2024屆甘肅省師范大學(xué)附屬中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2024屆甘肅省師范大學(xué)附屬中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．對(duì)任意復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B． C． D．2．下列命題中真命題的個(gè)數(shù)是（）①若樣本數(shù)據(jù)，，…，的方差為16，則數(shù)據(jù)，，…，的方差為64；②“平面向量，夾角為銳角，則”的逆命題為真命題；③命題“，”的否定是“，”；④若：，：，則是的充分不必要條件.A．1 B．2 C．3 D．43．用數(shù)學(xué)歸納法證明：“”，由到時(shí)，等式左邊需要添加的項(xiàng)是（）A． B．C． D．4．已知全集，則A． B． C． D．5．設(shè)a＝log54，b＝（log53）2，c＝log45，則（）A．a(chǎn)＜c＜b B．b＜c＜a C．a(chǎn)＜b＜c D．b＜a＜c6．已知是離散型隨機(jī)變量，，則（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），，若對(duì)于任意的，總存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A．B．C．D．8．如果的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為128，則展開(kāi)式中的系數(shù)是（）A．21 B． C．7 D．9．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別，，焦距為4，若以原點(diǎn)為圓心，為直徑的圓恰好與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，則此橢圓的方程為（）A． B．C． D．10．如圖所示，將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同的染色方法種數(shù)是()A．420 B．210 C．70 D．3511．設(shè)實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b+c=1,則a,b,c中至少有一個(gè)數(shù)不小于()A．0 B． C． D．112．已知奇函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，且，，，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若實(shí)數(shù)、滿足，則的取值范圍是_________.14．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則________.15．組合恒等式，可以利用“算兩次”的方法來(lái)證明：分別求和的展開(kāi)式中的系數(shù)．前者的展開(kāi)式中的系數(shù)為；后者的展開(kāi)式中的系數(shù)為.因?yàn)椋瑒t兩個(gè)展開(kāi)式中的系數(shù)也相等，即．請(qǐng)用“算兩次”的方法化簡(jiǎn)下列式子：______．16．某校畢業(yè)典禮由6個(gè)節(jié)目組成，考慮整體效果，對(duì)節(jié)目演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前三位，且節(jié)目丙、丁必須排在一起，則該校畢業(yè)典禮節(jié)目演出順序的編排方案共有______種.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知，p：；q：不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立.（1）若q為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）如果“”為真命題，且“”為假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.18．（12分）隨著資本市場(chǎng)的強(qiáng)勢(shì)進(jìn)入，互聯(lián)網(wǎng)共享單車(chē)“忽如一夜春風(fēng)來(lái)”，遍布了一二線城市的大街小巷.為了解共享單車(chē)在市的使用情況，某調(diào)查機(jī)構(gòu)借助網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，并從參與調(diào)查的網(wǎng)友中抽取了200人進(jìn)行抽樣分析，得到下表（單位：人）：經(jīng)常使用偶爾或不用合計(jì)30歲及以下703010030歲以上6040100合計(jì)13070200（Ⅰ）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.15的前提下認(rèn)為市使用共享單車(chē)情況與年齡有關(guān)？（Ⅱ）現(xiàn)從所抽取的30歲以上的網(wǎng)友中利用分層抽樣的方法再抽取5人.（1）分別求這5人中經(jīng)常使用、偶爾或不用共享單車(chē)的人數(shù)；（2）從這5人中，再隨機(jī)選出2人贈(zèng)送一件禮品，求選出的2人中至少有1人經(jīng)常使用共享單車(chē)的概率.參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.63519．（12分）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),討論的單調(diào)性；(2)設(shè)，當(dāng)時(shí),若對(duì)任意,存在使,求實(shí)數(shù)取值.20．（12分）已知函數(shù)在與時(shí)都取得極值．（1）求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.21．（12分）設(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓：的右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與直線相交于點(diǎn)，且.（1）求橢圓的離心率；（2）是圓：的一條直徑，若橢圓經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，求橢圓的方程.22．（10分）甲、乙兩人進(jìn)行某項(xiàng)對(duì)抗性游戲，采用“七局四勝”制，即先贏四局者為勝，若甲、乙兩人水平相當(dāng)，且已知甲先贏了前兩局．(Ⅰ)求乙取勝的概率；(Ⅱ)記比賽局?jǐn)?shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】分析：由題可知，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及基本概念逐一核對(duì)四個(gè)選項(xiàng)得到正確答案.詳解：已知?jiǎng)t選項(xiàng)A，，錯(cuò)誤.選項(xiàng)B，，正確.選項(xiàng)C，，錯(cuò)誤.選項(xiàng)D，，不恒成立，錯(cuò)誤.故選B.點(diǎn)睛：本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)模的計(jì)算.2、C【解題分析】分析：對(duì)四個(gè)命題逐一分析即可.詳解：對(duì)于①，由方差的性質(zhì)得：則數(shù)據(jù)，，…，的方差為，故正確；對(duì)于②，逆命題為平面向量，滿足，則向量，夾角為銳角，是假命題，故錯(cuò)誤；對(duì)于③，命題“，”的否定是“，”，正確；對(duì)于④，，，是的充分不必要條件，故正確.故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查命題的真假判斷，涉及知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，但難度不大.3、D【解題分析】

寫(xiě)出時(shí)，左邊最后一項(xiàng)，時(shí)，左邊最后一項(xiàng)，由此即可得到結(jié)論【題目詳解】解：∵時(shí)，左邊最后一項(xiàng)為，時(shí)，左邊最后一項(xiàng)為，∴從到，等式左邊需要添加的項(xiàng)為一項(xiàng)為故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)學(xué)歸納法的概念，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題．4、C【解題分析】

根據(jù)補(bǔ)集定義直接求得結(jié)果.【題目詳解】由補(bǔ)集定義得：本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查集合運(yùn)算中的補(bǔ)集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解題分析】

∵a＝log54＜log55＝1，b＝（log53）2＜（log55）2＝1，c＝log45＞log44＝1，所以c最大單調(diào)增，所以又因?yàn)樗詁<a所以b<a<c.故選D．6、B【解題分析】

根據(jù)題意，由隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)可得則只有兩個(gè)變量，進(jìn)而可得，解得，又由方差公式可得的值，又由方差的性質(zhì)計(jì)算可得答案.【題目詳解】根據(jù)題意，，則則只有兩個(gè)變量，則，得，即，則，則.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查了離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)、數(shù)學(xué)期望以及方差與方差性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解題分析】，在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù).，，又，則函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?依題意有，則有，得.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，不符合題意.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?依題意有，則有，得.綜合有實(shí)數(shù)的取值范圍為.選A.點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立或存在型問(wèn)題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.8、A【解題分析】

令，則該式等于系數(shù)之和，可求出n，由二項(xiàng)展開(kāi)式公式即可求得展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù).【題目詳解】令，則，解得：，由二項(xiàng)展開(kāi)式公式可得項(xiàng)為：，所以系數(shù)為21.故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)之和與某項(xiàng)系數(shù)的求法，求系數(shù)之和時(shí)，一般令，注意區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)之和為.9、A【解題分析】

已知，又以原點(diǎn)為圓心，為直徑的圓恰好與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，這兩個(gè)公共點(diǎn)只能是橢圓短軸的頂點(diǎn)，從而有，于是可得，從而得橢圓方程?！绢}目詳解】∵以原點(diǎn)為圓心，為直徑的圓恰好與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，∴這兩個(gè)公共點(diǎn)只能是橢圓短軸的頂點(diǎn)，∴，又即，∴，∴橢圓方程為。故選：A?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，解題關(guān)鍵時(shí)確定的值，本題中注意橢圓的對(duì)稱(chēng)軸，從而確定關(guān)系。10、A【解題分析】

將不同的染色方案分為：相同和不同兩種情況，相加得到答案.【題目詳解】按照的順序：當(dāng)相同時(shí)：染色方案為當(dāng)不同時(shí)：染色方案為不同的染色方案為：種故答案為A【題目點(diǎn)撥】本題考查了加法原理和乘法原理，把染色方案分為相同和不同兩種情況是解題的關(guān)鍵.11、B【解題分析】∵三個(gè)數(shù)，，的和為1，其平均數(shù)為∴三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)大于或等于假設(shè)，，都小于，則∴，，中至少有一個(gè)數(shù)不小于故選B.12、C【解題分析】

根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)和對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得，根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知；利用為減函數(shù)可知，結(jié)合為奇函數(shù)可得大小關(guān)系.【題目詳解】，即：又是定義在上的減函數(shù)又為奇函數(shù)，即：本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合奇偶性比較函數(shù)值的大小關(guān)系，關(guān)鍵是能夠通過(guò)函數(shù)得單調(diào)性，利用臨界值的方式得到自變量之間的大小關(guān)系.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解題分析】

利用橢圓的參數(shù)方程，設(shè)，，代入所求代數(shù)式，換元，可得出，將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)在區(qū)間上的值域來(lái)處理.【題目詳解】設(shè)，，則，設(shè)，則，，，其中，由于二次函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.因此，的取值范圍是，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用，考查三角函數(shù)的值域問(wèn)題以及二次函數(shù)的值域，本題用到了兩次換元，同時(shí)要注意關(guān)系式的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.14、【解題分析】

設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題中條件求出的值，再由計(jì)算出的值.【題目詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，化簡(jiǎn)得，，故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列求和，對(duì)于等比數(shù)列，一般要建立首項(xiàng)和公比的方程組，利用方程思想求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題.15、【解題分析】

結(jié)合所給信息，構(gòu)造，利用系數(shù)相等可求.【題目詳解】因?yàn)?，則兩個(gè)展開(kāi)式中的系數(shù)也相等，在中的系數(shù)為，而在中的系數(shù)為，所以可得.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，精準(zhǔn)理解題目所給信息是求解關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).16、1【解題分析】分析：把丙丁捆綁在一起，作為一個(gè)元素排列，然后把甲插入，注意丙丁這個(gè)元素的位置不同決定著甲插入的方法數(shù)的不同．詳解：．故答案為1．點(diǎn)睛：本題考查排列組合的應(yīng)用．排列組合中如果有元素相鄰，則可用捆綁法，即相鄰的元素捆綁在一起作為一個(gè)元素進(jìn)行排列，當(dāng)然它們之間也要全排列，特殊元素可優(yōu)先考慮．注意分類(lèi)與分步結(jié)合，不重不漏．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

（1）解不等式即得解；（2）由“”為真，且“”為假知p，q一真假，再分兩種情況分析討論得解.【題目詳解】（1）由“不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立”為真得，解得，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為.（2）由“”為真得m的取值范圍為，由“”為真，且“”為假知p，q一真假，當(dāng)p真q假時(shí)，有，此時(shí)m無(wú)解；當(dāng)p假q真時(shí)，有，解得或；綜上所述，m的取值范圍為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二次不等式的恒成立問(wèn)題，考查復(fù)合命題真假的判斷，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.18、（1）能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.15的前提下認(rèn)為市使用共享單車(chē)情況與年齡有關(guān)；（2）選出的2人中至少有1人經(jīng)常使用共享單車(chē)的概率.【解題分析】試題分析：（1）計(jì)算k2，與2.027比較大小得出結(jié)論，（2）（i）根據(jù)分層抽樣即可求出，（ii）設(shè)這5人中，經(jīng)常使用共享單車(chē)的3人分別為a，b，c；偶爾或不用共享單車(chē)的2人分別為d，e，根據(jù)古典概率公式計(jì)算即可．試題解析：（1）由列聯(lián)表可知，.因?yàn)?，所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.15的前提下認(rèn)為市使用共享單車(chē)情況與年齡有關(guān).（2）（i）依題意可知，所抽取的5名30歲以上的網(wǎng)友中，經(jīng)常使用共享單車(chē)的有（人），偶爾或不用共享單車(chē)的有（人）.（ii）設(shè)這5人中，經(jīng)常使用共享單車(chē)的3人分別為，，；偶爾或不用共享單車(chē)的2人分別為，.則從5人中選出2人的所有可能結(jié)果為，，，，，，，，，共10種.其中沒(méi)有1人經(jīng)常使用共享單車(chē)的可能結(jié)果為共1種，故選出的2人中至少有1人經(jīng)常使用共享單車(chē)的概率.點(diǎn)睛：古典概型中基本事件數(shù)的探求方法(1)列舉法.(2)樹(shù)狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問(wèn)題中的基本事件的探求.對(duì)于基本事件有“有序”與“無(wú)序”區(qū)別的題目，常采用樹(shù)狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問(wèn)題，通過(guò)列表把復(fù)雜的題目簡(jiǎn)單化、抽象的題目具體化.(4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素?cái)?shù)目較多的題目.19、（1）當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減；函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減；函數(shù)在上單調(diào)遞增;函數(shù)在上單調(diào)遞減；（2）．【解題分析】分析：（1）先求定義域，再對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，，令，分，，，，四種情況考慮h(x)零點(diǎn)情況及正負(fù)情況，得函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。（2）因?yàn)?由于(I)知,在上的最小值為，由題意可知“對(duì)任意,存在,使”等價(jià)于“在上的最小值不大于在上的最小值”，由一元二次函數(shù)的“三點(diǎn)一軸”分類(lèi)討論求得g(x)的最小值，再求得b范圍。詳解：(1)定義域因?yàn)樗粤?i)當(dāng)時(shí),所以當(dāng)時(shí),,此時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,此時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增(ii)當(dāng)時(shí),由,即,解得①當(dāng)時(shí),，恒成立,此時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減;②當(dāng)時(shí),時(shí),,此時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減；時(shí),,此時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增；時(shí),,此時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減；③當(dāng)時(shí),由于時(shí),,此時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減；時(shí),,此時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增；綜上所述:當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減；函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減；函數(shù)在上單調(diào)遞增;函數(shù)在上單調(diào)遞減(2)因?yàn)?由于(I)知,,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減:當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,所以在上的最小值為由于“對(duì)任意,存在,使”等價(jià)于“在上的最小值不大于在上的最小值”又,,所以①當(dāng)時(shí),因?yàn)?此時(shí)與矛盾②當(dāng)時(shí),因?yàn)?同樣與矛盾③當(dāng)時(shí),因?yàn)椋獠坏仁娇傻镁C上,的取值范圍是．點(diǎn)睛：本題綜合考查用導(dǎo)數(shù)結(jié)合分類(lèi)討論思想求含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，及恒成立問(wèn)題與存在性問(wèn)題的理解，即轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，同時(shí)也考查了一元二次函數(shù)“三點(diǎn)一軸”求最值問(wèn)題，題目綜合性較強(qiáng)，分類(lèi)較多，對(duì)學(xué)生的能力要求較高。20、（1）；（2）增區(qū)間是和，減區(qū)間是．【解題分析】

⑴求出，并令其為得到方程，把與代入求出的值⑵求出，分別令，，求出的范圍，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【題目詳解】⑴，由解得⑵由⑴可知令，解得令，解得或的增區(qū)間是和，減區(qū)間為【題目點(diǎn)撥】本題考查的是函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，較為基礎(chǔ)，只要運(yùn)用法則來(lái)求解即可。21、(1).（2）.【解題分析】分析：（1）運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可得M的坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線OM的斜率，進(jìn)而得證；（2）由（1）知，橢圓方程設(shè)為，設(shè)PQ的方程，與橢圓聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，以及弦長(zhǎng)公式，解方程即可