山東省沂源縣第二中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

山東省沂源縣第二中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某中學(xué)從4名男生和3名女生中推薦4人參加某高校自主招生考試，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有（）A．34種 B．35種 C．120種 D．140種2．將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度，再把圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），則所得到的圖象的解析式為（）A． B．C． D．3．下列說法正確的是（）A．命題“若，則”的否命題為：“若，則”B．已知是R上的可導(dǎo)函數(shù)，則“”是“x0是函數(shù)的極值點(diǎn)”的必要不充分條件C．命題“存在，使得”的否定是：“對任意，均有”D．命題“角α的終邊在第一象限角，則α是銳角”的逆否命題為真命題4．已知數(shù)列是等比數(shù)列，若則的值為（）A．4 B．4或-4 C．2 D．2或-25．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）A． B． C． D．6．用反證法證明命題“已知函數(shù)在上單調(diào)，則在上至多有一個(gè)零點(diǎn)”時(shí)，要做的假設(shè)是（）A．在上沒有零點(diǎn) B．在上至少有一個(gè)零點(diǎn)C．在上恰好有兩個(gè)零點(diǎn) D．在上至少有兩個(gè)零點(diǎn)7．若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則其解析式為（）A． B． C． D．8．一個(gè)四面體各棱長都為，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，則方程的根的個(gè)數(shù)為（）A．7 B．5 C．3 D．210．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，若主視圖是上底為2，下底為4，高為1的等腰梯形，左視圖是底邊為2的等腰三角形，則該幾何體的體積為（）A． B． C．2 D．411．若將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A． B．C． D．12．現(xiàn)有張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各張.從中任取張，要求這張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多張.不同取法的種數(shù)為A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．一個(gè)總體分為A，B兩層，其個(gè)體數(shù)之比為4：1，用分層抽樣方法從總體中抽取一個(gè)容量為10的樣本.已知B層中甲、乙都被抽到的概率為，則總體中的個(gè)體數(shù)為_____．14．設(shè)集合，，則集合______.15．一個(gè)正方體的個(gè)頂點(diǎn)可以組成__________個(gè)非等邊三角形.16．兩根相距的木桿上系一根繩子，并在繩子上掛一盞燈，則燈與兩端距離都大于的概率是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知二次函數(shù)滿足，且.（1）求的解析式；（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求的最小值；（3）設(shè)函數(shù)，若對任意，總存在，使得成立，求m的取值范圍.18．（12分）已知函數(shù)的圖象過點(diǎn).(1)求的解析式及單調(diào)區(qū)間；(2)求在上的最小值.19．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（Ⅰ）求曲線的普通方程及直線的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）若曲線上恰好存在兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知集合，集合是集合S的一個(gè)含有8個(gè)元素的子集.（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，①寫出方程的解（）；②若方程至少有三組不同的解，寫出k的所有可能取值；（2）證明：對任意一個(gè)X，存在正整數(shù)k，使得方程至少有三組不同的解.21．（12分）設(shè)函數(shù)，其中.（Ⅰ）若，討論的單調(diào)性；（Ⅱ）若，（i）證明恰有兩個(gè)零點(diǎn)（ii）設(shè)為的極值點(diǎn)，為的零點(diǎn)，且，證明.22．（10分）已知.（1）討論的單調(diào)性；（2）若，且在區(qū)間上的最小值為，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】分析：根據(jù)題意，選用排除法，分3步，①計(jì)算從7人中，任取4人參加志愿者活動(dòng)選法，②計(jì)算選出的全部為男生或女生的情況數(shù)目，③由事件間的關(guān)系，計(jì)算可得答案．詳解：分3步來計(jì)算，

①從7人中，任取4人參加志愿者活動(dòng)，分析可得，這是組合問題，共C74=35種情況；

②選出的4人都為男生時(shí)，有1種情況，因女生只有3人，故不會(huì)都是女生，

③根據(jù)排除法，可得符合題意的選法共35-1=34種；

故選A．點(diǎn)睛：本題考查計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用，注意對于本類題型，可以使用排除法，即當(dāng)從正面來解所包含的情況比較多時(shí)，則采取從反面來解，用所有的結(jié)果減去不合題意的結(jié)果．2、B【解題分析】試題分析：函數(shù)，的圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度得，再把圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍，得，選B.考點(diǎn)：三角函數(shù)圖像變換3、B【解題分析】試題分析：對于A，命題“若，則”的否命題為：“若，則”，不滿足否命題的定義，所以A不正確；對于B，已知是R上的可導(dǎo)函數(shù)，則“”函數(shù)不一定有極值，“是函數(shù)的極值點(diǎn)”一定有導(dǎo)函數(shù)為，所以已知是上的可導(dǎo)函數(shù)，則“”是“是函數(shù)的極值點(diǎn)”的必要不充分條件，正確；對于C，命題“存在，使得”的否定是：“對任意，均有”，不滿足命題的否定形式，所以不正確；對于D，命題“角的終邊在第一象限角，則是銳角”是錯(cuò)誤命題，則逆否命題為假命題，所以D不正確；故選B．考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用．4、A【解題分析】

設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得q4＝16，由a3＝a1q2，計(jì)算可得．【題目詳解】因故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)以及通項(xiàng)公式，屬于簡單題．5、A【解題分析】

等價(jià)于在上恒成立，即在上恒成立，再構(gòu)造函數(shù)并求g(x)的最大值得解.【題目詳解】在上恒成立，則在上恒成立，令，，所以在單調(diào)遞增，故g(x)的最大值為g(3)=.故.故選A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立問題，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解題分析】分析：利用反證法證明，假設(shè)一定是原命題的完全否定，從而可得結(jié)果.詳解：因?yàn)椤爸炼嘤幸粋€(gè)”的否定是“至少有兩個(gè)”，所以用反證法證明命題“已知函數(shù)在上單調(diào)，則在上至多有一個(gè)零點(diǎn)”時(shí)，要做的假設(shè)是在上至少有兩個(gè)零點(diǎn)，故選D.點(diǎn)睛：反證法的適用范圍是，（1）否定性命題；（2）結(jié)論涉及“至多”、“至少”、“無限”、“唯一”等詞語的命題；（3）命題成立非常明顯，直接證明所用的理論較少，且不容易證明，而其逆否命題非常容易證明；（4）要討論的情況很復(fù)雜，而反面情況較少．7、C【解題分析】

設(shè)冪函數(shù)，代入點(diǎn)，即可求得解析式.【題目詳解】設(shè)冪函數(shù)，代入點(diǎn)，，解得，.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了冪函數(shù)解析式的求法.8、A【解題分析】試題分析：正四面體擴(kuò)展為正方體，二者有相同的外接球，通過正方體的對角線的長度就是外接球的直徑，求出球的表面積．由于正四面體擴(kuò)展為正方體，二者有相同的外接球，所以正方體的棱長為：1，所以正方體的對角線的長度就是外接球的直徑，所以球的半徑為，所以球的表面積為：，故選A.考點(diǎn)：球內(nèi)接多面體9、A【解題分析】

令，先求出方程的三個(gè)根，，，然后分別作出直線，，與函數(shù)的圖象，得出交點(diǎn)的總數(shù)即為所求結(jié)果.【題目詳解】令，先解方程.（1）當(dāng)時(shí)，則，得；（2）當(dāng)時(shí)，則，即，解得，.如下圖所示：直線，，與函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為、、，所以，方程的根的個(gè)數(shù)為，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，這類問題首先將函數(shù)分為內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)，求出外層函數(shù)的若干個(gè)根，再作出這些直線與內(nèi)層函數(shù)圖象的交點(diǎn)總數(shù)即為方程根的個(gè)數(shù)，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題．10、A【解題分析】

由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)三棱柱截掉兩個(gè)三棱錐，利用所給數(shù)據(jù)，求出三棱柱與三棱錐的體積，從而可得結(jié)果.【題目詳解】由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)三棱柱截掉兩個(gè)三棱錐，畫出幾何體的直觀圖，如圖，把幾何體補(bǔ)形為一個(gè)直三棱柱，由三視圖的性質(zhì)可知三棱柱的底面面積，高，所以，,所以，幾何體的體積為.故選A.【題目點(diǎn)撥】本題利用空間幾何體的三視圖重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問題是考查學(xué)生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點(diǎn).觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關(guān)鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對正，寬相等”，還要特別注意實(shí)線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響，對簡單組合體三視圖問題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據(jù)正視圖和側(cè)視圖，確定組合體的形狀.11、A【解題分析】

利用三角恒等變換化簡的解析式，再根據(jù)的圖象變換規(guī)律求得的解析式，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【題目詳解】解：將函數(shù)的圖象上所有的橫坐標(biāo)伸長為原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，令，求得，可得的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角恒等變換，余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解題分析】試題分析：3張卡片不能是同一種顏色，有兩種情形：三種顏色或者兩種顏色，如果是三種顏色，取法數(shù)為，如果是兩種顏色，取法數(shù)為，所以取法總數(shù)為，故選C．考點(diǎn)：分類加法原理與分步乘法原理．【名師點(diǎn)晴】（1）對于一些比較復(fù)雜的既要運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理又要運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)原理的問題，我們可以恰當(dāng)?shù)禺嫵鍪疽鈭D或列出表格，使問題更加直觀、清晰．（2）當(dāng)兩個(gè)原理混合使用時(shí)，一般是先分類，在每類方法里再分步．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、40【解題分析】設(shè)B層中的個(gè)體數(shù)為，則，則總體中的個(gè)體數(shù)為14、【解題分析】

根據(jù)集合,，求出兩集合的交集即可【題目詳解】,故答案為【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了集合交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．15、48【解題分析】分析：從正方體的個(gè)頂點(diǎn)中人取三個(gè)點(diǎn)共有種取法，其中等邊三角形共有個(gè)，作差即可得結(jié)果.詳解：從正方體的個(gè)頂點(diǎn)中人取三個(gè)點(diǎn)共有種取法，其中等邊三角形共有個(gè)，所以非等邊三角形共有個(gè)，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查組合數(shù)的應(yīng)用，屬于簡單題.16、【解題分析】在距繩子兩段兩米處分別取A，B兩點(diǎn)，當(dāng)繩子在線段AB上時(shí)（不含端點(diǎn)），符合要求，所以燈與兩端距離都大于2m的概率為，故填．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）【解題分析】

(1)根據(jù)二次函數(shù),則可設(shè),再根據(jù)題中所給的條件列出對應(yīng)的等式對比得出所求的系數(shù)即可.(2)根據(jù)(1)中所求的求得,再分析對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論求解的最小值即可.(3)根據(jù)題意可知需求與在區(qū)間上的最小值.再根據(jù)對數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性求解最小值即可.【題目詳解】(1)設(shè).①∵,∴,又∵,∴,可得,∴解得即.(2)由題意知,,,對稱軸為.①當(dāng),即時(shí),函數(shù)h(x)在上單調(diào)遞增,即；②當(dāng),即時(shí),函數(shù)h(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,即.綜上,(3)由題意可知,∵函數(shù)在上單調(diào)遞增,故最小值為,函數(shù)在上單調(diào)遞減,故最小值為,∴,解得.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)解析式的方法,二次函數(shù)對稱軸與區(qū)間關(guān)系求解最值的問題,以及恒成立和能成立的問題等.屬于中等題型.18、(1)；單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)【解題分析】

（1）先由函數(shù)圖像過點(diǎn)，求出，得到函數(shù)解析式，再對函數(shù)求導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)的方法，即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）先令在上的最小值為，結(jié)合（1）的結(jié)果，分別討論和兩種情況，即可求出函數(shù)的最小值.【題目詳解】(1)∵函數(shù)的圖象過點(diǎn)∴∴故.令得當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增.所以，單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)令在上的最小值為，由(1)知，當(dāng)時(shí)當(dāng)，在上單調(diào)遞增，∴綜上所述：的最小值.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的應(yīng)用，通常需要對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，最值等即可，屬于?？碱}型.19、（Ⅰ）：，：；（Ⅱ）【解題分析】

（1）利用消去參數(shù)，得到曲線的普通方程，再由，化直線為直角坐標(biāo)方程；（2）與直線的距離為的點(diǎn)在與平行且距離為的兩平行直線上，依題意只有一條平行線與圓相交，另一條平行線與圓相離，利用圓心到直線的距離與半徑關(guān)系，即可求解.【題目詳解】（Ⅰ）由曲線的參數(shù)方程（為參數(shù)，）消去參數(shù)，可得曲線的普通方程.，代入，得直線的直角坐標(biāo)方程為.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直線的直角坐標(biāo)方程為，曲線的直角坐標(biāo)方程為，曲線表示以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓，且原點(diǎn)到直線的距離為.所以要使曲線上恰好存在兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，則須，即.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【題目點(diǎn)撥】本題考查參數(shù)方程與普通方程互化、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程互化，以及直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.20、（1）①②4，6.（2）證明見詳解.【解題分析】

（1）①根據(jù)兩個(gè)元素之差為3，結(jié)合集合的元素，即可求得；②根據(jù)題意要求，寫出集合X中從小到大8個(gè)數(shù)中所有的差值（限定為正數(shù)）的可能，計(jì)算每個(gè)差值出現(xiàn)的次數(shù)，即可求得；（2）采用反證法，假設(shè)不存在滿足條件的k，根據(jù)差數(shù)的范圍推出矛盾即可.【題目詳解】（1）①方程的解有：.②以下規(guī)定兩數(shù)的差均為正，則：列出集合X的從小到大8個(gè)數(shù)中相鄰兩數(shù)的差：1,3,2,4,2,3,1；中間隔一數(shù)的兩數(shù)差（即上一列差數(shù)中相鄰兩數(shù)和）：4,5,6,6,5,4；中間相隔二數(shù)的兩數(shù)差：6,9,8,9,6；中間相隔三數(shù)的兩數(shù)差：10,11,11,10；中間相隔四數(shù)的兩數(shù)差：12,14,12；中間相隔五數(shù)的兩數(shù)差：15,15；中間相隔六數(shù)的兩數(shù)差：16.這28個(gè)差數(shù)中，只有4出現(xiàn)3次、6出現(xiàn)4次，其余都不超過2次，所以k的可能取值有4，6.（2）證明：不妨設(shè)，記，，共13個(gè)差數(shù).假設(shè)不存在滿足條件的k，則這13個(gè)數(shù)中至多兩個(gè)1、兩個(gè)2、兩個(gè)3、兩個(gè)4、兩個(gè)5、兩個(gè)6，從而①又，這與①矛盾.故假設(shè)不成立，結(jié)論成立.即對任意一個(gè)X，存在正整數(shù)k，使得方程至少有三組不同的解.【題目點(diǎn)撥】本題考查集合新定義問題，涉及反證法的使用，本題的關(guān)鍵是要理解題意，小心計(jì)算，大膽求證.21、（I）在內(nèi)單調(diào)遞增.；（II）（i）見解析；（ii）見解析.【解題分析】

（I）；首先寫出函數(shù)的定義域，對函數(shù)求導(dǎo)，判斷導(dǎo)數(shù)在對應(yīng)區(qū)間上的符號，從而得到結(jié)果；（II）（i）對函數(shù)求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)性，求得極值的符號，從而確定出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，得到結(jié)果；（ii）首先根據(jù)題意，列出方程組，借助于中介函數(shù)，證得結(jié)果.【題目詳解】（I）解：由已知，的定義域?yàn)椋?，因此?dāng)時(shí)，，從而，所以在內(nèi)單調(diào)遞增.（II）證明：（i）由（I）知，，令，由，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，又，且，故在內(nèi)有唯一解，