2024屆湖北省鋼城第四中學數學高二第二學期期末經典模擬試題含解析

2024屆湖北省鋼城第四中學數學高二第二學期期末經典模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．為了解高中生作文成績與課外閱讀量之間的關系，某研究機構隨機抽取60名高中生做問卷調查，得到以下數據：作文成績優(yōu)秀作文成績一般總計課外閱讀量較大221032課外閱讀量一般82028總計303060由以上數據，計算得到的觀測值，根據臨界值表，以下說法正確的是()P(K2≥k0)0.500.400.250.150.100.050.050.0100.005k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.879A．在樣本數據中沒有發(fā)現足夠證據支持結論“作文成績優(yōu)秀與課外閱讀量大有關”B．在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認為作文成績優(yōu)秀與課外閱讀量大有關C．在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，認為作文成績優(yōu)秀與課外閱讀量大有關D．在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下，認為作文成績優(yōu)秀與課外閱讀量大有關2．在等差數列中，，，則公差（）A．-1 B．0 C．1 D．23．設函數，若實數分別是的零點，則（）A． B． C． D．4．有不同的語文書9本，不同的數學書7本，不同的英語書5本，從中選出不屬于同一學科的書2本，則不同的選法有A．21種B．315種C．153種D．143種5．甲組有5名男同學，3名女同學；乙組有6名男同學、2名女同學．若從甲、乙兩組中各選出2名同學，則選出的4人中恰有1名女同學的不同選法共有()A．150種 B．180種 C．300種 D．345種6．若函數fx=3sinπ-ωx+sin5π2+ωx，且fA．2kπ-2π3C．kπ-5π127．,若,則的值等于（）A．B．C．D．8．若是虛數單位，，則實數（）A． B． C．2 D．39．已知函數的定義域為，若對于，分別為某三角形的三邊長，則稱為“三角形函數”.給出下列四個函數：①②③④.其中為“三角形函數”的個數是（）A． B． C． D．10．已知函數對于任意的滿足（其中是函數的導函數），則下列不等式成立的是A． B．C． D．11．已知O為坐標原點,拋物線y2=2x與過焦點的直線交于A,B兩點,則的值是A． B． C．3 D．312．拋物線y2=4x的焦點為F，點A（3，2），P為拋物線上一點，且P不在直線AF上，則△PAF周長的最小值為（）A．4 B．5 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．五名旅客在三家旅店投宿的不同方法有______種．14．某校高二學生一次數學診斷考試成績（單位：分）服從正態(tài)分布，從中抽取一個同學的數學成績，記該同學的成績?yōu)槭录?，記該同學的成績?yōu)槭录瑒t在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的概率______．（結果用分數表示）附參考數據：；；．15．我國古代數學名著《九章算術》的論割圓術中有：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周盒體而無所失矣.”它體現了一種無限與有限的轉化過程.比如在表達式中“…”既代表無限次重復，但原式卻是個定值，它可以通過方程求得，類似上述過程，則__________．16．已知地球半徑為，地球上兩個城市、，城市位于東經30°北緯45°，城市位于西經60°北緯45°，則城市、之間的球面距離為________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某生產企業(yè)研發(fā)了一種新產品，該新產品在某網店試銷一個階段后得到銷售單價和月銷售量之間的一組數據，如下表所示：銷售單價（元）99.51010.511月銷售量（萬件）1110865（1）根據統(tǒng)計數據，求出關于的回歸直線方程，并預測月銷售量不低于12萬件時銷售單價的最大值；（2）生產企業(yè)與網店約定：若該新產品的月銷售量不低于10萬件，則生產企業(yè)獎勵網店1萬元；若月銷售量不低于8萬件且不足10萬件，則生產企業(yè)獎勵網店5000元；若月銷售量低于8萬件，則沒有獎勵.現用樣本估計總體，從上述5個銷售單價中任選2個銷售單價，下個月分別在兩個不同的網店進行銷售，求這兩個網店下個月獲得獎勵的總額的分布列及其數學期望.參考公式：對于一組數據，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.參考數據：，.18．（12分）如圖，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝t，建立如圖所示的空間直角坐標系O—xyz．（1）若t＝1，求異面直線AC1與A1B所成角的大?。唬?）若t＝5，求直線AC1與平面A1BD所成角的正弦值；（3）若二面角A1—BD—C的大小為120°，求實數t的值.19．（12分）如圖，矩形和等邊三角形中，，平面平面．（1）在上找一點，使，并說明理由；（2）在（1）的條件下，求平面與平面所成銳二面角余弦值．20．（12分）某公司新上一條生產線，為保證新的生產線正常工作，需對該生產線進行檢測，現從該生產線上隨機抽取100件產品，測量產品數據，用統(tǒng)計方法得到樣本的平均數，標準差，繪制如圖所示的頻率分布直方圖，以頻率值作為概率估值．（1）從該生產線加工的產品中任意抽取一件，記其數據為，依據以下不等式評判（表示對應事件的概率）①②③評判規(guī)則為：若至少滿足以上兩個不等式，則生產狀況為優(yōu)，無需檢修；否則需檢修生產線，試判斷該生產線是否需要檢修；（2）將數據不在內的產品視為次品，從該生產線加工的產品中任意抽取2件，次品數記為，求的分布列與數學期望．21．（12分）已知函數.（1）求曲線在原點處的切線方程.（2）當時，求函數的零點個數;22．（10分）在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），以原點為極點，軸的非負半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求直線的普通方程及曲線的直角坐標方程；（2）若直線與曲線交于，兩點，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】分析：根據臨界值表，確定犯錯誤的概率詳解：因為根據臨界值表，9.643>7.879，在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下，認為作文成績優(yōu)秀與課外閱讀量大有關．選D.點睛：本題考查卡方含義，考查基本求解能力.2、C【解題分析】

全部用表示，聯立方程組，解出【題目詳解】【題目點撥】本題考查等差數列的基本量計算，屬于基礎題。3、A【解題分析】由題意得，函數在各自的定義域上分別為增函數，∵，又實數分別是的零點∴，∴，故．選A．點睛：解答本題時，先根據所給的函數的解析式判斷單調性，然后利用判斷零點所在的范圍，然后根據函數的單調性求得的取值范圍，其中借助0將與聯系在一起是關鍵．4、D【解題分析】由題意，選一本語文書一本數學書有9×7=63種，選一本數學書一本英語書有5×7=35種，選一本語文書一本英語書有9×5=45種，∴共有63+45+35=143種選法.故選D.5、D【解題分析】試題分析：分兩類（1）甲組中選出一名女生有種選法；（2）乙組中選出一名女生有種選法．故共有345種選法考點：排列組合6、A【解題分析】

本題首先要對三角函數進行化簡，再通過α-β的最小值是π2推出函數的最小正周期，然后得出ω【題目詳解】fx==3sin=2sin再由fα=2，fβ=0，α-β的最小值是fx=2sinx+x∈2kπ-2π3【題目點撥】本題需要對三角函數公式的運用十分熟練并且能夠通過函數圖像的特征來求出周期以及增區(qū)間．7、D【解題分析】試題分析：考點：函數求導數8、B【解題分析】

先利用復數的模長公式得到，再根據復數相等的定義，即得解.【題目詳解】由于由復數相等的定義，故選：B【題目點撥】本題考查了復數的模長和復數相等的概念，考查了學生概念理解，數學運算的能力，屬于基礎題.9、B【解題分析】

根據構成三角形條件，可知函數需滿足，由四個函數解析式，分別求得其值域，即可判斷是否滿足不等式成立.【題目詳解】根據題意，對于，分別為某三角形的三邊長，由三角形性質可知需滿足：對于①，，如當時不能構成三角形，所以①不是“三角形函數”；對于②，，則，滿足，所以②是“三角形函數”；對于③，，則，當時不能構成三角形，所以③不是“三角形函數”；對于④，，由指數函數性質可得，滿足，所以④是“三角形函數”；綜上可知，為“三角形函數”的有②④，故選：B.【題目點撥】本題考查了函數新定義的綜合應用，函數值域的求法，三角形構成的條件應用，屬于中檔題.10、D【解題分析】

根據題目條件，構造函數，求出的導數，利用“任意的滿足”得出的單調性，即可得出答案?！绢}目詳解】由題意知，構造函數，則。當時，當時，恒成立在單調遞增，則，化簡得，無法判斷A選項是否成立；，化簡得，故B選項不成立；，化簡得，故C選項不成立；，化簡得，故D選項成立；綜上所述，故選D?！绢}目點撥】本題主要考查了構造函數法證明不等式，常利用導數研究函數的單調性，再由單調性證明不等式，是函數、導數、不等式綜合中的一個難點。11、B【解題分析】拋物線的焦點為,當直線l與x軸垂直時，,所以12、C【解題分析】

求周長的最小值，即求的最小值，設點在準線上的射影為點，則根據拋物線的定義，可知，因此問題轉化為求的最小值，根據平面幾何知識，當、、三點共線時，最小，即可求出的最小值，得到答案?！绢}目詳解】由拋物線為可得焦點坐標，準線方程為：，由題可知求周長的最小值，即求的最小值，設點在準線上的射影為點，則根據拋物線的定義，可知，因此求的最小值即求的最小值，根據平面幾何知識，當、、三點共線時，最小，所以又因為，所以周長的最小值為，故答案選C【題目點撥】本題考查拋物線的定義，簡單性質的應用，判斷出、、三點共線時最小，是解題的關鍵，屬于中檔題。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

每名旅客都有種選擇，根據分步乘法計數原理可得出五名旅客投宿的方法種數.【題目詳解】由于每名旅客都有種選擇，因此，五名旅客在三家旅店投宿的不同方法有種.故答案為：.【題目點撥】本題考查分步乘法計數原理的應用，考查計算能力，屬于基礎題.14、【解題分析】

計算出和，然后利用條件概率公式可得出的值.【題目詳解】由題意可知，，事件為，，，所以，，，由條件概率公式得，故答案為：.【題目點撥】本題考查條件概率的計算，同時也考查了正態(tài)分布原則計算概率，解題時要將相應的事件轉化為正態(tài)分布事件，充分利用正態(tài)密度曲線的對稱性計算，考查計算能力，屬于中等題.15、【解題分析】

先換元令，平方可得方程，解方程即可得到結果.【題目詳解】令，則兩邊平方得，得即，解得：或（舍去）本題正確結果：【題目點撥】本題考查新定義運算的問題，關鍵是讀懂已知條件所給的方程的形式，從而可利用換元法來進行求解.16、【解題分析】

欲求坐飛機從A城市飛到B城市的最短距離，即求出地球上這兩點間的球面距離即可.A、B兩地在同一緯度圈上，計算經度差，求出AB弦長，以及球心角，然后求出球面距離.即可得到答案.【題目詳解】由已知地球半徑為R，則北緯45°的緯線圈半徑為，

又∵兩座城市的經度分別為東經30°和西經60°，

故連接兩座城市的弦長，

則A，B兩地與地球球心O連線的夾角，

則A、B兩地之間的距離是.

故答案為：.【題目點撥】本題考查球面距離及其他計算，考查空間想象能力，是基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；月銷售量不低于12萬件時銷售單價的最大值為；(2)分布列見詳解，數學期望為.1（萬元）.【解題分析】

（1）先計算的平均數，根據已知公式，代值計算即可；再根據所求方程，解不等式即可；（2）根據題意，求得的可取值，結合題意求得分布列，再根據分布列求數學期望即可.【題目詳解】（1）容易知；；又因為，，故可得，，故所求回歸直線方程為：.令，故可得.故月銷售量不低于12萬件時銷售單價的最大值為.（2）容易知可取值為：，（單位為：萬元）故，，，..故其分布列如下所示：則（萬元）.【題目點撥】本題考查線性回歸直線方程的求解，以及離散型隨機變量的分布列和數學期望的求解，屬綜合中檔題.18、(1).(2).(3).【解題分析】分析：（1）先根據坐標表示向量，，再利用向量數量積求向量夾角，即得異面直線與所成角，（2）先利用方程組解得平面的一個法向量，利用向量數量積得向量夾角余弦值，再根據線面角與向量夾角互余關系得結果，（3）先利用方程組解得平面以及平面的一個法向量，利用向量數量積得法向量夾角余弦值，再根據二面角與向量夾角相等或互補關系得結果.詳解：（1）當時，，，，，，則，，故，所以異面直線與所成角為．（2）當時，，，，，，則，，設平面的法向量，則由得，不妨取，則，此時，設與平面所成角為，因為，則，所以與平面所成角的正弦值為．（3）由得，，，設平面的法向量，則由得，不妨取，則，此時，又平面的法向量，故，解得，由圖形得二面角大于，所以符合題意．所以二面角的大小為，的值為．點睛：利用法向量求解空間線面角的關鍵在于“四破”：第一，破“建系關”，構建恰當的空間直角坐標系；第二，破“求坐標關”，準確求解相關點的坐標；第三，破“求法向量關”，求出平面的法向量；第四，破“應用公式關”.19、（1）證明過程見解析；（2）平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【解題分析】試題分析：(1)分別取的中點，利用三角形的中位線的性質，即可證明面，進而得到；（2）建立空間直角坐標系，利用平面與平面法向量成的角去求解.試題解析：（1）為線段的中點，理由如下：分別取的中點，連接，在等邊三角形中，，又為矩形的中位線，，而，所以面，所以；（2）由（1）知兩兩互相垂直，建立空間直角坐標系如圖所示，，三角形為等邊三角形，．于是，設面的法向量，所以，得，則面的一個法向量，又是線段的中點，則的坐標為，于是，且，又設面的法向量，由，得，取，則，平面的一個法向量，所以，平面與平面所成銳二面角的余弦值為．20、(1)不滿足至少兩個不等式，該生產線需檢修;(2)見解析.【解題分析】分析：（1）根據頻率分布直方圖得出X落在上的概率，從而得出結論；（2）根據題意，的可能值為：0,1,2，分別求出對應的概率即可.詳解：（1）由題意知，由頻率分布直方圖得：不滿足至少兩個不等式，該生產線需檢修．（2）由（1）知：任取一件是次品的概率為：任取兩件產品得到次品數的可能值為：0,1,2則的分布列為：012（或）點睛：本題考查了頻率分布直方圖，離散型隨機變量的分布列，屬于中檔題.21、（