北京市朝陽區(qū)17中2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末預(yù)測試題含解析

北京市朝陽區(qū)17中2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末預(yù)測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)集合A={x|x>0}，B={x|x2-5x-14<0}，則A．{x|0<x<5} B．{x|2<x<7}C．{x|2<x<5} D．{x|0<x<7}2．PM2.5是指空氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物（也稱可入肺顆粒物），為了探究車流量與PM2.5的濃度是否相關(guān)，現(xiàn)采集到某城市周一至周五某時間段車流量與PM2.5濃度的數(shù)據(jù)如下表：時間周一周二周三周四周五車流量（萬輛）100102108114116濃度（微克）7880848890根據(jù)上表數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出與的線性回歸方程是（）參考公式：，；參考數(shù)據(jù)：，；A． B． C． D．3．函數(shù)f(x)=3A． B． C． D．4．函數(shù)的極值點所在的區(qū)間為（）A． B． C． D．5．若，則，.設(shè)一批白熾燈的壽命（單位：小時）服從均值為1000，方差為400的正態(tài)分布，隨機從這批白熾燈中選取一只，則（）A．這只白熾燈的壽命在980小時到1040小時之間的概率為0.8186B．這只白熾燈的壽命在600小時到1800小時之間的概率為0.8186C．這只白熾燈的壽命在980小時到1040小時之間的概率為0.9545D．這只白熾燈的壽命在600小時到1800小時之間的概率為0.95456．方程表示雙曲線的一個充分不必要條件是（）A．－3＜m＜0 B．－3＜m＜2C．－3＜m＜4 D．－1＜m＜37．.若直線是曲線的一條切線，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，質(zhì)點間隔3分鐘先后從點，繞原點按逆時針方向作角速度為弧度/分鐘的勻速圓周運動，則與的縱坐標(biāo)之差第4次達(dá)到最大值時，運動的時間為（）A．37.5分鐘 B．40.5分鐘 C．49.5分鐘 D．52.5分鐘9．若函數(shù)至少存在一個零點，則的取值范圍為（）A． B． C． D．10．閱讀如圖所示的程序框圖，則輸出的S等于()A．38 B．40 C．20 D．3211．已知拋物線上一動點到其準(zhǔn)線與到點M（0，4）的距離之和的最小值為，F(xiàn)是拋物線的焦點，是坐標(biāo)原點，則的內(nèi)切圓半徑為A． B． C． D．12．點是橢圓上的一個動點,則的最大值為(

)A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若為正實數(shù)，則的最大值為_______．14．在平面幾何中，以下命題都是真命題：①過一點有且僅有一條直線與已知直線平行；②過一點有且僅有一條直線與已知直線垂直；③平行于同一條直線的兩直線平行；④垂直于同一條直線的兩直線平行；⑤兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．則在立體幾何中，上述命題仍為真命題的是______．（寫出所有符合要求的序號）15．已知定義域為的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，對任意，均滿足：.若，則不等式的解集是__________．16．函數(shù)，若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)恰有5個不同的根，則實數(shù)的取值范圍是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若方程有三個實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）如圖,某軍艦艇位于島的的正西方處,且與島的相距12海里.經(jīng)過偵察發(fā)現(xiàn),國際海盜船以10海里/小時的速度從島嶼出發(fā)沿北偏東30°方向逃竄,同時,該軍艦艇從處出發(fā)沿北偏東的方向勻速追趕國際海盜船,恰好用2小時追上.（1）求該軍艦艇的速度.（2）求的值.19．（12分）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，，求證：．20．（12分）已知非零向量，且，求證：．21．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實數(shù)的最小值；（3）若，使成立，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù).(1)判斷的奇偶性并予以證明；(2)求不等式的解集.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】試題分析：由B={x|x2-5x-14<0}={x|-2<x<7}，所以考點：集合的運算．2、B【解題分析】

利用最小二乘法做出線性回歸直線的方程的系數(shù)，寫出回歸直線的方程，得到結(jié)果．【題目詳解】由題意，b==0.72，a=84﹣0.72×108=6.24，∴=0.72x+6.24，故選：B．【題目點撥】本題主要考查線性回歸方程，屬于難題.求回歸直線方程的步驟：①依據(jù)樣本數(shù)據(jù)畫出散點圖，確定兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系；②計算的值；③計算回歸系數(shù)；④寫出回歸直線方程為；回歸直線過樣本點中心是一條重要性質(zhì)，利用線性回歸方程可以估計總體，幫助我們分析兩個變量的變化趨勢.3、B【解題分析】

取特殊值排除得到答案.【題目詳解】f(x)=3x故答案選B【題目點撥】本題考查了函數(shù)圖像的判斷，特殊值可以簡化運算.4、A【解題分析】

求出導(dǎo)函數(shù)，然后運用函數(shù)零點存在性定理進(jìn)行驗證可得所求區(qū)間．【題目詳解】∵，∴，且函數(shù)單調(diào)遞增．又，∴函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點，即函數(shù)的極值點在區(qū)間內(nèi)．故選A．【題目點撥】本題考查函數(shù)零點存在性定理的應(yīng)用，解答本題時要弄清函數(shù)的極值點即為導(dǎo)函數(shù)的零點，同時還應(yīng)注意只有在導(dǎo)函數(shù)零點左右兩側(cè)的函數(shù)值變號時，該零點才為極值點，否則導(dǎo)函數(shù)的零點就不是極值點．5、A【解題分析】

先求出，，再求出和，即得這只白熾燈的壽命在980小時到1040小時之間的概率.【題目詳解】∵，，∴，，所以，，∴.故選：A【題目點撥】本題主要考查正態(tài)分布的圖像和性質(zhì)，考查指定區(qū)間的概率的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.6、A【解題分析】由題意知，，則C，D均不正確，而B為充要條件，不合題意，故選A.7、A【解題分析】

設(shè)切點，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，在切點處的導(dǎo)數(shù)是切點處切線的斜率，求.【題目詳解】設(shè)切點，，解得.故選A.【題目點撥】本題考查了已知切線方程求參數(shù)的問題，屬于簡單題型，這類問題的關(guān)鍵是設(shè)切點，利用切點既在切線又在曲線上，以及利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義共同求參數(shù).8、A【解題分析】

分析：由題意可得：yN=，yM=，計算yM﹣yN=sin，即可得出．詳解：由題意可得：yN=，yM=∴yM﹣yN=yM﹣yN=sin，令sin=1，解得：=2kπ+，x=12k+，k=0，1，2，1．∴M與N的縱坐標(biāo)之差第4次達(dá)到最大值時，N運動的時間=1×12+=17.5（分鐘）．故選A．點睛：本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、和差公式、數(shù)形結(jié)合方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．也查到了三角函數(shù)的定義的應(yīng)用，三角函數(shù)的定義指的是單位圓上的點坐標(biāo)和這一點的旋轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系.9、A【解題分析】

將條件轉(zhuǎn)化為有解，然后利用導(dǎo)數(shù)求出右邊函數(shù)的值域即可.【題目詳解】因為函數(shù)至少存在一個零點所以有解即有解令，則因為，且由圖象可知，所以所以在上單調(diào)遞減，令得當(dāng)時，單調(diào)遞增當(dāng)時，單調(diào)遞減所以且當(dāng)時所以的取值范圍為函數(shù)的值域，即故選：A【題目點撥】1.本題主要考查函數(shù)與方程、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性及簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，屬于中檔題.2.若方程有根，則的范圍即為函數(shù)的值域10、B【解題分析】

模擬程序,依次寫出各步的結(jié)果,即可得到所求輸出值．【題目詳解】程序的起始為第一次變?yōu)榈诙巫優(yōu)榈谌巫優(yōu)榈谒拇巫優(yōu)闈M足條件可得故選：B.【題目點撥】本題考查程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu),難度較易.11、D【解題分析】

由拋物線的定義將到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為到焦點的距離，到其準(zhǔn)線與到點M（0，4）的距離之和的最小值，也即為最小，當(dāng)三點共線時取最小值．所以，解得，由內(nèi)切圓的面積公式，解得．故選D．12、A【解題分析】

設(shè)，由此，根據(jù)三角函數(shù)的有界性可得結(jié)果.【題目詳解】橢圓方程為,設(shè),則(其中),故,的最大值為，故選A.【題目點撥】本題主要考查橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用，輔助角公式的應(yīng)用，屬于中檔題.利用公式可以求出:①的周期;②單調(diào)區(qū)間（利用正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可通過解不等式求得）；③值域；④對稱軸及對稱中心（由可得對稱軸方程，由可得對稱中心橫坐標(biāo).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

設(shè)恒成立，可知；將不等式整理為，從而可得，解不等式求得的取值范圍，從而得到所求的最大值.【題目詳解】設(shè)恒成立，可知則：恒成立即：恒成立，解得：的最大值為：本題正確結(jié)果：【題目點撥】本題考查最值的求解問題，關(guān)鍵是能夠?qū)⑺笫阶愚D(zhuǎn)化為不等式恒成立的問題，從而構(gòu)造出不等式求解出的取值范圍，從而求得所求最值，屬于較難題.14、①③【解題分析】

根據(jù)空間點、線、面之間的位置關(guān)系,逐一判斷,即可得到答案.【題目詳解】對于①,根據(jù)平行公理,可知過一點有且僅有一條直線與已知直線平行,在立體幾何中也正確,故①正確.對于②,在平面幾何中,過一點有且僅有一條直線與已知直線垂直.在立體幾何中,過直線外一點可以做一個平面和直線垂直,即平面內(nèi)所有直線和其垂直.故②錯誤.對于③,根據(jù)平行的傳遞性,平行于同一條直線的兩直線平行,在立體幾何中也正確,故③正確.對于④,平面幾何中,垂直于同一條直線的兩直線平行.在立體幾何中,垂直于同一條直線的兩直線可以是異面直線,故④錯誤.對于⑤,平面幾何中兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.在立體幾何中,兩組對邊分別相等,可構(gòu)成空間四邊形,故⑤錯誤.故答案為:①③.【題目點撥】本題考查了命題真假的判定,平面幾何和立體幾何中線與線位置關(guān)系,掌握點線面關(guān)系的性質(zhì)是解題關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

先根據(jù)已知得出函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性解不等式.【題目詳解】因為是上的偶函數(shù)，所以是上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，，即解得，解集為.【題目點撥】本題主要考查函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，注意構(gòu)造的新函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性的判斷.16、【解題分析】

作以及圖像，根據(jù)圖像確定實數(shù)滿足的條件，解不等式得結(jié)果.【題目詳解】作以及圖像，根據(jù)圖像得【題目點撥】對于方程解的個數(shù)(或函數(shù)零點個數(shù))問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)范圍．從圖象的最高點、最低點，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）分別在、、三種情況下去掉絕對值，得到不等式，解不等式求得結(jié)果；（Ⅱ）將方程變?yōu)?，分類討論得到的圖象，通過數(shù)形結(jié)合求得取值范圍.【題目詳解】（Ⅰ）當(dāng)時，，可得：當(dāng)時，，解得：當(dāng)時，，則無解綜上所述：不等式的解集為：（Ⅱ）由方程可變形為：令，則作出函數(shù)的圖象如下圖所示：結(jié)合圖象可知：，又，【題目點撥】本題考查絕對值不等式的求解、根據(jù)方程根的個數(shù)求解參數(shù)范圍的問題，關(guān)鍵是能夠?qū)⒎匠谈鶄€數(shù)問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)交點的個數(shù)問題，通過數(shù)形結(jié)合的方式來進(jìn)行求解.18、（1）14海里/小時；（2）.【解題分析】分析：（1）由題設(shè)可以得到的長，在中利用余弦定理可以得到的長，從而得到艦艇的速度；（2）在中利用正弦定理可得的值.詳解：(1)依題意知，，，在中，由余弦定理得，解得，所以該軍艦艇的速度為海里/小時．(2)在中，由正弦定理，得，即．點睛：與解三角形相關(guān)的實際問題中，我們常常碰到方位角、俯角、仰角等，注意它們的差別.另外，把實際問題抽象為解三角形問題時，注意分析三角形的哪些量是已知的，要求的哪些量，這樣才能確定用什么定理去解決.19、(1)見解析；(2)證明見解析【解題分析】

（1）由f（x）含有參數(shù)a，單調(diào)性和a的取值有關(guān)，通過分類討論說明導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，進(jìn)而得到結(jié)論；（2）法一：將已知變形，對a分類討論研究的正負(fù)，當(dāng)與時，通過單調(diào)性可直接說明，當(dāng)時，可得g（x）的最大值為,利用導(dǎo)數(shù)解得結(jié)論．法二：分析時，且使得已知不成立；當(dāng)時，利用分離變量法求解證明.【題目詳解】（1），①當(dāng)時，由得，得，所以在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，由得，解得，所以在上單調(diào)遞增，在在上單調(diào)遞減；（2）法一：由得（*），設(shè)，則，①當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，，可知且時，，，可知（*）式不成立；②當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，，可知（*）式成立；③當(dāng)時，由得，所以在上單調(diào)遞增，可知在上單調(diào)遞減，所以，由（*）式得，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，而，h（1）=1-2=-1<0，所以存在t，使得h（t）=0，由得；綜上所述，可知．法二：由得（*），①當(dāng)時，得，且時，，可知（*）式不成立；②當(dāng)時，由（*）式得，即，設(shè)，則，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，又，，所以，（**），當(dāng)時，，得，所以在上遞增，同理可知在上遞減，所以，結(jié)合（**）式得，所以，綜上所述，可知．【題目點撥】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及恒成立問題，涉及到了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、分類討論、構(gòu)造函數(shù)等方法技巧，屬于較難題．20、證明見解析【解題分析】

?．同時注意，，將要證式子等價變形，用分析法即可獲證．【題目詳解】解：∵∴，要證，只需證，只需證，只需證，只需證0，即，上式顯然成立，故原不等式得證．【題目點撥】用分析法證明，即證使等式成立的充分條件成立．注意應(yīng)用條件?和．21、（1）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，增區(qū)間是；（2）；（3）.【解題分析】

（1）根據(jù)解析式求出g（x）的定義域和g′（x），再求出臨界點，求出g′（x）<0和g′（x）>0對應(yīng)的解集，再表示成區(qū)間的形式，即所求的單調(diào)區(qū)間；（2）先求出f（x）的定義域和f′（x），把條件轉(zhuǎn)化為f′（x）≤0在（1，+∞）上恒成立，再對f′（x）進(jìn)行配方，求出在x∈（1，+∞）的最大值，再令f′（x）max≤0求解；（3）先把條件等價于“當(dāng)x∈[e，e2]時，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由（2）得f′（x）max，并把它代入進(jìn)行整理，再求f′（x）在[e，e2]上的最小值，結(jié)合（2）求出的a的范圍對a進(jìn)行討論：和，分別求出f′（x）在[e，e2]上的單調(diào)性，再求出最小值或值域，代入不等式再與a的范圍進(jìn)行比較．【題目詳解】由已知函數(shù)的定義域均為，且（1）函數(shù)，則，當(dāng)且時，；當(dāng)時，.所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，增區(qū)間是；（2）因在上為減函數(shù)，故在上恒成立，所以當(dāng)時