■ZAMN=90°,

四邊形ACNM是矩形.

【點睛】本題考查垂徑定理，三角形全等判定與性質，等腰三角形判定與性質，平行線判定與性質，矩形

的判定，掌握垂徑定理，三角形全等判定與性質，等腰三角形判定與性質，平行線判定與性質，矩形的判

定是解題關鍵.

24.已知拋物線y=ax2+c(a^0)過點P(3,0),2(1,4).

(1)求拋物線的解析式;

(2)點A在直線PQ上且在第一象限內(nèi)，過A作軸于B,以A3斜邊在其左側作等腰直角ABC.

①若A與。重合，求C到拋物線對稱軸的距離；

②若C落在拋物線上，求C的坐標.

【答案】(1)y———X2+—；(2)①1；②點C的坐標是(一2,；］

22<2J

【解析】

9a+c=0

【分析】⑴將P(3,0)、Q(l,4)兩點分別代入)，=公2+',得二’，解方程組即可；

(2)①根據(jù)A8=4,斜邊上的高為2,。的橫坐標為1,計算點C的橫坐標為-1,即到y(tǒng)軸的距離為1；②根據(jù)直

線P。的解析式，設點A-2機+6),三角形ABC是等腰直角三角形，用含有機的代數(shù)式表示點C的坐標,

代入拋物線解析式求解即可.

、\9a+c-0,

【詳解】(1)將打3,0)、。(1,4)兩點分別代入〉=改2+。，得《

。+c=4,

19

解得a=—,c=-.

22

所以拋物線的解析式是y=-1?+耳9.

(2)①如圖2,拋物線的對稱軸是)，軸，當點A與點Q(l,4)重合時，4?=4,

作SLAB于H.

???AABC等腰直角三角形，

:.①BH和AC4H也是等腰直角三角形,

CH=AH=BH=2,

.?.點C到拋物線的對稱軸的距離等于1.

3k+b=Q.

②如圖3,設直線尸°的解析式為—‘由P(3,。)、Q(L4),得力…

[b=6,

?,?直線PQ的解析式為y=-2x+6,

設A(m,-2m+6),

AJB——2/72+6，

所以CH=BH=AH=—m+3.

所以先=+3,xc=-(-m+3-m)=2m-3.

19

將點CQm-3,-m+3)代入y=--x0+-,

19

得一機+3=——(2m-3)92+-.

22

整理，得2加2-7)2+3=0.

因式分解，得(2加一1)(〃2—3)=0.

解得根=’,或m=3(與點B重合，舍去).

2

當:篦二」時，2〃z-3=l—3=—2,—加+3=-』+3=9.

222

所以點C的坐標是

【點評】本題考查了拋物線解析式的確定，一次函數(shù)解析式的確定，等腰直角三角形的性質，一元二次方

程的解法，熟練掌握待定系數(shù)法，靈活用解析式表示點的坐標，熟練解一元二次方程是解題的關鍵.

25.如圖，在梯形A8CO中，AO//BC,NABC=90°,AZ)=C。,。是對角線AC的中點，聯(lián)結3。并延

長交邊8或邊AO于￡.

(1)當點E在邊CD上時,

①求證：ADACSAOBC；

②若BELCD,求一的值；

BC

(2)若DE=2,OE=3,求CO的長.

2

【答案】(1)①見解析；②1；(2)i+JW或3+M

【解析】

【分析】(1)①根據(jù)已知條件、平行線性質以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可推導，

ZDAC=ZDCA=NOBC=NOCB，由此可得ADACSAOBC；

②若3E，C￡>,那么在Rt△3C￡中，由N2=N3=N4.可得N2=N3=N4=3()°,作?！盻LBC于H.設