北京工大附中2024屆數(shù)學高二下期末檢測試題含解析

北京工大附中2024屆數(shù)學高二下期末檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，且，則a=（）A．﹣1 B．2或﹣1 C．2 D．﹣22．我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈A．1盞 B．3盞C．5盞 D．9盞3．已知函數(shù)，當時，取得最小值，則等于（）A．-3 B．2 C．3 D．84．已知數(shù)列是等比數(shù)列，若則的值為（）A．4 B．4或-4 C．2 D．2或-25．方程的實根所在的區(qū)間為（）A． B． C． D．6．下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在單調(diào)遞增的是（）A． B． C． D．7．根據(jù)黨中央關于“精準”脫貧的要求，我市某農(nóng)業(yè)經(jīng)濟部門決定派出五位相關專家對三個貧困地區(qū)進行調(diào)研，每個地區(qū)至少派遣一位專家，其中甲、乙兩位專家需要派遣至同一地區(qū)，則不同的派遣方案種數(shù)為A．18 B．24 C．28 D．368．已知定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，滿足，且，則不等式的解集為（）A． B． C． D．9．已知，則的展開式中，項的系數(shù)等于（）A．180 B．-180 C．-90 D．1510．已知命題：若，則；：“”是“”的必要不充分條件，則下列命題是真命題的是（）A． B．C． D．11．正項等比數(shù)列中，，若，則的最小值等于（）A．1 B． C． D．12．如圖是一個算法的程序框圖，當輸入的x的值為7時，輸出的y值恰好是，則“？”處應填的關系式可能是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)，函數(shù)，若對所有的總存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是__________．14．定積分的值為__________.15．根據(jù)如圖所示的偽代碼，可知輸出的結(jié)果S為________.16．用數(shù)學歸納法證明，則當時左端應在的基礎上加上的項為_______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的離心率為,過右焦點作垂直于橢圓長軸的直線交橢圓于兩點，且為坐標原點.(1)求橢圓的方程；(2)設直線與橢圓相交于兩點,若.①求的值；②求的面積的最小值.18．（12分）己知拋物線：過點（1）求拋物線的方程：（2）設為拋物線的焦點，直線：與拋物線交于，兩點，求的面積.19．（12分）已知函數(shù)，若定義域內(nèi)存在實數(shù)x，滿足，則稱為“局部奇函數(shù)．（1）已知二次函數(shù)，試判斷是否為“局部奇函數(shù)”？并說明理由（2）設是定義在上的“局部奇函數(shù)”，求實數(shù)m的取值范圍．20．（12分）如圖，底面，四邊形是正方形，.(Ⅰ)證明：平面平面；(Ⅱ)求直線與平面所成角的余弦值.21．（12分）已知等差數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．22．（10分）已知函數(shù).(1)若,解不等式;(2)若不等式對任意的實數(shù)恒成立，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

根據(jù)，可得，即可求解，得到答案．【題目詳解】由題意，，且，則，解得或，故選B．【題目點撥】本題主要考查了共線向量的坐標表示及應用，其中解答中熟記共線向量的概念以及坐標表示是解答的關鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題．2、B【解題分析】

設塔頂?shù)腶1盞燈，由題意{an}是公比為2的等比數(shù)列，∴S7==181，解得a1=1．故選B．3、C【解題分析】

配湊成可用基本不等式的形式。計算出最值與取最值時的x值?！绢}目詳解】當且僅當即時取等號，即【題目點撥】在使用均值不等式時需注意“一正二定三相等”缺一不可。4、A【解題分析】

設數(shù)列{an}的公比為q，由等比數(shù)列通項公式可得q4＝16，由a3＝a1q2，計算可得．【題目詳解】因故選：A【題目點撥】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)以及通項公式，屬于簡單題．5、B【解題分析】

構(gòu)造函數(shù)，考查該函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理得出答案．【題目詳解】構(gòu)造函數(shù)，則該函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，，由零點存在定理可知，方程的實根所在區(qū)間為，故選B.【題目點撥】本題考查零點所在區(qū)間，考查零點存在定理的應用，注意零點存在定理所適用的情形，必要時結(jié)合單調(diào)性來考查，這是解函數(shù)零點問題的常用方法，屬于基礎題．6、B【解題分析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，對選項逐一分析，由此得出正確選項.【題目詳解】對于A選項，由于定義域不關于原點對稱，故為非奇非偶函數(shù).對于B選項，函數(shù)為偶函數(shù)，當時，為增函數(shù)，故B選項正確.對于C選項，函數(shù)圖像沒有對稱性，故為非奇非偶函數(shù).對于D選項，在上有增有減.綜上所述，本小題選B.【題目點撥】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，屬于基礎題.7、D【解題分析】分析：按甲乙兩人所派地區(qū)的人數(shù)分類，再對其他人派遣。詳解：類型1：設甲、乙兩位專家需要派遣的地區(qū)有甲乙兩人則有，另外3人派往2個地區(qū)，共有18種。類型2：設甲、乙兩位專家需要派遣的地區(qū)有甲乙丙三人則有，另外2人派往2個地區(qū)，共有18種。綜上一共有36種，故選D點睛：有限制條件的分派問題，從有限制條件的入手，一般采用分步計數(shù)原理和分類計數(shù)原理，先分類后分步。8、A【解題分析】分析：先構(gòu)造函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式.詳解：令，因為，所以因此解集為，選A.點睛：利用導數(shù)解抽象函數(shù)不等式，實質(zhì)是利用導數(shù)研究對應函數(shù)單調(diào)性，而對應函數(shù)需要構(gòu)造.構(gòu)造輔助函數(shù)常根據(jù)導數(shù)法則進行：如構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造等9、B【解題分析】分析：利用定積分的運算求得m的值，再根據(jù)乘方的幾何意義，分類討論，求得xm﹣2yz項的系數(shù)．詳解：3sinxdx=﹣3cosx=﹣3（cosπ﹣cos0）=6，則（x﹣2y+3z）m=（x﹣2y+3z）6，xm﹣2yz=x4yz．而（x﹣2y+3z）6表示6個因式（x﹣2y+3z）的乘積，故其中一個因式取﹣2y，另一個因式取3z，剩余的4個因式都取x，即可得到含xm﹣2yz=x4yz的項，∴xm﹣2yz=x4yz項的系數(shù)等于故選：B．點睛：這個題目考查的是二項式中的特定項的系數(shù)問題，在做二項式的問題時，看清楚題目是求二項式系數(shù)還是系數(shù)，還要注意在求系數(shù)和時，是不是缺少首項；解決這類問題常用的方法有賦值法，求導后賦值，積分后賦值等。10、B【解題分析】試題分析：命題為假命題,比如,但,命題為真命題,不等式的解為,所以,而,所以“”是“”的必要不充分條件,由命題的真假情況,得出為真命題,選B.考點：命題真假的判斷.【易錯點睛】本題主要考查了命題真假的判斷以及充分必要條件的判斷,屬于易錯題.判斷一個命題為假命題時,舉出一個反例即可,判斷為真命題時,要給出足夠的理由.對于命題,為假命題,容易判斷,對于命題,要弄清楚充分條件,必要條件的定義:若,則是的充分不必要條件,若,則是的必要不充分條件,再根據(jù)復合命題真假的判斷,得出為真命題.11、D【解題分析】分析：先求公比，再得m,n關系式，最后根據(jù)基本不等式求最值.詳解：因為，所以，因為，所以，因此當且僅當時取等號選點睛：在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應用，否則會出現(xiàn)錯誤.12、A【解題分析】試題分析：依題意，輸入的的值為，執(zhí)行次循環(huán)體，的值變?yōu)?，這時，如果輸出的值恰好是，則函數(shù)關系式可能為,故應填A.考點：程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

分別求得f（x）、g（x）在[0，]上的值域，結(jié)合題意可得它們的值域間的包含關系，從而求得實數(shù)m的取值范圍．【題目詳解】∵f（x）=sin2x+（2cos2x﹣1）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），當x∈[0，]，2x+∈[，]，∴2sin（2x+）∈[1，2]，∴f（x）∈[1，2]．對于g（x）=mcos（2x﹣）﹣2m+3（m＞0），2x﹣∈[﹣，]，mcos（2x﹣）∈[，m]，∴g（x）∈[﹣+3，3﹣m]．由于對所有的x2∈[0，]總存在x1∈[0，]，使得f（x1）=g（x2）成立，可得[﹣+3，3﹣m]?[1，2]，故有3﹣m≤2，﹣+3≥1，解得實數(shù)m的取值范圍是[1，]．故答案為．【題目點撥】本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)，著重考查三角函數(shù)的性質(zhì)的運用，考查二倍角的余弦，解決問題的關鍵是理解“對所有的x2∈[0，]總存在x1∈[0，]，使得f（x1）=g（x2）成立”的含義，轉(zhuǎn)化為f（x）的值域是g（x）的子集．14、【解題分析】分析：，其中利用定積分的幾何意義計算.詳解：，其中的幾何意義為函數(shù)與直線及軸所圍成的圖形的面積，即圓在第一象限的部分的面積，其值為.而.所以原式.故答案為：.點睛：本題主要考查定積分，定積分的幾何意義，圓的面積等基礎知識，考查數(shù)形結(jié)合思想，解答定積分的計算，關鍵是熟練掌握定積分的相關性質(zhì).15、7【解題分析】第一次循環(huán)：;第二次循環(huán)：;第三次循環(huán)：;結(jié)束循環(huán)，輸出考點：循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖16、【解題分析】

分n=k和n=k+1寫出等式左邊的項，對比可得增加的項?！绢}目詳解】當n=k時，左邊是，當時左邊是,所以增加的項為，填?！绢}目點撥】運用數(shù)學歸納法證明命題要分兩步，第一步是歸納奠基(或遞推基礎)證明當n取第一個值n0(n0∈N*)時命題成立，第二步是歸納遞推(或歸納假設)假設n＝k(k≥n0，k∈N*)時命題成立，證明當n＝k＋1時命題也成立，只要完成這兩步，就可以斷定命題對從n0開始的所有的正整數(shù)都成立，兩步缺一不可．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）①，②.【解題分析】

（1）利用橢圓的離心率公式，通徑的長和橢圓中a，b，c的關系，求得a，b，c的值，進而可得橢圓的方程.(2)①通過聯(lián)立直線和橢圓方程，得到關于x的一元二次方程，利用一元二次方程的根與系數(shù)的關系，求出，再結(jié)合向量表示垂直得，進而求解；②設直線OA的斜率為.分和兩種情況討論，當時，通過聯(lián)立直線與橢圓方程和三角形面積公式，將面積的最小值問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題求解，再結(jié)合時的情況，得面積的取值范圍，進而求得最小值.【題目詳解】(1)已知橢圓的離心率為，可知，根據(jù)橢圓的通徑長為，結(jié)合橢圓中，可解得，故橢圓C的方程為.（2）①已知直線AB的方程為,設與橢圓方程聯(lián)立有,消去y,得,所以，因,所以，即，所以.整理得,所以為②設直線OA的斜率為.當時,則的方程OA為,OB的方程為，聯(lián)立得,同理可求得,故△AOB的面積為.令，則令,所以.所以，當時,可求得S=1,故,故S的最小值為【題目點撥】本題考查了求橢圓的標準方程，涉及了橢圓的離心率方程，通徑的長和橢圓中a，b，c的關系；考查了直線與橢圓的位置關系，考查了橢圓中的最值問題；函數(shù)中求最值的常用方法有函數(shù)法和數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)法：利用函數(shù)最值的探究方法，將橢圓中的最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來處理，解題過程中要注意橢圓中x，y的范圍.18、（1）；（2）12.【解題分析】

（1）將點的坐標代入拋物線方程中即可；（2）聯(lián)立方程組先求出，點坐標，進而利用兩點間距離公式求出，然后利用點到直線距離公式求出的高，最后代入三角形面積公式求解即可.【題目詳解】（1）點在拋物線上，將代入方程中，有，解得，拋物線的方程為.（2）如圖所示，由拋物線方程可知焦點，則點到直線的距離為，聯(lián)立方程組，可解得，，所以，，所以，.【題目點撥】本題主要考查拋物線的標準方程、直線與拋物線的位置關系以及拋物線性質(zhì)的應用，涉及到的知識點包括兩點的之間的距離公式和點到直線的距離公式，意在考查學生對這些基礎知識的掌握能力和分析推理能力，屬于基礎題.19、(1)答案見解析；(2)【解題分析】試題分析：（1）本題實質(zhì)就是解方程，如果這個方程有實數(shù)解，就說明是“局部奇函數(shù)”，如果這個方程無實數(shù)解，就說明不是“局部奇函數(shù)”，易知有實數(shù)解，因此答案是肯定的；（2）已經(jīng)明確是“局部奇函數(shù)”，也就是說方程一定有實數(shù)解，問題也就變成方程在上有解，求參數(shù)的取值范圍，又方程可變形為，因此求的取值范圍，就相當于求函數(shù)的值域，用換元法（設），再借助于函數(shù)的單調(diào)性就可求出.試題解析：(1)為“局部奇函數(shù)”等價于關于的方程有解．即（3分）有解為“局部奇函數(shù)”．（5分）(2)當時,可轉(zhuǎn)化為（8分）因為的定義域為,所以方程在上有解,令,則因為在上遞減,在上遞增,（11分）（12分）即（14分）考點：新定義概念，方程有解求參數(shù)取值范圍問題.20、（1）見解析；（2）直線與平面所成角的余弦值為.【解題分析】分析：(1)先根據(jù)線面平行判定定理得平面，平面.，再根據(jù)面面平行判定定理得結(jié)論，(2)先根據(jù)條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，根據(jù)方程組解得平面的一個法向量，利用向量數(shù)量積求得向量夾角，最后根據(jù)線面角與向量夾角互余關系得結(jié)果.詳解：(Ⅰ)因為，平面，平面，所以平面.同理可得，平面.又,所以平面平面.（Ⅱ）（向量法）以為坐標原點，所在的直線分別為軸，軸，軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，由已知得，點，,