2024屆內(nèi)蒙古太仆寺旗寶昌一中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

2024屆內(nèi)蒙古太仆寺旗寶昌一中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．現(xiàn)有8個(gè)人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人兩兩不相鄰的排法的種數(shù)為（）A． B． C． D．2．已知函數(shù),且,其中是的導(dǎo)函數(shù)，則（）A． B． C． D．3．定義在上的函數(shù)若滿足：①對(duì)任意、，都有；②對(duì)任意，都有，則稱函數(shù)為“中心捺函數(shù)”，其中點(diǎn)稱為函數(shù)的中心.已知函數(shù)是以為中心的“中心捺函數(shù)”，若滿足不等式，當(dāng)時(shí)，的取值范圍為（）A． B． C． D．4．已知雙曲線的離心率為,過(guò)其右焦點(diǎn)作斜率為的直線，交雙曲線的兩條漸近線于兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方），則（）A． B． C． D．5．函數(shù)f(x)=x2ex在區(qū)間(a,a+1)上存在極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)aA．(-3,-2)∪(-1,0) B．(-3,-2) C．(-6．設(shè)是邊長(zhǎng)為的正三角形，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則的值為（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)與分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，則的值為（）A． B． C． D．8．一只袋內(nèi)裝有個(gè)白球，個(gè)黑球，所有的球除顏色外完全相同，連續(xù)不放回地從袋中取球，直到取出黑球?yàn)橹?，設(shè)此時(shí)取出了個(gè)白球，則下列概率等于的是（）A． B． C． D．9．已知，，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．10．設(shè)集合A={x|x>0}，B={x|x2-5x-14<0}，則A．{x|0<x<5} B．{x|2<x<7}C．{x|2<x<5} D．{x|0<x<7}11．對(duì)于平面上點(diǎn)和曲線，任取上一點(diǎn)，若線段的長(zhǎng)度存在最小值，則稱該值為點(diǎn)到曲線的距離，記作，若曲線是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，則點(diǎn)集所表示的圖形的面積為（）A． B． C． D．12．已知兩條不同直線a、b，兩個(gè)不同平面、，有如下命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，，則以上命題正確的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．2 C．1 D．0二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)，則的取值范圍是__________．14．復(fù)數(shù)滿足，則的最小值是___________．15．已知，則a與b的大小關(guān)系______．16．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在四棱錐中，四邊形是平行四邊形，且，．（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）若，，二面角的平面角的余弦值為，求的正弦值．18．（12分）已知數(shù)列滿足，（1）求，并猜想的通項(xiàng)公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中所得的猜想．19．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在以坐標(biāo)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的普通方程，并指出曲線是什么曲線；（2）若直線與曲線相交于兩點(diǎn)，，求的值.20．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知數(shù)列滿足（且），且，設(shè)，，數(shù)列滿足.（1）求證：是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.22．（10分）人站成兩排隊(duì)列，前排人，后排人.（1）一共有多少種站法；（2）現(xiàn)將甲、乙、丙三人加入隊(duì)列，前排加一人，后排加兩人，其他人保持相對(duì)位置不變，求有多少種不同的加入方法.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】先排剩下5人，再?gòu)漠a(chǎn)生的6個(gè)空格中選3個(gè)位置排甲、乙、丙三人，即，選C.2、A【解題分析】分析：求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后由f′（x）=2f（x），求出sinx與cosx的關(guān)系，同時(shí)求出tanx的值，化簡(jiǎn)要求解的分式，最后把tanx的值代入即可．詳解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=sinx-cosx，所以f′（x）=cosx+sinx，由f′（x）=2f（x），得：cosx+sinx=2sinx-2cosx，即3cosx=sinx，所以.所以=.故答案為A.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查求導(dǎo)和三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析轉(zhuǎn)化計(jì)算能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是=.這里利用了“1”的變式，1=.3、C【解題分析】

先結(jié)合題中條件得出函數(shù)為減函數(shù)且為奇函數(shù)，由，可得出，化簡(jiǎn)后得出，結(jié)合可求出，再由結(jié)合不等式的性質(zhì)得出的取值范圍.【題目詳解】由知此函數(shù)為減函數(shù).由函數(shù)是關(guān)于的“中心捺函數(shù)”，知曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故函數(shù)為奇函數(shù)，且函數(shù)在上遞減，于是得，.，.則當(dāng)時(shí)，令m=x，y=n則：?jiǎn)栴}等價(jià)于點(diǎn)（x，y）滿足區(qū)域，如圖陰影部分，由線性規(guī)劃知識(shí)可知為（x，y）與（0，0）連線的斜率，由圖可得，，故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查代數(shù)式的取值范圍的求解，解題的關(guān)鍵就是分析出函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性將題中的不等關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，應(yīng)用到線性規(guī)劃的知識(shí)，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于難題.4、B【解題分析】

由雙曲線的離心率可得a＝b，求得雙曲線的漸近線方程，設(shè)右焦點(diǎn)為（c，0），過(guò)其右焦點(diǎn)F作斜率為2的直線方程為y＝2（x﹣c），聯(lián)立漸近線方程，求得B，C的坐標(biāo)，再由向量共線定理，可得所求比值．【題目詳解】由雙曲線的離心率為，可得ca，即有a＝b，雙曲線的漸近線方程為y＝±x，設(shè)右焦點(diǎn)為（c，0），過(guò)其右焦點(diǎn)F作斜率為2的直線方程為y＝2（x﹣c），由y＝x和y＝2（x﹣c），可得B（2c，2c），由y＝﹣x和y＝2（x﹣c）可得C（，），設(shè)λ，即有0﹣2c＝λ（0），解得λ＝1，即則1．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是離心率和漸近線方程，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．5、A【解題分析】

求得f'(x)=x(2+x)ex，函數(shù)f(x)=x2ex在區(qū)間(a,a+1)【題目詳解】f'(x)=2xe∵函數(shù)f(x)=x2ex在區(qū)間(a,a+1)上存在極值點(diǎn)令f'(x)=0，解得x=0或-2．∴a<0<a+1，或a<-2<a+1，解得：-1<a<0，或-3<a<-2，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-3,-2)∪(-1,0)．故選【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查了推理能力與計(jì)算能力，意在考查轉(zhuǎn)化與劃歸思想的應(yīng)用以及綜合所學(xué)知識(shí)解答問(wèn)題的能力，屬于中檔題．6、D【解題分析】

將作為基向量，其他向量用其表示，再計(jì)算得到答案.【題目詳解】設(shè)是邊長(zhǎng)為的正三角形，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，故答案選D【題目點(diǎn)撥】本題考查了向量的乘法，將作為基向量是解題的關(guān)鍵.7、C【解題分析】

根據(jù)條件可得，與聯(lián)立便可解出和，從而得到的值?！绢}目詳解】①；；又函數(shù)與分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)；，；②；聯(lián)立①②，解得所以；故答案選C【題目點(diǎn)撥】本題考查奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是通過(guò)建立關(guān)于與的方程組求出和的解析式，屬于中檔題。8、D【解題分析】

當(dāng)時(shí)，前2個(gè)拿出白球的取法有種，再任意拿出1個(gè)黑球即可，有種取法，在這3次拿球中可以認(rèn)為按順序排列，由此能求出結(jié)果．【題目詳解】當(dāng)時(shí)，即前2個(gè)拿出的是白球，第3個(gè)是黑球，前2個(gè)拿出白球，有種取法，再任意拿出1個(gè)黑球即可，有種取法，而在這3次拿球中可以認(rèn)為按順序排列，此排列順序即可認(rèn)為是依次拿出的球的順序，即，．故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查超幾何分布概率模型，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解題分析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分別求得的范圍，利用臨界值可比較出大小關(guān)系.【題目詳解】；；且本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠通過(guò)臨界值來(lái)進(jìn)行區(qū)分.10、D【解題分析】試題分析：由B={x|x2-5x-14<0}={x|-2<x<7}，所以考點(diǎn)：集合的運(yùn)算．11、D【解題分析】

根據(jù)可畫(huà)出滿足題意的點(diǎn)所構(gòu)成的平面區(qū)域；分別求解區(qū)域各個(gè)構(gòu)成部分的面積，加和得到結(jié)果.【題目詳解】由定義可知，若曲線為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，則滿足題意的點(diǎn)構(gòu)成如下圖所示的陰影區(qū)域其中，，，，，，又又陰影區(qū)域面積為：即點(diǎn)集所表示的圖形的面積為：本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查新定義運(yùn)算的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)定義，找到距離等邊三角形三邊和頂點(diǎn)的最小距離小于等于的點(diǎn)所構(gòu)成的區(qū)域，易錯(cuò)點(diǎn)是忽略三角形內(nèi)部的點(diǎn)，造成區(qū)域缺失的情況.12、C【解題分析】

直接利用空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系逐一判定即可得答案．【題目詳解】①若a∥α，b?α，則a與b平行或異面，故①錯(cuò)誤；②若a∥α，b∥α，則a∥b，則a與b平行，相交或異面，故②錯(cuò)誤；③若，a?α，則a與β沒(méi)有公共點(diǎn)，即a∥β，故③正確；④若α∥β，a?α，b?β，則a與b無(wú)公共點(diǎn)，∴平行或異面，故④錯(cuò)誤．∴正確的個(gè)數(shù)為1．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查命題真假的判斷，考查直線與平面之間的位置關(guān)系，涉及到線面、面面平行的判定與性質(zhì)定理，是基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、[1，＋∞)【解題分析】函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)等價(jià)于導(dǎo)函數(shù)在此區(qū)間恒大于等于0，故14、【解題分析】

點(diǎn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，要求的最小值，只要找出圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離最小的點(diǎn)即可，求出圓心到原點(diǎn)的距離，最短距離要減去半徑即可得解.【題目詳解】解：復(fù)數(shù)滿足，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，要求的最小值，只要找出圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離最小的點(diǎn)即可，連接圓心與原點(diǎn)，長(zhǎng)度是，最短距離要減去半徑故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，本題解題的關(guān)鍵是看出復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在圓上，根據(jù)圓上到原點(diǎn)的最短距離得到要求的距離，屬于基礎(chǔ)題．15、a＜b【解題分析】

可先利用作差法比較兩數(shù)平方的大小，然后得出兩數(shù)的大小關(guān)系.【題目詳解】解：因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，而，所以得?【題目點(diǎn)撥】本題考查了綜合法與分析法比較兩數(shù)的大小關(guān)系，解題時(shí)可先用分析法進(jìn)行分析，再用綜合法進(jìn)行書(shū)寫(xiě)解題過(guò)程.16、.【解題分析】

作出函數(shù)f（x）的圖象，設(shè)f（a）=f（b）=t，根據(jù)否定，轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和取值范圍即可．【題目詳解】作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：設(shè)f（a）=f（b）=t，則0＜t≤，∵a＜b，∴a≤1，b＞﹣1，則f（a）=ea=t，f（b）=2b﹣1=t，則a=lnt，b=（t+1），則a﹣2b=lnt﹣t﹣1，設(shè)g（t）=lnt﹣t﹣1，0＜t≤，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g′（t）=﹣1=，則當(dāng)0＜t≤時(shí)g′（t）＞0，此時(shí)函數(shù)g（t）為增函數(shù)，∴g（t）≤g（）=ln﹣﹣1=﹣﹣2，即實(shí)數(shù)a﹣2b的取值范圍為（﹣∞，﹣﹣2]，故答案為：（﹣∞，﹣﹣2]．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，涉及函數(shù)與方程的關(guān)系，利用換元法轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）0；（2）.【解題分析】

（1）首先設(shè)與的交點(diǎn)為，連接.根據(jù)已知及三角形全等的性質(zhì)可證明面，即可得到異面直線與所成角的余弦值.（2）首先作于點(diǎn)，連接，易證，得到，即為二面角的一個(gè)平面角，再利用余弦定理即可得到的正弦值.【題目詳解】（1）設(shè)與的交點(diǎn)為，連接.因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，且，所以四邊形是菱?因?yàn)?，，，所以?又因?yàn)?，，及，所以，，即，?故異面直線與夾角的余弦值為.（2）作于點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?，，所以，所以，，，即為二面角的一個(gè)平面角，設(shè)，則，，解得，.所以的正弦值為．【題目點(diǎn)撥】本題第一問(wèn)考查異面直線成角問(wèn)題，第二問(wèn)考查二面角的計(jì)算，屬于中檔題.18、(1)，猜想.(2)見(jiàn)解析.【解題分析】分析：（1）直接由原式計(jì)算即可得出，然后根據(jù)數(shù)值規(guī)律得，（2）直接根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的三個(gè)步驟證明即可.詳解：（1），猜想.（2）當(dāng)時(shí)，命題成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，即，故當(dāng)時(shí)，，故時(shí)猜想也成立.綜上所述，猜想成立，即.點(diǎn)睛：考查數(shù)學(xué)歸納法，對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的證明過(guò)程的熟悉是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.19、(1)曲線的軌跡是以為圓心，3為半徑的圓.(2)【解題分析】

（1）由曲線的參數(shù)方程，消去參數(shù)，即可得到曲線的普通方程，得出結(jié)論；（2）把直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，再由點(diǎn)到直線的距離公式，列出方程，即可求解?！绢}目詳解】（1）由（為參數(shù)），消去參數(shù)得，故曲線的普通方程為.曲線的軌跡是以為圓心，3為半徑的圓.（2）由，展開(kāi)得，的直角坐標(biāo)方程為.則圓心到直線的距離為，則，解得.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了參數(shù)方程與普通方程，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化及應(yīng)用，重點(diǎn)考查了轉(zhuǎn)化與化歸能力.通常遇到求曲線交點(diǎn)、距離、線段長(zhǎng)等幾何問(wèn)題時(shí)，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標(biāo)方程后求解，或者直接利用極坐標(biāo)的幾何意義求解.要結(jié)合題目本身特點(diǎn)，確定選擇何種方程.20、（1）；（2）.【解題分析】

(1)當(dāng)時(shí)，討論取值范圍去絕對(duì)值符號(hào)，計(jì)算不等式.(2)利用絕對(duì)值不等式求函數(shù)最大值為，計(jì)算得到答案.【題目詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)不等式即為①當(dāng)時(shí)不等