遼寧沈陽市第31中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

遼寧沈陽市第31中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知全集，集合,，則（）A． B．C． D．2．某同學(xué)同時拋擲兩顆骰子，得到的點數(shù)分別記為、，則雙曲線的離心率的概率是（）A． B． C． D．3．已知，且恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．4．劉徽是我國魏晉時期杰出的數(shù)學(xué)家，他采用了以直代曲、無限趨近、內(nèi)夾外逼的思想，創(chuàng)立了割圓術(shù)，即從半徑為1尺的圓內(nèi)接正六邊形開始計算面積，如圖是一個圓內(nèi)接正六邊形，若向圓內(nèi)隨機投擲一點，則該點落在正六邊形內(nèi)的概率為（）A． B． C． D．5．若，，，則（）A． B．C． D．6．若,則()A． B． C． D．7．已知過點且與曲線相切的直線的條數(shù)有（）．A．0 B．1 C．2 D．38．在直角坐標系中，一個質(zhì)點從出發(fā)沿圖中路線依次經(jīng)過，，，，按此規(guī)律一直運動下去，則（）A．1006 B．1007 C．1008 D．10099．已知是函數(shù)的零點，是函數(shù)的零點，且滿足，則實數(shù)的最小值是（）.A．-1 B． C． D．10．若實軸長為2的雙曲線上恰有4個不同的點滿足，其中，，則雙曲線C的虛軸長的取值范圍為（）A． B． C． D．11．已知等差數(shù)列的前項和為，，且，則（）A．6 B．7 C．8 D．912．設(shè)為隨機變量，，若隨機變量的數(shù)學(xué)期望，則等于（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，存在唯一的負數(shù)零點，則實數(shù)的取值范圍是________.14．在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程（i為虛數(shù)單位），________15．設(shè)拋物線的準線方程為__________.16．已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是___．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）（1）化簡求值：（2）化簡求值：+18．（12分）已知（1+m)n(m是正實數(shù))的展開式的二項式系數(shù)之和為128,展開式中含x項的系數(shù)為84，(I)求m,n的值(II)求（1+m)n(1-x)的展開式中有理項的系數(shù)和.19．（12分）已知函數(shù)當時，求函數(shù)在處的切線方程；當時，求函數(shù)的最大值。20．（12分）在一次考試中，某班級50名學(xué)生的成績統(tǒng)計如下表，規(guī)定75分以下為一般，大于等于75分小于85分為良好，85分及以上為優(yōu)秀．分數(shù)697374757778798082838587899395合計人數(shù)24423463344523150經(jīng)計算，樣本的平均值，標準差．為評判該份試卷質(zhì)量的好壞，從其中任取一人，記其成績?yōu)閄，并根據(jù)以下不等式進行評判：①；②；③．評判規(guī)則：若同時滿足上述三個不等式，則被評為優(yōu)秀試卷；若僅滿足其中兩個不等式，則被評為合格試卷；其他情況，則被評為不合格試卷．（1）試判斷該份試卷被評為哪種等級；（2）按分層抽樣的方式從3個層次的學(xué)生中抽出10名學(xué)生，再從抽出的10名學(xué)生中隨機抽出4人進行學(xué)習方法交流，用隨機變量表示4人中成績優(yōu)秀的人數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．21．（12分）某電視臺舉辦闖關(guān)活動，甲、乙兩人分別獨立參加該活動，每次闖關(guān)，甲成功的概率為，乙成功的概率為.（1）甲參加了次闖關(guān)，求至少有次闖關(guān)成功的概率；（2）若甲、乙兩人各進行次闖關(guān)，記兩人闖關(guān)成功的總次數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.22．（10分）大型綜藝節(jié)目《最強大腦》中，有一個游戲叫做盲擰魔方，就是玩家先觀察魔方狀態(tài)并進行記憶，記住后蒙住眼睛快速還原魔方．根據(jù)調(diào)查顯示，是否喜歡盲擰魔方與性別有關(guān)．為了驗證這個結(jié)論，某興趣小組隨機抽取了100名魔方愛好者進行調(diào)查，得到的部分數(shù)據(jù)如表所示：已知在全部100人中隨機抽取1人抽到喜歡盲擰的概率為．喜歡盲擰不喜歡盲擰總計男10女20總計100表（1）并邀請這100人中的喜歡盲擰的人參加盲擰三階魔方比賽，其完成時間的頻率分布如表所示：完成時間（分鐘）[0，10）[10，20）[20，30）[30，40]頻率0.20.40.30.1表（2）（Ⅰ）將表（1）補充完整，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為是否喜歡盲擰與性別有關(guān)？（Ⅱ）現(xiàn)從表（2）中完成時間在[30，40]內(nèi)的人中任意抽取2人對他們的盲擰情況進行視頻記錄，記完成時間在[30，40]內(nèi)的甲、乙、丙3人中恰有一人被抽到為事件A，求事件A發(fā)生的概率．（參考公式：，其中）P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

試題分析：，所以．考點：集合的交集、補集運算．2、A【解題分析】由題意知本題是一個古典概型，∵試驗發(fā)生包含的事件是同時擲兩顆骰子，得到點數(shù)分別為a，b，共有6×6=36種結(jié)果滿足條件的事件是e=∴b＞a，符合b＞a的情況有：當a=1時，有b=3，4，5，6四種情況；當b=2時，有a=5，6兩種情況，總共有6種情況．∴概率為．故選A3、D【解題分析】

由題意可構(gòu)造函數(shù)，由在上恒成立，分離參數(shù)并構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性并求得最小值，即可求出的取值范圍.【題目詳解】由，得恒成立，令，即，，則在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，當時，成立，當時，等價于，令，則，所以在上單調(diào)遞減，，即故選：D【題目點撥】本題主要考查不等式恒成立問題的解法，考查導(dǎo)數(shù)和構(gòu)造函數(shù)的應(yīng)用，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化能力和計算能力，屬于中檔題.4、D【解題分析】

由面積公式分別計算出正六邊形與圓的面積，由幾何概型的概率計算公式即可得到答案【題目詳解】由圖可知：，故選D.【題目點撥】本題考查幾何概型，屬于基礎(chǔ)題。5、C【解題分析】

直接由微積分基本定理計算出可得．【題目詳解】因為，，，所以，故選：C.【題目點撥】本題考查微積分基本定理，掌握基本初等函數(shù)的積分公式是解題關(guān)鍵．6、D【解題分析】

由于兩個對數(shù)值均為正，故m和n一定都小于1，再利用對數(shù)換底公式，將不等式等價變形為以10為底的對數(shù)不等式，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較m、n的大小即可【題目詳解】∵∴0＜n＜1，0＜m＜1且即lg0.5（）>0?lg0.5（）>0∵lg0.5<0，lgm＜0，lgn＜0∴l(xiāng)gn﹣lgm<0即lgn<lgm?n<m∴1＞m＞n＞0故選D．【題目點撥】本題考查了對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對數(shù)的運算法則及其換底公式的應(yīng)用，利用圖象和性質(zhì)比較大小的方法7、C【解題分析】

設(shè)切點為，則，由于直線經(jīng)過點，可得切線的斜率，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點處的切線斜率，建立關(guān)于的方程，從而可求方程．【題目詳解】若直線與曲線切于點，則，又∵，∴，∴，解得，，∴過點與曲線相切的直線方程為或，故選C．【題目點撥】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，求解曲線的切線的方程，其中解答中熟記利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線的方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．8、D【解題分析】

分析：由題意得，即，觀察前八項，得到數(shù)列的規(guī)律，求出即可.詳解：由直角坐標系可知，，即，由此可知，數(shù)列中偶數(shù)項是從1開始逐漸遞增的，且都等于所在的項數(shù)除以2，則，每四個數(shù)中有一個負數(shù)，且為每組的第三個數(shù)，每組的第一個數(shù)為其組數(shù)，每組的第一個數(shù)和第三個數(shù)是互為相反數(shù)，因為，則，，故選D.點睛：本題考查了歸納推理的問題，關(guān)鍵是找到規(guī)律，屬于難題.歸納推理的一般步驟:一、通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì).二、從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般性命題(猜想）.常見的歸納推理分為數(shù)的歸納和形的歸納兩類：(1)數(shù)的歸納包括數(shù)的歸納和式子的歸納，解決此類問題時，需要細心觀察，尋求相鄰項及項與序號之間的關(guān)系，同時還要聯(lián)系相關(guān)的知識，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等；(2)形的歸納主要包括圖形數(shù)目的歸納和圖形變化規(guī)律的歸納.9、A【解題分析】

先根據(jù)的單調(diào)性確定出最小值從而確定出的值，再由不等式即可得到的范圍，根據(jù)二次函數(shù)零點的分布求解出的取值范圍.【題目詳解】因為，所以當時，，當時，，所以在上遞減，在上遞增，所以，所以，又因為，所以，因為對應(yīng)的，且有零點，（1）當時，或，所以，所以，所以，（2）當時，或，此時，所以，綜上可知：，所以.故選：A.【題目點撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的零點以及根據(jù)二次函數(shù)的零點分布求解參數(shù)范圍，屬于綜合性問題，難度較難.其中處理二次函數(shù)的零點分布問題，除了直接分析還可以采用畫圖象的方法進行輔助分析.10、C【解題分析】

設(shè)點，由結(jié)合兩點間的距離公式得出點的軌跡方程，將問題轉(zhuǎn)化為雙曲線與點的軌跡有個公共點，并將雙曲線的方程與動點的軌跡方程聯(lián)立，由得出的取值范圍，可得出答案．【題目詳解】依題意可得，設(shè)，則由，得，整理得.由得，依題意可知，解得，則雙曲線C的虛軸長.11、D【解題分析】分析：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由且，可得，，解出即可得出.詳解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由且，，，解得，則.故選：D.點睛：(1)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用方程的思想來解決問題．(2)數(shù)列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法．12、A【解題分析】

根據(jù)解得，所以.【題目詳解】因為，得，即.所以.故選【題目點撥】本題主要考查二項分布，同時考查了數(shù)學(xué)期望，熟記公式是解題的關(guān)鍵，屬于簡單題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

對，，三種情況分別討論可得到取值范圍.【題目詳解】當時，而時，，則零點在右段函數(shù)取得，故時，，解得；當時，不成立；當時，負零點在左端點取得，于是時，，成立；綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.【題目點撥】本題主要考查分段函數(shù)含參零點問題，意在考查學(xué)生的分類討論能力，計算能力，分析能力，難度較大.14、-.【解題分析】分析：首先對等式的右邊進行復(fù)數(shù)的除法運算，得到最簡形式，設(shè)出要求的復(fù)數(shù)的結(jié)果，把設(shè)出的結(jié)果代入等式，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件寫出關(guān)于x的方程，解方程即可．詳解：原方程化簡為,設(shè)z=x+yi（x、y∈R），代入上述方程得x2+y2+2xi=1﹣i，∴x2+y2=1且2x=﹣1，解得x=﹣且y=±，∴原方程的解是z=﹣.故答案為﹣.點睛：本題主要考查復(fù)數(shù)的除法和乘方運算，考查復(fù)數(shù)相等的充要條件，是一個基礎(chǔ)題，解題時沒有規(guī)律和技巧可尋，只要認真完成，則一定會得分．15、【解題分析】

由題意結(jié)合拋物線的標準方程確定其準線方程即可.【題目詳解】由拋物線方程可得，則，故準線方程為.故答案為：．【題目點撥】本題主要考查由拋物線方程確定其準線的方法，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

對的范圍分類討論函數(shù)的單調(diào)性，再利用可判斷函數(shù)在上遞增，利用函數(shù)的單調(diào)性將轉(zhuǎn)化成：，解得：，問題得解.【題目詳解】當時，，它在上遞增，當時，，它在上遞增，又所以在上遞增，所以可化為：，解得：.所以實數(shù)的取值范圍是故填：【題目點撥】本題主要考查了分類思想及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化能力及計算能力，屬于中檔題。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)1，(2)【解題分析】

（1）利用倍角公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式化簡求值；（2）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式及三角函數(shù)的和差化積化簡求值．【題目詳解】（1）===；（2）+=+==（﹣）==．【題目點撥】本題考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，考查誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，是中檔題．18、(1),.(2)0.【解題分析】分析：（1）先根據(jù)二項式系數(shù)性質(zhì)得，解得n，再根據(jù)二項式展開式的通項公式得含x項的系數(shù)為，解得m,（2）先根據(jù)二項式展開式的通項公式得，再求的展開式有理項的系數(shù)和.詳解：(1)由題意可知，，解得含項的系數(shù)為，(2)的展開項通項公式為的展開式有理項的系數(shù)和為0點睛：求二項展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第項，再由特定項的特點求出值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項，再由通項寫出第項，由特定項得出值，最后求出其參數(shù).19、（1）（2）答案不唯一，具體見解析【解題分析】

（1）當時，，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程；（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論，，三種情況函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的最大值.【題目詳解】解：當時，，，所以切線方程為，即當時，當，，單調(diào)遞增，此時，當時，當，，單調(diào)遞減，當，，單調(diào)遞增，此時,又，所以當時，當時，.當時，當，，單調(diào)遞減，此時綜上，當時，，當時，.【題目點撥】本題第二問考查了根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，第二問的難點是當時，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)的最大值是或，需做差討論得到和的大小關(guān)系.20、（1）該份試卷應(yīng)被評為合格試卷；（2）見解析，1.2.【解題分析】

（1）根據(jù)頻數(shù)分布表，計算出，的值，由此判斷出“該份試卷為合格試卷”；（2）利用超幾何分布分布列計算公式，計算出分布列，并求得數(shù)學(xué)期望．【題目詳解】解：（1），，，因為考生成績滿足兩個不等式，所以該份試卷應(yīng)被評為合格試卷；（2）50人中成績一般、良好及優(yōu)秀的比例為，所以所抽出的10人中，成績優(yōu)秀的有3人，所以的取值可能為0，1，2，3，，，，，所以隨機變量的分布列為：0123故．【題目點撥】本題考查了正態(tài)分布的概念，考查頻率的計算，超幾何分布的分布列及其數(shù)學(xué)期望的計算，屬于中檔題．21、（1）；（2）.【解題分析】

（1）這是一個獨立重復(fù)試驗，利用獨立重復(fù)試驗的公式即可計算甲參加了次闖關(guān)，求至少有次闖關(guān)成功的概率；（