陜西省西安市高新灃東中學(xué)黃岡中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末調(diào)研試題含解析

陜西省西安市高新灃東中學(xué)黃岡中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末調(diào)研試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若將函數(shù)的圖象上各點橫坐標縮短到原來的(縱坐標不變)得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（）A．函數(shù)在上單調(diào)遞增 B．函數(shù)的周期是C．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱 D．函數(shù)在上最大值是12．在極坐標系中，方程表示的曲線是（）A．直線 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線3．設(shè)是邊長為的正三角形，是的中點，是的中點，則的值為（）A． B． C． D．4．把座位編號為1，2，3，4，5，6的六張電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個人，每人最多得兩張，甲、乙各分得一張電影票，且甲所得電影票的編號總大于乙所得電影票的編號，則不同的分法共有（）A．90種 B．120種 C．180種 D．240種5．“”是雙曲線的離心率為（）A．充要條件 B．必要不充分條件 C．即不充分也不必要條件 D．充分不必要條件6．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a5+a7+a9＝21，則S13＝（）A．36 B．72 C．91 D．1827．若復(fù)數(shù)的實部與虛部相等，其中是實數(shù)，則（）A．0 B．1 C．2 D．8．設(shè)函數(shù)，若a=),，則（）A． B． C． D．9．設(shè)，若函數(shù)，有大于零的極值點，則（）A． B． C． D．10．下列不等式中正確的有()①；②；③A．①③ B．①②③ C．② D．①②11．當(dāng)時，函數(shù)，則下列大小關(guān)系正確的是（）A． B．C． D．12．若關(guān)于的線性回歸方程是由表中提供的數(shù)據(jù)求出，那么表中的值為()345634A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知高為H的正三棱錐P-ABC的每個頂點都在半徑為R的球O的球面上，若二面角P-AB-C的正切值為4，則HR=14．某學(xué)校為了了解住校學(xué)生每天在校平均開銷情況，隨機抽取了500名學(xué)生，他們的每天在校平均開銷都不低于20元且不超過60元，其頻率分布直方圖如圖所示，則其中每天在校平均開銷在元的學(xué)生人數(shù)為______．15．設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－x2－2x＋5，若對任意x∈[1,2]都有f(x)<m成立，則實數(shù)m的取值范圍是________．16．已知滿足約束條件若目標函數(shù)的最大值為7，則的最小值為_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知.猜想的表達式并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.18．（12分）在數(shù)列中，，，其中實數(shù)．(1)求，并由此歸納出的通項公式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(Ⅰ)的結(jié)論．19．（12分）在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線的極坐標方程為.（1）求直線的普通方程及曲線的直角坐標方程；（2）若直線與曲線交于兩點，，求.20．（12分）的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，．向量與平行．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的面積．21．（12分）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）如圖，平面，，.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角的余弦值為，求線段的長.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

根據(jù)三角函數(shù)伸縮變換特點可得到解析式；利用整體對應(yīng)的方式可判斷出在上單調(diào)遞增，正確；關(guān)于點對稱，錯誤；根據(jù)正弦型函數(shù)最小正周期的求解可知錯誤；根據(jù)正弦型函數(shù)在區(qū)間內(nèi)值域的求解可判斷出最大值無法取得，錯誤.【題目詳解】將橫坐標縮短到原來的得：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增，正確；的最小正周期為：不是的周期，錯誤；當(dāng)時，，關(guān)于點對稱，錯誤；當(dāng)時，此時沒有最大值，錯誤.本題正確選項：【題目點撥】本題考查正弦型函數(shù)的性質(zhì)，涉及到三角函數(shù)的伸縮變換、正弦型函數(shù)周期性、單調(diào)性和對稱性、正弦型函數(shù)在一段區(qū)間內(nèi)的值域的求解；關(guān)鍵是能夠靈活應(yīng)用整體對應(yīng)的方式，通過正弦函數(shù)的圖象來判斷出所求函數(shù)的性質(zhì).2、B【解題分析】方程，可化簡為：，即.整理得，表示圓心為(0,，半徑為的圓.故選B.3、D【解題分析】

將作為基向量，其他向量用其表示，再計算得到答案.【題目詳解】設(shè)是邊長為的正三角形，是的中點，是的中點，故答案選D【題目點撥】本題考查了向量的乘法，將作為基向量是解題的關(guān)鍵.4、A【解題分析】

從6張電影票中任選2張給甲、乙兩人，共種方法；再將剩余4張票平均分給丙丁2人，共有種方法；根據(jù)分步乘法計數(shù)原理即可求得結(jié)果.【題目詳解】分兩步：先從6張電影票中任選2張給甲，乙兩人，有種分法；再分配剩余的4張，而每人最多兩張，所以每人各得兩張，有種分法，由分步原理得，共有種分法．故選：A【題目點撥】本題主要考查分步乘法計數(shù)原理與組合的綜合問題.5、D【解題分析】

將雙曲線標準化為,由于離心率為可得,在根據(jù)充分、必要條件的判定方法,即可得到結(jié)論.【題目詳解】將雙曲線標準化則根據(jù)離心率的定義可知本題中應(yīng)有,則可解得,因為可以推出;反之成立不能得出.故選:.【題目點撥】本題考查雙曲的離心率公式,考查充分不必要條件的判斷,雙曲線方程的標準化后離心率公式的正確使用是解答本題的關(guān)鍵,難度一般.6、C【解題分析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出,根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式可得.【題目詳解】因為{an}為等差數(shù)列,所以,所以,所以.故選C.【題目點撥】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列的前項和.屬于基礎(chǔ)題.7、D【解題分析】分析：根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運算法則化簡復(fù)數(shù)，結(jié)合已知條件，求出的值，代入后求模即可得到答案.詳解：復(fù)數(shù)的實部與虛部相等，又有，解得，.故選D.點睛：本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算和復(fù)數(shù)模的求法，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解題分析】

把化成,利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得再利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到最后根據(jù)的單調(diào)性可得的大小關(guān)系.【題目詳解】因為且,故,又在上為增函數(shù),所以即.故選:.【題目點撥】本題考查對數(shù)的大小比較,可通過尋找合適的單調(diào)函數(shù)來構(gòu)建大小關(guān)系,如果底數(shù)不統(tǒng)一,可以利用對數(shù)的運算性質(zhì)統(tǒng)一底數(shù),不同類型的數(shù)比較大小,應(yīng)找一個中間數(shù),通過它實現(xiàn)大小關(guān)系的傳遞,難度較易.9、B【解題分析】試題分析：設(shè)，則，若函數(shù)在x∈R上有大于零的極值點．即有正根，當(dāng)有成立時，顯然有，此時．由，得參數(shù)a的范圍為．故選B．考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．10、B【解題分析】

逐一對每個選項進行判斷,得到答案.【題目詳解】①,設(shè)函數(shù),遞減,,即,正確②,設(shè)函數(shù),在遞增,在遞減,,即,正確③,由②知,設(shè)函數(shù),在遞減,在遞增,,即正確答案為B【題目點撥】本題考查了利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性進而求最值來判斷不等式關(guān)系,意在考查學(xué)生的計算能力.11、D【解題分析】

對函數(shù)進行求導(dǎo)得出在上單調(diào)遞增，而根據(jù)即可得出，從而得出，從而得出選項．【題目詳解】∵，∴，由于時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由于，故，所以，而，所以，故選D.【題目點撥】本題主要考查增函數(shù)的定義，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，以及積的函數(shù)的求導(dǎo)，屬于中檔題.12、C【解題分析】由表可得樣本中心點的坐標為，根據(jù)線性回歸方程的性質(zhì)可得，解出，故選C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、8【解題分析】

取線段AB的中點D，點P在平面ABC的射影點M，利用二面角的定義得出∠PDC為二面角P-AB-C的平面角，于此得出PMDM=4，并在RtΔOMC中，由勾股定理OM2+C【題目詳解】取線段AB的中點D，設(shè)P在底面ABC的射影為M，則H=PM，連接CD，PD（圖略）.設(shè)PM=4k，易證PD⊥AB，CD⊥AB，則∠PDC為二面角P-AB-C的平面角，從而tan∠PDC=PMDM=4k在RtΔOMC中，OM2+CM2=OC故答案為：85【題目點撥】本題考查二面角的定義，考查多面體的外接球，在處理多面體的外接球時，要確定球心的位置，同時在求解時可引入一些參數(shù)去表示相關(guān)邊長，可簡化計算，考查邏輯推理能力，屬于中等題。14、【解題分析】

由頻率分布直方圖得每天在校平均開銷在元的學(xué)生的頻率為，由此能求出每天在校平均開銷在元的學(xué)生人數(shù)．【題目詳解】解：由頻率分布直方圖得：每天在校平均開銷在元的學(xué)生的頻率為：，每天在校平均開銷在元的學(xué)生人數(shù)為：．故答案為：1．【題目點撥】本題考查頻數(shù)的求法，考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．15、【解題分析】

,x∈[1,2]時，，在[1,2]上遞增，由題意知m大于f(x)在x∈[－1,2]上的最大值，求得f(x)max＝f(2)＝7，所以m>7.16、7【解題分析】試題分析：作出不等式表示的平面區(qū)域，得到及其內(nèi)部，其中把目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為，表示的斜率為，截距為，由于當(dāng)截距最大時，最大，由圖知，當(dāng)過時，截距最大，最大，因此，，由于，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，.

考點：1、線性規(guī)劃的應(yīng)用；2、利用基本不等式求最值.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、證明見解析【解題分析】

首先計算，猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法證明.【題目詳解】猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①時，猜想成立；②假設(shè)時猜想成立，即則時，由及得又=,時猜想成立.由①②知.【題目點撥】本題考查了數(shù)學(xué)歸納法，意在考查學(xué)生的歸納推理能力和計算能力.18、(1)(2)見解析【解題分析】試題分析：（1），，可歸納猜測；（2）根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證明原理，當(dāng)時，由顯然結(jié)論成立．假設(shè)時結(jié)論成立，即只需證明當(dāng)時，即可..試題解析：(1)由，及得，于是猜測:(2)下面用數(shù)學(xué)歸納法予以證明:當(dāng)時，由顯然結(jié)論成立．假設(shè)時結(jié)論成立，即那么，當(dāng)時，由顯然結(jié)論成立．由、知，對任何都有19、（1）x+y-1=0,；（2）.【解題分析】

（1）由直線的參數(shù)方程，消去參數(shù)，即可得到普通方程；根據(jù)極坐標與直角坐標的轉(zhuǎn)化公式，可將化為直角坐標方程；（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標方程，再設(shè)兩點對應(yīng)的參數(shù)為，根據(jù)韋達定理，即可求出結(jié)果.【題目詳解】（1）直線的普通方程為由，得，則，故曲線的直角坐標方程為.（2）將,代人，得，設(shè)兩點對應(yīng)的參數(shù)為，則，故.【題目點撥】本題主要考查參數(shù)方程與普通方程的互化，以及極坐標方程與直角坐標方程的互化，熟記公式即可，屬于?？碱}型.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解題分析】

試題分析：（1）根據(jù)平面向量，列出方程，在利用正弦定理求出的值，即可求解角的大??；（2）由余弦定理，結(jié)合基本不等式求出的最大值，即得的面積的最大值.試題解析：（1）因為向量與平行，所以，由正弦定理得，又，從而tanA＝，由于0<A<π，所以A＝.（2）由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，而a＝，b＝2，A＝，得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0，因為c>0，所以c＝3.故△ABC的面積為bcsinA＝.考點：平面向量的共線應(yīng)用；正弦定理與余弦定理.21、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）記t=lnx+x，通過討論a的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的零點的個數(shù)判斷a的范圍即可．【題目詳解】（1）定義域為：，當(dāng)時，.∴在時為減函數(shù)；在時為增函數(shù).（2）記，則在上單增，且.∴.∴在上有兩個零點等價于在上有兩個零點.①在時，在上單增，且，故無零點；②在時，在上單增，又，，故在上只有一個零點；③在時，由可知在時有唯一的一個極小值.若，，無零點；若，，只有一個零點；若時，，而，由于在時為減函數(shù)，可知：時，.從而，∴在和上各有一個零點.綜上討論可知：時有兩個零點，即所求的取值范圍是.【題目點撥】已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．22、（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）（Ⅲ）【解題分析】

首先利用幾何體的特征建立空間直角坐標系(Ⅰ)利用直線BF的方向向量和平面ADE的法向量的關(guān)系即可證明線面平行；(Ⅱ)分別求得直線CE的方向向量和平面BDE的法向量，然后求解線面角的正弦值即可；(Ⅲ)首先確定兩個半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值計算公式得到關(guān)于CF長度的方程，解方程可得CF的長度.【題目詳