2024屆湖北省鄂東南省級示范高中教育教學改革聯(lián)盟數(shù)學高二下期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

2024屆湖北省鄂東南省級示范高中教育教學改革聯(lián)盟數(shù)學高二下期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在極坐標系中，設(shè)圓與直線交于兩點，則以線段為直徑的圓的極坐標方程為（）A． B．C． D．2．已知函數(shù)()在上的最大值為3，則()A． B． C． D．3．已知復(fù)數(shù)滿足方程，復(fù)數(shù)的實部與虛部和為，則實數(shù)（）A． B． C． D．4．橢圓C：x24+y23=1的左右頂點分別為AA．[12,34]5．若x，y滿足約束條件，則的最大值為（）A． B．1 C．2 D．46．有六人排成一排，其中甲只能在排頭或排尾，乙、丙兩人必須相鄰，則滿足要求的排法有（）A．34種 B．48種C．96種 D．144種7．已知函數(shù)，則=（）A． B． C． D．8．若隨機變量服從正態(tài)分布，則（）附：，．A．1．3413 B．1．2718 C．1．1587 D．1．12289．已知直線與直線垂直，則的關(guān)系為（）A． B． C． D．10．設(shè)函數(shù)在R上可導，其導函數(shù)為，且函數(shù)的圖像如題（8）圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是A．函數(shù)有極大值和極小值B．函數(shù)有極大值和極小值C．函數(shù)有極大值和極小值D．函數(shù)有極大值和極小值11．在平面直角坐標系中,方程表示在x軸、y軸上的截距分別為的直線,類比到空間直角坐標系中,在軸、軸、軸上的截距分別為的平面方程為()A． B．C． D．12．給出定義：設(shè)是函數(shù)的導函數(shù)，是函數(shù)的導函數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”.已知函數(shù)的拐點是，則（）A． B． C． D．1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)，過下列點分別作曲線的切線，其中存在三條直線與曲線相切的點是__________．14．已知，，則______.15．在極坐標系中，已知兩點，，則線段的長度為__________.16．從雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左焦點F引圓x2+y2=a2的切線，切點為三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為菱形，平面ABCD，，，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點．Ⅰ證明：；Ⅱ設(shè)H為線段PD上的動點，若線段EH長的最小值為，求直線PD與平面AEF所成的角的余弦值．18．（12分）張華同學上學途中必須經(jīng)過四個交通崗，其中在崗遇到紅燈的概率均為，在崗遇到紅燈的概率均為．假設(shè)他在4個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，X表示他遇到紅燈的次數(shù)．（1）若，就會遲到，求張華不遲到的概率；（2）求EX．19．（12分）已知函數(shù)．（I）求曲線在點處的切線方程．（Ⅱ）若直線為曲線的切線，且經(jīng)過原點，求直線的方程及切點坐標．20．（12分）在長方體中，，，，是的中點.（1）求四棱錐的體積；（2）求異面直線與所成角的大?。ńY(jié)果用反三角形函數(shù)值表示）.21．（12分）時下，租車自駕游已經(jīng)比較流行了．某租車點的收費標準為：不超過天收費元，超過天的部分每天收費元（不足天按天計算）．甲、乙兩人要到該租車點租車自駕到某景區(qū)游覽，他們不超過天還車的概率分別為和，天以上且不超過天還車的概率分別為和，兩人租車都不會超過天．（1）求甲所付租車費比乙多的概率；（2）設(shè)甲、乙兩人所付的租車費之和為隨機變量,求的分布列和數(shù)學期望.22．（10分）某同學參加了今年重慶市舉辦的數(shù)學、物理、化學三門學科競賽的初賽，在成績公布之前，老師估計他能進復(fù)賽的概率分別為、、，且這名同學各門學科能否進復(fù)賽相互獨立．（1）求這名同學三門學科都能進復(fù)賽的概率；（2）設(shè)這名同學能進復(fù)賽的學科數(shù)為隨機變量X，求X的分布列及數(shù)學期望．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】試題分析：以極點為坐標原點，極軸為軸的正半軸，建立直角坐標系，則由題意，得圓的直角坐標方程，直線的直角坐標方程．由，解得或，所以，從而以為直徑的圓的直角坐標方程為，即．將其化為極坐標方程為：，即故選A．考點：簡單曲線的極坐標方程．2、B【解題分析】

對函數(shù)進行求導，得，，令，，對進行分類討論，求出每種情況下的最大值，根據(jù)已知條件可以求出的值.【題目詳解】解:，，令，，①當時，，，，在上單調(diào)遞增，，即（舍去），②當時，，，；時，，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，即，令()，，在上單調(diào)遞減，且，，故選B.【題目點撥】本題考查了已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值求參數(shù)問題，求導、進行分類討論函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.3、D【解題分析】分析：由復(fù)數(shù)的運算，化簡得到z，由實部與虛部的和為1，可求得的值．詳解：因為所以因為復(fù)數(shù)的實部與虛部和為即所以所以選D點睛：本題考查了復(fù)數(shù)的基本運算和概念，考查了計算能力，是基礎(chǔ)題．4、B【解題分析】設(shè)P點坐標為(x0,y0)，則于是kPA1∵kPA2【考點定位】直線與橢圓的位置關(guān)系5、D【解題分析】

已知x，y滿足約束條件，畫出可行域，目標函數(shù)z＝y(tǒng)﹣2x，求出z與y軸截距的最大值，從而進行求解；【題目詳解】∵x，y滿足約束條件，畫出可行域，如圖：由目標函數(shù)z＝y(tǒng)﹣2x的幾何意義可知，z在點A出取得最大值，A（﹣3，﹣2），∴zmax＝﹣2﹣2×（﹣3）＝4，故選：D．【題目點撥】在解決線性規(guī)劃的小題時，常用步驟為：①由約束條件畫出可行域?②理解目標函數(shù)的幾何意義，找出最優(yōu)解的坐標?③將坐標代入目標函數(shù)，求出最值；也可將可行域各個角點的坐標代入目標函數(shù)，驗證，求出最值．6、C【解題分析】試題分析：,故選C.考點：排列組合.7、C【解題分析】

由積分運算、微積分基本定理、積分的幾何意義分別求出，從而求得.【題目詳解】因為由微積分基本定理得：，由積分的幾何意義得：所以，故選C.【題目點撥】本題考查積分的運算法則及積分的幾何意義的運用，考查數(shù)形結(jié)合思想和運算求解能力.8、C【解題分析】

根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性，以及，可得結(jié)果.【題目詳解】，故選：C【題目點撥】本題考查正態(tài)分布，重點把握正態(tài)曲線的對稱性，屬基礎(chǔ)題.9、C【解題分析】

根據(jù)兩直線垂直，列出等量關(guān)系，化簡即可得出結(jié)果.【題目詳解】因為直線與直線垂直，所以，即選C【題目點撥】根據(jù)兩直線垂直求出參數(shù)的問題，熟記直線垂直的充要條件即可，屬于?？碱}型.10、D【解題分析】

則函數(shù)增；則函數(shù)減；則函數(shù)減；則函數(shù)增；選D.【考點定位】判斷函數(shù)的單調(diào)性一般利用導函數(shù)的符號，當導函數(shù)大于0則函數(shù)遞增，當導函數(shù)小于0則函數(shù)遞減11、A【解題分析】

平面上直線方程的截距式推廣到空間中的平面方程的截距式是.【題目詳解】由類比推理得：若平面在軸、軸、軸上的截距分別為，則該平面的方程為：，故選A.【題目點撥】平面中的定理、公式等類比推理到空間中時，平面中的直線變?yōu)榭臻g中的直線或平面，平面中的面積變?yōu)榭臻g中的體積.類比推理得到的結(jié)論不一定正確，必要時要對得到的結(jié)論證明.如本題中，可令，看是否為.12、D【解題分析】

遇到新定義問題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，在該題中求出原函數(shù)的導函數(shù)，再求出導函數(shù)的導函數(shù)，由導函數(shù)的導函數(shù)等于0，即可得到拐點，問題得以解決．【題目詳解】解：函數(shù)，，，因為方程有實數(shù)解，則稱點，為函數(shù)的“拐點”，已知函數(shù)的“拐點”是，所以，即，故選：．【題目點撥】本題考查導數(shù)的運算．導數(shù)的定義，和拐點，根據(jù)新定義題，考查了函數(shù)導函數(shù)零點的求法；解答的關(guān)鍵是函數(shù)值滿足的規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解題分析】

設(shè)切點坐標為，求出切線方程，將點代入切線方程，整理得，令，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求得極值，利用數(shù)形結(jié)合列不等式，將五個點逐一代入檢驗即可得結(jié)果.【題目詳解】設(shè)切點坐標為，則切線方程為，設(shè)切線過點，代入切線方程方程可得，整理得，令，則，過能作出三條直線與曲線相切的充要條件為：方程有三個不等的實數(shù)根，即函數(shù)有三個不同的零點，故只需，分別把，代入可以驗證，只有符合條件，故答案為.【題目點撥】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值以及函數(shù)的零點，屬于中檔題.對于與“三次函數(shù)”的零點個數(shù)問題，往往考慮函數(shù)的極值符號來解決,設(shè)函數(shù)的極大值為，極小值為：一個零點或；兩個零點或；三個零點.14、【解題分析】

利用兩角差的正切公式展開，代入相應(yīng)值可計算出的值．【題目詳解】.【題目點撥】本題考查兩角差的正切公式的應(yīng)用，解題時，首先應(yīng)利用已知角去配湊所求角，然后在利用兩角差的公式展開進行計算，考查運算求解能力，屬于中等題．15、4【解題分析】

可將點P和點Q先化為直角坐標系下的點，從而利用距離公式求解.【題目詳解】根據(jù)，可將化為直角坐標點為，將化為直角坐標點為，從而.【題目點撥】本題主要考查極坐標點和直角坐標點的互化，距離公式，難度不大.16、b-a【解題分析】試題分析：如圖所示，設(shè)雙曲線的右焦點為F1，連接PF1，OM，OT，則PF-PF1=2a，在RtΔFTO中，OF=c，OT=a，所以FT=OF2所以，所以MO=12PF1=考點：1.雙曲線的定義；2.直線與圓相切；3.數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）根據(jù)正三角形性質(zhì)得AE⊥BC，即得AE⊥AD，再根據(jù)PA⊥平面ABCD得AE⊥PA,由線面垂直判定定理得EA⊥平面PAD,即得AE⊥PD；（2）先根據(jù)條件建立空間直角坐標系，設(shè)立各點坐標，根據(jù)方程組解得平面AEF一個法向量，由向量數(shù)量積得向量夾角，最后根據(jù)向量夾角與線面角互余關(guān)系得結(jié)果.【題目詳解】（1）連接AC，因為底面ABCD為菱形，所以三角形ABC為正三角形，所以AE⊥BC，又AD//BC，所以AE⊥AD，則又PA⊥平面ABCD，所以AE⊥PA,由線面垂直判定定理得EA⊥平面PAD,所以AE⊥PD（2）過A作AH⊥PD于H，連HE，由（1）得AE⊥平面PAD所以EH⊥PD，即EH=，∵AE=，∴AH=，∴PA=2以A為原點，AE，AD，AP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，A（0,0,0），E（，0,0），D（0,2,0），C（，1,0），P（0,0,2）∴F（，，1）∵，，∴平面AEF的法向量又，∴所以直線PD與平面AEF所成的角的余弦值為【題目點撥】本題主要考查線面垂直的判定和性質(zhì)及利用空間向量求線面角，屬中等難度題．18、（1）（2）【解題分析】

（1）；．故張華不遲到的概率為．（2）的分布列為

0

1

2

3

4

．19、（Ⅰ）4x﹣y﹣18＝0（Ⅱ）y＝13x，切點為（﹣2，﹣26）【解題分析】

（Ⅰ）求得函數(shù)的導數(shù)3x2+1，求得在點切線的斜率和切點的坐標，即可求解切線的方程；（Ⅱ）設(shè)切點為（m，n），求得切線的斜率為1+3m2，根據(jù)切線過原點，列出方程，求得的值，進而可求得切線的方程.【題目詳解】（Ⅰ）由題意，函數(shù)f（x）＝x3+x﹣16的導數(shù)為3x2+1，得，即曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為4，且切點為（1，﹣14），所以切線方程為y+14＝4（x﹣1），即為4x﹣y﹣18＝0；（Ⅱ）設(shè)切點為（m，n），可得切線的斜率為1+3m2，又切線過原點，可得1+3m2，解得m＝﹣2，即切點為（﹣2，﹣26），所以切線方程為y+26＝13（x+2），即y＝13x．【題目點撥】本題主要考查了導數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，其中解答中熟記曲線在某點處的切線方程的求解方法，以及合理利用導數(shù)的幾何意義求得切線的斜率，列出方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）；（2）【解題分析】

（1）先求出,由此能求出四棱錐的體積。（2）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線與所成角的大小。【題目詳解】（1）在長方體中，，，，是的中點.，四棱錐的體積（2）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，，設(shè)異面直線與所成角為，則，異面直線與所成角為【題目點撥】本題考查了棱錐的體積公式，解題的關(guān)鍵是熟記棱錐體積公式，同時也考查了用空間直角坐標系求立體幾何中異面直線所成的角，此題需要一定的計算能力，屬于中檔題。21、（1）；（2）見解析【解題分析】

（1）將情況分為