2024屆廣東省珠海市珠海二中、斗門(mén)一中數(shù)學(xué)高二下期末聯(lián)考試題含解析

2024屆廣東省珠海市珠海二中、斗門(mén)一中數(shù)學(xué)高二下期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．的值是（）A．B．C．D．2．將兩顆骰子各擲一次，設(shè)事件A為“兩顆骰子向上點(diǎn)數(shù)不同”，事件B為“至少有一顆骰上點(diǎn)數(shù)為3點(diǎn)”則（）A． B． C． D．3．演繹推理“因?yàn)闀r(shí)，是的極值點(diǎn)，而對(duì)于函數(shù)，，所以0是函數(shù)的極值點(diǎn).”所得結(jié)論錯(cuò)誤的原因是（）A．大前提錯(cuò)誤 B．小前提錯(cuò)誤 C．推理形式錯(cuò)誤 D．全不正確4．將曲線y=sin2x按照伸縮變換后得到的曲線方程為（）A． B． C． D．5．函數(shù)在上的最小值和最大值分別是A． B． C． D．6．設(shè)隨機(jī)變量服從分布，且，，則（）A．， B．，C．， D．，7．已知曲線，給出下列命題：①曲線關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；②曲線關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；③曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；④曲線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)；⑤曲線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．48．已知曲線的參數(shù)方程為：，且點(diǎn)在曲線上，則的取值范圍是（）A． B． C． D．9．設(shè)集合A＝{1，2，3，4}，B＝{﹣4，﹣3，1}，則A∩B＝（）A．{1，﹣3} B．{1，﹣4} C．{3} D．{1}10．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）A． B． C．48 D．11．若將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后圖像的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心可以為（）A． B． C． D．12．已知隨機(jī)變量的分布列如下表所示：123450.10.20.20.1則的值等于（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線，過(guò)焦點(diǎn)作直線與拋物線交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)________．14．一個(gè)興趣學(xué)習(xí)小組由12男生6女生組成，從中隨機(jī)選取3人作為領(lǐng)隊(duì)，記選取的3名領(lǐng)隊(duì)中男生的人數(shù)為X，則X的期望EX=15．已知，是單位向量.若，則向量，夾角的取值范圍是_________.16．展開(kāi)式中含有的系數(shù)為_(kāi)_______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，求展開(kāi)式中所有有理項(xiàng).18．（12分）已知,且.證明：（Ⅰ）；（Ⅱ）.19．（12分）已知，，分別是內(nèi)角，，的對(duì)邊，，.（1）求的值；（2）若的面積為，求的值.20．（12分）已知函數(shù)在處取得極小值1．（1）求的解析式；（2）求在上的最值．21．（12分）如圖，OA，OB是兩條互相垂直的筆直公路，半徑OA＝2km的扇形AOB是某地的一名勝古跡區(qū)域．當(dāng)?shù)卣疄榱司徑庠摴袍E周?chē)慕煌▔毫?，欲在圓弧AB上新增一個(gè)入口P（點(diǎn)P不與A，B重合），并新建兩條都與圓弧AB相切的筆直公路MB，MN，切點(diǎn)分別是B，P．當(dāng)新建的兩條公路總長(zhǎng)最小時(shí)，投資費(fèi)用最低．設(shè)∠POA＝，公路MB，MN的總長(zhǎng)為．（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域；（2）當(dāng)為何值時(shí)，投資費(fèi)用最低？并求出的最小值．22．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，單位圓上存在兩點(diǎn)，滿足均與軸垂直，設(shè)與的面積之和記為．若，求的值；若對(duì)任意的，存在，使得成立，且實(shí)數(shù)使得數(shù)列為遞增數(shù)列，其中求實(shí)數(shù)的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】試題分析：設(shè)，結(jié)合定積分的幾何意義可知定積分值為圓在第一象限的面積的值是考點(diǎn)：定積分的幾何意義2、D【解題分析】

用組合數(shù)公式計(jì)算事件A和事件AB包含的基本事件個(gè)數(shù)，代入條件概率公式計(jì)算．【題目詳解】解：兩顆骰子各擲一次包含的基本事件的個(gè)數(shù)是1．事件A包含的基本事件個(gè)數(shù)有，則．事件AB包含的基本事件個(gè)數(shù)為10，則．所以在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率為：，故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查條件概率，屬于基礎(chǔ)題．3、A【解題分析】分析：要分析一個(gè)演繹推理是否正確，主要觀察所給的大前提，小前提和結(jié)論及推理形式是否都正確，根據(jù)這幾個(gè)方面都正確，才能得到這個(gè)演繹推理正確．根據(jù)三段論進(jìn)行判斷即可得到結(jié)論.詳解：演繹推理““因?yàn)闀r(shí)，是的極值點(diǎn)，而對(duì)于函數(shù)，，所以0是函數(shù)的極值點(diǎn).”中，

大前提：時(shí)，在兩側(cè)的符號(hào)如果不相反，則不是的極值點(diǎn)，故錯(cuò)誤，

故導(dǎo)致錯(cuò)誤的原因是：大前提錯(cuò)誤，

故選：A．點(diǎn)睛：本題考查演繹推理，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題4、B【解題分析】

根據(jù)反解,代入即可求得結(jié)果.【題目詳解】由伸縮變換可得:代入曲線,可得:,即.故選:.【題目點(diǎn)撥】本題考查曲線的伸縮變換,屬基礎(chǔ)題,難度容易.5、A【解題分析】

求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值和最小值即可．【題目詳解】函數(shù)，cosx，令＞0，解得：x，令＜0，解得：0≤x，∴f（x）在[0，）遞減，在（，]遞增，∴f（x）min＝f（），而f（0）＝0，f（）1，故f（x）在區(qū)間[0，]上的最小值和最大值分別是：．故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查函數(shù)值的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．6、A【解題分析】分析：根據(jù)隨機(jī)變量符合二項(xiàng)分布，根據(jù)二項(xiàng)分布的期望和方差公式得到關(guān)于的方程組，注意兩個(gè)方程之間的關(guān)系，把一個(gè)代入另一個(gè)，以整體思想來(lái)解決，求出P的值，再求出n的值，得到結(jié)果.詳解：隨機(jī)變量服從分布，且，，①②即可求得，.故選：A點(diǎn)睛：本題考查離散型隨機(jī)變量的期望和方差，考查二項(xiàng)分布的期望和方差公式，考查方差思想，是一個(gè)比較好的題目，技巧性比較強(qiáng).7、C【解題分析】

根據(jù)定義或取特殊值對(duì)曲線的對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行驗(yàn)證，可得出題中正確命題的個(gè)數(shù).【題目詳解】在曲線上任取一點(diǎn)，該點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，則曲線關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，命題①正確；點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，則曲線關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，命題②正確；點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，則曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，命題③正確；在曲線上取點(diǎn)，該點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為，由于，則曲線不關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，命題④錯(cuò)誤；在曲線上取點(diǎn)，該點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由于，則曲線不關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，命題⑤錯(cuò)誤.綜上所述，正確命題的個(gè)數(shù)為.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查曲線對(duì)稱(chēng)性的判定，一般利用對(duì)稱(chēng)性的定義以及特殊值法進(jìn)行判斷，考查推理能力，屬于中等題.8、C【解題分析】分析：由題意得曲線C是半圓，借助已知?jiǎng)狱c(diǎn)在單位圓上任意動(dòng)，而所求式子，的形式可以聯(lián)想成在單位圓上動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)C（0，1）構(gòu)成的直線的斜率，進(jìn)而求解．詳解：∵即

其中由題意作出圖形，，

令，則可看作圓上的動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的連線的斜率而相切時(shí)的斜率，

由于此時(shí)直線與圓相切，

在直角三角形中，，由圖形知，的取值范圍是則的取值范圍是．

故選C．點(diǎn)睛：此題重點(diǎn)考查了已知兩點(diǎn)坐標(biāo)寫(xiě)斜率，及直線與圓的相切與相交的關(guān)系，還考查了利用幾何思想解決代數(shù)式子的等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想．9、D【解題分析】

利用集合的交集的運(yùn)算，即可求解．【題目詳解】由題意，集合，所以，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了集合交集的運(yùn)算，其中解答中熟記集合的交集運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．10、B【解題分析】

由三視圖可得幾何體是如圖所示四棱錐，根據(jù)三視圖數(shù)據(jù)計(jì)算表面積即可.【題目詳解】由三視圖可得幾何體是如圖所示四棱錐，則該幾何體的表面積為：.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了三視圖，空間幾何體的表面積計(jì)算，考查了學(xué)生的直觀想象能力.11、A【解題分析】

通過(guò)平移得到，即可求得函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)，得到答案.【題目詳解】向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖像，則其對(duì)稱(chēng)中心為,或?qū)⑦x項(xiàng)進(jìn)行逐個(gè)驗(yàn)證,選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換，以及熟記三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.12、A【解題分析】分析：由分布列的性質(zhì)可得，又由數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式求得數(shù)學(xué)期望，進(jìn)而可求得．詳解：由分布列的性質(zhì)可得，解得，又由數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式可得，隨機(jī)變量的期望為：，所以，故選A．點(diǎn)睛：本題主要考查了隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)即數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問(wèn)題，其中熟記隨機(jī)變量的性質(zhì)和數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或【解題分析】

如圖所示，求得，由，可得，解得，可得直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，即可求解.【題目詳解】如圖所示，可得，由，由拋物線的定義，可得，解得，代入拋物線的方程可得或，當(dāng)時(shí)，，則直線的方程為，即，代入，解得；同理當(dāng)時(shí)，解得，故答案為或.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了拋物線的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，以及直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，著重考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔試題.14、2【解題分析】試題分析：由題意X的可能取值為0，1，2，3，P（X=0）=C6P（X=1）=C12P（X=2）=C12P（X=3）=C12∴E（X）=0×20816+1×180816+2×396816考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差15、【解題分析】

設(shè)向量、的夾角為，在不等式兩邊平方，利用數(shù)量積的運(yùn)算律和定義求出的取值范圍，于此可求出的取值范圍．【題目詳解】設(shè)向量、的夾角為，，兩邊平方得，、都是單位向量，則有，得，，，因此，向量、的夾角的取值范圍是，故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查平面數(shù)量積的運(yùn)算，考查平面向量夾角的取值范圍，在涉及平面向量模有關(guān)的計(jì)算時(shí)，常將等式或不等式進(jìn)行平方，結(jié)合數(shù)量積的定義和運(yùn)算律來(lái)進(jìn)行計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題．16、135【解題分析】

根據(jù)二項(xiàng)式定理確定含有的項(xiàng)數(shù)，進(jìn)而得系數(shù)【題目詳解】令得含有的系數(shù)為故答案為：135【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、答案見(jiàn)解析【解題分析】

由題意首先求得n的值，然后結(jié)合展開(kāi)式的通項(xiàng)公式即可確定展開(kāi)式中所有有理項(xiàng).【題目詳解】由題意可得：，解得：，則展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：，由于且，故當(dāng)時(shí)展開(kāi)式為有理項(xiàng)，分別為：，，.【題目點(diǎn)撥】(1)二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式，求解此類(lèi)問(wèn)題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式，建立方程來(lái)確定指數(shù)(求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負(fù)整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(xiàng)．(2)求兩個(gè)多項(xiàng)式的積的特定項(xiàng)，可先化簡(jiǎn)或利用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理討論求解．18、（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）詳見(jiàn)解析.【解題分析】

（Ⅰ）根據(jù)均值不等式可以證明；（Ⅱ）根據(jù)均值不等式和已知條件的靈活應(yīng)用可以證明.【題目詳解】證明Ⅰ，b，，且，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立

Ⅱ，，，，，【題目點(diǎn)撥】本題主要考查不等式的證明，均值不等式是常用工具，側(cè)重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).19、(1);(2)4.【解題分析】分析：先根據(jù)，求得sinA的值，再結(jié)合正弦定理求解即可；（2）先由cosA的余弦定理可得c，b的關(guān)系，然后根據(jù)三角形面積公式即可求得c.詳解：（1）由得，由及正弦定理可得.（2）根據(jù)余弦定理可得，代入得，整理得，即，解得，∴，解得.點(diǎn)睛：考查正余弦定理解三角形的應(yīng)用，三角形面積公式，對(duì)定理公式的靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）（2）最小值為1，最大值為2．【解題分析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合在處取得極小值1，求得的值，由此求得解析式.（2）根據(jù)在區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的極值以及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，求得在區(qū)間上的最值.【題目詳解】（1），由，得或．當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，符合題意，由，得；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極大值，不符合題意．所以．（2）由（1）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以的最小值?，最大值為2．【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.21、(1);(2)當(dāng)時(shí)，投資費(fèi)用最低，此時(shí)的最小值為.【解題分析】

（1）由題意，設(shè)，利用平面幾何的知識(shí)和三角函數(shù)的關(guān)系式及三角恒等變換的公式，即可得函數(shù)的關(guān)系式；（2）利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式和恒等變換的公式，求得的解析式，再利用基本不等式，即可求得投資的最低費(fèi)用，得到答案.【題目詳解】（1）連接，在中，，故，據(jù)平面幾何知識(shí)可知,在中，，故，所以，顯然，所以函數(shù)的