2024屆四川省重點中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測試題含解析

2024屆四川省重點中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某班共有52人，現(xiàn)根據(jù)學(xué)生的學(xué)號，用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為4的樣本．已知3號、29號、42號同學(xué)在樣本中，那么樣本中還有一個同學(xué)的學(xué)號是()A．10 B．11 C．12 D．162．下列有關(guān)結(jié)論正確的個數(shù)為（）①小趙、小錢、小孫、小李到4個景點旅游，每人只去一個景點，設(shè)事件“4個人去的景點不相同”，事件“小趙獨自去一個景點”，則；②設(shè)，則“”是“的充分不必要條件；③設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則與的值分別為．A．0 B．1 C．2 D．33．如圖，在△中,,是上的一點,若,則實數(shù)的值為()A． B． C． D．4．若是的增函數(shù),則的取值范圍是()A． B． C． D．5．一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為，得2分的概率為，不得分的概率為（、、），已知他投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為2（不計其它得分情況），則的最大值為A． B． C． D．6．甲、乙二人爭奪一場圍棋比賽的冠軍，若比賽為“三局兩勝”制，甲在每局比賽中獲勝的概率均為，且各局比賽結(jié)果相互獨立.則在甲獲得冠軍的情況下，比賽進(jìn)行了三局的概率為（）A． B． C． D．7．利用獨立性檢驗的方法調(diào)查高中性別與愛好某項運動是否有關(guān)，通過隨機(jī)調(diào)查200名高中生是否愛好某項運動，利用2×2列聯(lián)表，由計算可得K2≈7.245，參照下表：得到的正確結(jié)論是（）0.010.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828A．有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項運動與性別無關(guān)”B．有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項運動與性別有關(guān)”、C．在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下，認(rèn)為“愛好該項運動與性別有關(guān)”D．在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下，認(rèn)為“愛好該項運動與性別無關(guān)”8．已知雙曲線的右焦點為F2，若C的左支上存在點M，使得直線bx﹣ay＝0是線段MF2的垂直平分線，則C的離心率為（）A． B．2 C． D．59．復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第二象限，其中m為實數(shù)，i為虛數(shù)單位，則實數(shù)的取值范圍（）A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，1）C．（﹣1，2） D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）10．設(shè)函數(shù)的定義域，函數(shù)y=ln(1-x)的定義域為,則A．（1,2） B．（1,2] C．（-2,1） D．[-2,1)11．已知i是虛數(shù)單位，m,n∈R，且m+i=1+ni，則＝()A．i B．1 C．－i D．－112．下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在四棱錐中，底面是等腰梯形，其中∥，若，，且側(cè)棱與底面所成的角均為45°，則該棱錐的體積為_________．14．已知過點的直線交軸于點，拋物線上有一點使,若是拋物線的切線，則直線的方程是___．15．已知命題，命題.若命題是的必要不充分條件，則的取值范圍是____；16．在的展開式中，常數(shù)項的值為______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，已知.（1）求角的余弦值；（2）若，邊上的中線，求的面積.18．（12分）現(xiàn)將甲、乙兩個學(xué)生在高二的6次數(shù)學(xué)測試的成績（百分制）制成如圖所示的莖葉圖，進(jìn)人高三后，由于改進(jìn)了學(xué)習(xí)方法，甲、乙這兩個學(xué)生的考試數(shù)學(xué)成績預(yù)計同時有了大的提升.若甲（乙）的高二任意一次考試成績?yōu)?，則甲（乙）的高三對應(yīng)的考試成績預(yù)計為（若>100.則取為100）.若已知甲、乙兩個學(xué)生的高二6次考試成績分別都是由低到高進(jìn)步的，定義為高三的任意一次考試后甲、乙兩個學(xué)生的當(dāng)次成績之差的絕對值.（I）試預(yù)測：在將要進(jìn)行的高三6次測試中，甲、乙兩個學(xué)生的平均成績分別為多少？（計算結(jié)果四舍五入，取整數(shù)值）（Ⅱ）求的分布列和數(shù)學(xué)期望.19．（12分）已知，.（1）求證：；（2）若不等式對一切實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng)時,．21．（12分）已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若的極小值點，求實數(shù)a的取值范圍．22．（10分）球O的半徑為R,A﹑B﹑C在球面上，A與B,A與C的球面距離都為，B與C的球面距離為，求球O在二面角B-OA-C內(nèi)的部分的體積．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

由題計算出抽樣的間距為13，由此得解．【題目詳解】由題可得，系統(tǒng)抽樣的間距為13，則在樣本中．故選D【題目點撥】本題主要考查了系統(tǒng)抽樣知識，屬于基礎(chǔ)題．2、D【解題分析】對于①，，所以，故①正確；對于②，當(dāng)，有，而由有，因為，所以是的充分不必要條件，故②正確；對于③，由已知，正態(tài)密度曲線的圖象關(guān)于直線對稱，且所以，故③正確．點睛：本題主要考查了條件概率，充分必要條件，正態(tài)分布等，屬于難題．這幾個知識點都是屬于難點，容易做錯．3、C【解題分析】

先根據(jù)共線關(guān)系用基底表示，再根據(jù)平面向量基本定理得方程組解得實數(shù)的值.【題目詳解】如下圖，∵三點共線，∴，∴，即,∴①,又∵，∴，∴②，對比①，②，由平面向量基本定理可得：．【題目點撥】本題考查向量表示以及平面向量基本定理，考查基本分析求解能力.4、A【解題分析】

利用函數(shù)是上的增函數(shù)，保證每支都是增函數(shù)，還要使得兩支函數(shù)在分界點處的函數(shù)值大小，即，然后列不等式可解出實數(shù)的取值范圍．【題目詳解】由于函數(shù)是的增函數(shù)，則函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，，即；且有，即，得，因此，實數(shù)的取值范圍是，故選A.【題目點撥】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性與參數(shù)，在求解分段函數(shù)的單調(diào)性時，要注意以下兩點：（1）確保每支函數(shù)的單調(diào)性和原函數(shù)的單調(diào)性一致；（2）結(jié)合圖象確保各支函數(shù)在分界點處函數(shù)值的大小關(guān)系．5、D【解題分析】3a+2b+0c=2即3a+2b=2,所以，因此．6、A【解題分析】

記事件甲獲得冠軍，事件比賽進(jìn)行三局，計算出事件的概率和事件的概率，然后由條件概率公式可得所求事件的概率為.【題目詳解】記事件甲獲得冠軍，事件比賽進(jìn)行三局，事件甲獲得冠軍，且比賽進(jìn)行了三局，則第三局甲勝，前三局甲勝了兩局，由獨立事件的概率乘法公式得，對于事件，甲獲得冠軍，包含兩種情況：前兩局甲勝和事件，，，故選A.【題目點撥】本題考查利用條件概率公式計算事件的概率，解題時要理解所求事件的之間的關(guān)系，確定兩事件之間的相對關(guān)系，并利用條件概率公式進(jìn)行計算，考查運算求解能力，屬于中等題.7、B【解題分析】

由，結(jié)合臨界值表，即可直接得出結(jié)果.【題目詳解】由，可得有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項運動與性別有關(guān)”.故選B【題目點撥】本題主要考查獨立性檢驗，會對照臨界值表，分析隨機(jī)變量的觀測值即可，屬于基礎(chǔ)題型.8、C【解題分析】

設(shè)P為直線與的交點，則OP為的中位線，求得到漸近線的距離為b，運用中位線定理和雙曲線的定義，以及離心率的公式，計算可得所求值．【題目詳解】，直線是線段的垂直平分線，可得到漸近線的距離為，且，，，可得，即為，即，可得．故選C．【題目點撥】本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查三角形的中位線定理，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．9、B【解題分析】

整理復(fù)數(shù)為的形式，根據(jù)復(fù)數(shù)對應(yīng)點在第二象限列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.【題目詳解】i對應(yīng)點在第二象限，因此有，即，故選B【題目點撥】本小題主要考查復(fù)數(shù)對應(yīng)點所在象限，考查一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解題分析】由得，由得，故，選D.【名師點睛】集合的交、并、補(bǔ)運算問題，應(yīng)先把集合化簡再計算，常常借助數(shù)軸或韋恩圖進(jìn)行處理.11、A【解題分析】

先根據(jù)復(fù)數(shù)相等得到的值，再利用復(fù)數(shù)的四則混合運算計算.【題目詳解】因為，所以，則.故選A.【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)相等以及復(fù)數(shù)的四則混合運算，難度較易.對于復(fù)數(shù)的四則混合運算，分式類型的復(fù)數(shù)式子，采用分母實數(shù)化計算更加方便.12、A【解題分析】試題分析：由題意得，令，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故選A．考點：函數(shù)奇偶性的判定．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

過作于，求得，，，設(shè)為的中點，則，由題意得頂點在底面的射影為，且，再根據(jù)體積公式即可求出答案．【題目詳解】解：過作于，∵，，∴，，∴，設(shè)為的中點，則，∵側(cè)棱與底面所成的角均為45°，∴頂點在底面的射影到各頂點的距離相等，即為等腰梯形的外接圓的圓心，即為點，∴為四棱錐的高，即平面，∴，∴該棱錐的體積，故答案為：．【題目點撥】本題主要考查棱錐的體積公式，考查線面垂直的的性質(zhì)，考查推理能力，屬于中檔題．14、或.【解題分析】分析：由題設(shè)，求導(dǎo)得到直線然后分和兩種情況討論即可得到直線的方程.詳解：由題設(shè)，求導(dǎo)即，則直線當(dāng)時，驗證符合題意，此時，故，當(dāng)時，，，或（重合，舍去）此時，故點睛：本題考查曲線的切線方程的求法，垂直關(guān)系的斜率表示等，屬基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

求得命題，又由命題是的必要不充分條件，所以是的真子集，得出不等式組，即可求解，得到答案．【題目詳解】由題意，命題，命題.又由命題是的必要不充分條件，所以是的真子集，設(shè)，則滿足，解得，經(jīng)驗證當(dāng)適合題意，所以的取值范圍是．【題目點撥】本題主要考查了分式不等式的求解，以及利用充要條件求解參數(shù)問題，其中解答中正確求解集合A，再根集合的包含關(guān)系求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．16、84【解題分析】

由的展開式的通項公式，再由求解即可.【題目詳解】解：由的展開式的通項公式，令，即，即展開式的常數(shù)項為，故答案為：84.【題目點撥】本題考查了二項式定理，重點考查了二項式展開式通項公式，屬基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)1【解題分析】

（1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知等式可得，根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求的值．（2）由已知，兩邊平方，利用平面向量的運算可求CA的值，根據(jù)三角形的面積公式即可求解．【題目詳解】（1）因為，所以，即，由三角函數(shù)的基本關(guān)系式，可得，解得．（2）因為，所以,所以，解得．所以．【題目點撥】本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，平面向量的運算，三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．18、（1）見解析；（2）見解析【解題分析】

（I）先依題意預(yù)測出高三的6次考試成績，由平均數(shù)的公式，分別計算即可;（Ⅱ）由題意先寫出隨機(jī)變量的取值，以及對應(yīng)的概率，即可求出分布列和期望.【題目詳解】（I）由已知，預(yù)測高三的6次考試成績?nèi)缦拢旱?次考試第2次考試第3次考試第4次考試第5次考試第6次考試甲7886899698100乙8185929496100甲高三的6次考試平均成績?yōu)椋腋呷?次考試平均成績?yōu)樗灶A(yù)測：在將要進(jìn)行的高三6次測試中，甲、乙兩個學(xué)生的平均成績分別約為91，91.（Ⅱ）因為為高三的任意一次考試后甲、乙兩個學(xué)生的當(dāng)次成績之差的絕對值，所以=0，1，2，3所以，，，.所以的分布列為0123所以【題目點撥】本題主要考查平均數(shù)的計算以及離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，屬于基礎(chǔ)題型.19、（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）．【解題分析】試題分析：(1)由題意結(jié)合柯西不等式的結(jié)論即可證得題中的結(jié)論；(2)結(jié)合(1)的結(jié)論可得絕對值不等式，零點分段求解絕對值不等式可得實數(shù)的取值范圍為.試題解析：(Ⅰ)證明:由柯西不等式得,,的取值范圍是.(Ⅱ)由柯西不等式得.若不等式對一切實數(shù)恒成立,則,其解集為,即實數(shù)的取值范圍為.20、（1）在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；（2）見證明【解題分析】

（1）對函數(shù)求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，可知，即可得出結(jié)論.【題目詳解】解：（1），當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；（2）設(shè)，，因為二次函數(shù)，，所以恒成立.則當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；又，所以，即，故當(dāng)時，.【題目點撥】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式恒成立問題，考查了學(xué)生的計算能力與推理能力，屬于中檔題.21、（1）單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為（2）【解題分析】

(1)將參數(shù)值代入得到函數(shù)的表達(dá)式，將原函數(shù)求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2），因為是的極小值點，所以，得到；分情況討論，每種情況下是否滿足x=1是函數(shù)的極值，進(jìn)而得到結(jié)果.【題目詳解】（1）由題由，得由，得；由，得的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為（2），因為是的極小值點，所以，即，所以1°當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；所以是的極小值點，符合題意；2°當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；所以是的極小值點，符合題意；3°當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，無極值點，不合題意4°當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；所以是的極大值點，不符合題意；綜上知，所求的取值范圍為【題目點撥】這個題目考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的極值和單調(diào)性中的應(yīng)