2024屆浙江省稽陽聯(lián)誼學(xué)校數(shù)學(xué)高二下期末考試試題含解析

2024屆浙江省稽陽聯(lián)誼學(xué)校數(shù)學(xué)高二下期末考試試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)恰有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．2．已知，，，則它們的大小關(guān)系是A． B． C． D．3．下列函數(shù)既是奇函數(shù)又在（﹣1，1）上是減函數(shù)的是（）A． B．C．y＝x﹣1 D．y＝tanx4．設(shè)隨機變量，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，那么向正方形中隨機投擲10000個點，則落入陰影部分的點的個數(shù)的估計值是（）（注：若，則，）A．7539 B．7028 C．6587 D．60385．如圖，在正方體中，分別是,的中點，則四面體在平面上的正投影是A． B． C． D．6．已知，，，若>恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是A．或 B．或C． D．7．某技術(shù)學(xué)院安排5個班到3個工廠實習(xí)，每個班去一個工廠，每個工廠至少安排一個班，則不同的安排方法共有（）A．60種 B．90種 C．150種 D．240種8．已知點滿足，則到坐標(biāo)原點的距離的點的概率為（）A． B． C． D．9．設(shè)集合A＝{1，2，3，4}，B＝{﹣4，﹣3，1}，則A∩B＝（）A．{1，﹣3} B．{1，﹣4} C．{3} D．{1}10．在黃陵中學(xué)舉行的數(shù)學(xué)知識競賽中，將高二兩個班參賽的學(xué)生成績(得分均為整數(shù))進行整理后分成五組，繪制如圖所示的頻率分布直方圖．已知圖中從左到右的第一、第三、第四、第五小組的頻率分別是0.30,0.15,0.10,0.05，第二小組的頻數(shù)是1．這兩個班參賽的學(xué)生人數(shù)是（）A．80 B．90C．100 D．12011．雙曲線的離心率為，拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線的漸近線交于點，（為坐標(biāo)原點）的面積為4，則拋物線的方程為（）A． B． C． D．12．如圖，在平行四邊形ABCD中，E為DC邊的中點，且，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若某學(xué)校要從5名男同學(xué)和2名女同學(xué)中選出3人參加社會考察活動，則選出的同學(xué)中男女生均不少于1名的概率是_____.14．等差數(shù)列中，若，則___________.15．某等腰直角三角形的一條直角邊長為4，若將該三角形繞著直角邊旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積是，則_____．16．由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中偶數(shù)共有__________個．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的左右焦點分別為，直線經(jīng)過橢圓的右焦點與橢圓交于兩點，且.（I）求直線的方程；（II）已知過右焦點的動直線與橢圓交于不同兩點，是否存在軸上一定點，使？（為坐標(biāo)原點）若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在說明理由.18．（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)與相切于點，求的值；（2）若是函數(shù)圖象的切線，求的最小值.19．（12分）已知sinα=-817且π<α<3π2，求sin20．（12分）已知在△ABC中，|AB|＝1，|AC|＝1．（Ⅰ）若∠BAC的平分線與邊BC交于點D，求；（Ⅱ）若點E為BC的中點，當(dāng)取最小值時，求△ABC的面積．21．（12分）已知矩陣對應(yīng)的變換將點變換成．（1）求矩陣的逆矩陣；（2）求矩陣的特征向量．22．（10分）已知函數(shù)，.（1）求的值；（2）求的最小正周期；（3）求的最大值及取得最大值的x的集合.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

先將函數(shù)有零點，轉(zhuǎn)化為對應(yīng)方程有實根，構(gòu)造函數(shù)，對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)方法判斷函數(shù)單調(diào)性，再結(jié)合圖像，即可求出結(jié)果.【題目詳解】由得，令，則，設(shè)，則，由得；由得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；因此，所以在上恒成立；所以，由得；由得；因此，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以；又當(dāng)時，，，作出函數(shù)圖像如下：因為函數(shù)恰有兩個零點，所以與有兩不同交點，由圖像可得：實數(shù)的取值范圍是.故選A【題目點撥】本題主要考查函數(shù)零點以及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，通常需要將函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)交點來處理，通過對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)單調(diào)性、最值等，根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想求解，屬于?？碱}型.2、A【解題分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，而，因此，即。選A。3、B【解題分析】

對各選項逐一判斷即可，利用在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù),即可判斷A選項不滿足題意，令，即可判斷其在遞增，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷法則即可判斷B選項滿足題意對于C,D，由初等函數(shù)性質(zhì)，直接判斷其不滿足題意.【題目詳解】解：根據(jù)題意，依次分析選項：對于A，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù),所以y（3x﹣3﹣x）在R上為增函數(shù)，不符合題意；對于B，，所以是奇函數(shù)，令，則由，兩個函數(shù)復(fù)合而成又，它在上單調(diào)遞增所以既是奇函數(shù)又在（﹣1，1）上是減函數(shù)，符合題意，對于C，y＝x﹣1是反比例函數(shù)，是奇函數(shù)，但它在（﹣1，1）上不是減函數(shù)，不符合題意；對于D，y＝tanx為正切函數(shù)，是奇函數(shù)，但在（﹣1，1）上是增函數(shù)，不符合題意；故選：B．【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)奇偶性的判斷，還考查了復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷法則及初等函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題。4、C【解題分析】

由題意正方形的面積為，再根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，求得陰影部分的面積，利用面積比的幾何概型求得落在陰影部分的概率，即可求解，得到答案．【題目詳解】由題意知，正方形的邊長為1，所以正方形的面積為又由隨機變量服從正態(tài)分布，所以正態(tài)分布密度曲線關(guān)于對稱，且，又由，即，所以陰影部分的面積為，由面積比的幾何概型可得概率為，所以落入陰影部分的點的個數(shù)的估計值是，故選C．【題目點撥】本題主要考查了正態(tài)分布密度曲線的性質(zhì)，以及面積比的幾何概型的應(yīng)用，其中解答中熟記正態(tài)分布密度曲線的性質(zhì)，準(zhǔn)確求得落在陰影部分的概率是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．5、C【解題分析】分析：根據(jù)正投影的概念判斷即可.詳解：根據(jù)正投影的概念判斷選C.選C.點睛：本題考查正投影的概念，需基礎(chǔ)題.6、C【解題分析】分析：用“1”的替換先解的最小值，再解的取值范圍。詳解：，所以的解集為，故選C點睛：已知二元一次方程，求二元一次分式結(jié)構(gòu)的最值，用“1”的替換是均值不等式的應(yīng)用，構(gòu)造出的模型，再驗證條件。7、C【解題分析】

先將5人分成3組，3，1，1和2，2，1兩種分法，再分配，應(yīng)用排列組合公式列式求解即可.【題目詳解】將5個班分成3組，有兩類方法：（1）3，1，1，有種；（2）2，2，1，有種.所以不同的安排方法共有種.故選C.【題目點撥】本題主要考查了排列組合的實際應(yīng)用問題：分組分配，注意此類問題一般要先分組再分配（即為排列），屬于基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】

作出圖象，得到點P的坐標(biāo)圍成的圖形是以原點為中心的邊長為正方形，到坐標(biāo)原點O的距離的點P圍成的圖形是以原點為圓心，半徑為1的圓，由此利用幾何概型能求出到坐標(biāo)原點O的距離的點P的概率．【題目詳解】點滿足，

當(dāng)，時，；

當(dāng)，時，；

當(dāng)，時，；

當(dāng)，時，．

作出圖象，得到點P的坐標(biāo)圍成的圖形是以原點為中心的邊長為正方形，

到坐標(biāo)原點O的距離的點P圍成的圖形是以原點為圓心，半徑為1的圓，

到坐標(biāo)原點O的距離的點P的概率為：

．

故選：B.【題目點撥】本題考查概率的求法，幾何概型等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．9、D【解題分析】

利用集合的交集的運算，即可求解．【題目詳解】由題意，集合，所以，故選D．【題目點撥】本題主要考查了集合交集的運算，其中解答中熟記集合的交集運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．10、C【解題分析】

根據(jù)條件可求第二組的頻率，根據(jù)第二組的頻數(shù)即可計算兩個班的學(xué)生人數(shù).【題目詳解】第二小組的頻率是：，則兩個班人數(shù)為：人.【題目點撥】本題考查頻率分布直方圖中，頻率、頻數(shù)與總數(shù)的關(guān)系，難度較易.11、C【解題分析】由題意可知該雙曲線是等軸雙曲線，故漸近線方程是，而拋物線的準(zhǔn)線方程為，由題設(shè)可得，則，所以（為坐標(biāo)原點）的面積為，應(yīng)選答案C。12、A【解題分析】

利用向量的線性運算可得的表示形式.【題目詳解】，故選：A．【題目點撥】本題考查向量的線性運算，用基底向量表示其余向量時，要注意圍繞基底向量來實現(xiàn)向量的轉(zhuǎn)化，本題屬于容易題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

選出的男女同學(xué)均不少于1名有兩種情況：1名男生2名女生和2名男生1名女生，根據(jù)組合數(shù)公式求出數(shù)量，再用古典概型計算公式求解.【題目詳解】從5名男同學(xué)和2名女同學(xué)中選出3人，有種選法；選出的男女同學(xué)均不少于1名，有種選法；故選出的同學(xué)中男女生均不少于1名的概率：.【題目點撥】本題考查排列組合和古典概型.排列組合方法：1、直接考慮，適用包含情況較少時；2、間接考慮，當(dāng)直接考慮情況較多時，可以用此法.14、10.【解題分析】

直接由等差數(shù)列的通項公式結(jié)合已知條件列式求解的值．【題目詳解】在等差數(shù)列中，由，，，且，所以，所以．故答案為：10.【題目點撥】本題考查等差數(shù)列的通項公式，考查用基本量法求．15、【解題分析】分析：幾何體為圓錐，根據(jù)圓錐的體積公式求解詳解：由題意可知三角形繞著直角邊旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體為圓錐，體積是點睛：三角形旋轉(zhuǎn)為圓錐，體積公式為。16、312【解題分析】

考慮個位是0和個位不是0兩種情況，分別計算相加得到答案.【題目詳解】當(dāng)個位是0時，共有種情況；當(dāng)個位不是時，共有種情況.綜上所述：共有個偶數(shù).故答案為：.【題目點撥】本題考查了排列的應(yīng)用，將情況分為個位是0和個位不是0兩種類別是解題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或；（2）【解題分析】

（I）解法一：直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為一元二次方程，利用弦長公式即可得出．解法二：利用焦半徑公式可得．（II）II）設(shè)l2的方程為與橢圓聯(lián)立：．假設(shè)存在點T（t，0）符合要求，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）．∠OTP=∠OTQ，再利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．【題目詳解】解：（I）設(shè)的方程為與橢圓聯(lián)立得直線經(jīng)過橢圓內(nèi)一點，故恒成立，設(shè)，則，，解得，的方程為或；解2：由焦半徑公式有，解得.（II）設(shè)的方程為與橢圓聯(lián)立：，由于過橢圓內(nèi)一點，假設(shè)存在點符合要求，設(shè)，韋達定理：，點在直線上有，即，，解得.【題目點撥】解決解析幾何中探索性問題的方法存在性問題通常采用“肯定順推法”．其步驟為：假設(shè)滿足條件的元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實數(shù)解，則元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點、直線、曲線或參數(shù))不存在．18、（1）；（2）【解題分析】

（1）利用函數(shù)與相切于點，切線即可求的值.（2）若是函數(shù)圖象的切線，設(shè)切點，表達函數(shù)的切線方程，表達，構(gòu)造新函數(shù)，求其最小值即可.【題目詳解】（1）由函數(shù)，則，，.所以，.（2）設(shè)切點，則切線方程為，即，亦即，由題意得.∴令.當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；∴∴的最小值為.【題目點撥】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，屬于中檔題.19、sinα2=417【解題分析】

先利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計算出cosα的值，并計算出α2的取值范圍，然后利用半角公式計算出sinα2和cos【題目詳解】∵sinα=-817，又π2<αcosα2=-【題目點撥】本題考查利用半角公式求值，同時也考查了利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，在利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系時，要考查角的范圍，確定所求三角函數(shù)值的符號，再結(jié)合相關(guān)公式進行計算，考查運算求解能力，屬于中等題.20、（Ⅰ）0（Ⅱ）．【解題分析】

（Ⅰ）先利用基向量表示出，然后利用數(shù)量積進行運算；（Ⅱ）先利用基向量表示出，求出取最小值時，角的正弦值，然后可得面積.【題目詳解】（Ⅰ）∵AD是∠BAD的角平分線，∴，即∴．∴0.（Ⅱ）∵點E為BC的中點，∴．（5）．當(dāng)且僅當(dāng)5+4cosA＝1（5﹣4cosA），即cosA時取等號．此時△ABC的面積S．【題目點撥】本題主要考查平面向量的運算，選擇合適的基底是求解的關(guān)鍵，基底選擇時一般是利用已知信息較多的向量，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).21、（1）；（2）和.【解題分析】

（1）由題中點的變換得到，列方程組解出、的值，再利用逆矩陣變換求出；（2）求出矩陣的特征多項式，解出特征根，即可得出特征值和相應(yīng)的特征向量.【題目詳解】（1）由題意得，即，解得，，由于矩陣的逆矩陣為，因此，矩陣的逆矩陣為；（2）矩陣的特征多項式為，解特征方程，得或.①當(dāng)時，由，得，即，可取，則，即屬于的一個特征向量為；②當(dāng)時，由，得，即，可取，則，即屬于的一個特征向量為.綜上，矩陣的特征向量為和.【