山西省晉城市2024屆數(shù)學(xué)高二下期末檢測試題含解析

山西省晉城市2024屆數(shù)學(xué)高二下期末檢測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若，則的值是（）A．-2B．-3C．125D．-1312．已知雙曲線的一條漸近線恰好是圓的切線，且雙曲線的一個焦點到漸近線的距離為，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．3．定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對任意實數(shù)，有，且為奇函數(shù)，則不等式的解集為A． B． C． D．4．在數(shù)學(xué)興趣課堂上，老師出了一道數(shù)學(xué)思考題，某小組的三人先獨(dú)立思考完成，然后一起討論.甲說：“我做錯了！”乙對甲說：“你做對了！”丙說：“我也做錯了！”老師看了他們?nèi)说拇鸢负笳f：“你們?nèi)酥杏星抑挥幸蝗俗鰧α?，有且只有一人說對了.”請問下列說法正確的是（）A．乙做對了 B．甲說對了 C．乙說對了 D．甲做對了5．若函數(shù)fx=3sinπ-ωx+sin5π2+ωx，且fA．2kπ-2π3C．kπ-5π126．復(fù)數(shù)的實部為A． B． C． D．7．設(shè)a，b均為正實數(shù)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．設(shè)集合,則（）A． B． C． D．9．為了調(diào)查學(xué)生每天零花錢的數(shù)量（錢數(shù)取整數(shù)元），以便引導(dǎo)學(xué)生樹立正確的消費(fèi)觀．樣本容量1000的頻率分布直方圖如圖所示，則樣本數(shù)據(jù)落在［6,14）內(nèi)的頻數(shù)為（）A．780 B．680 C．648 D．46010．設(shè)表示不超過的最大整數(shù)（如，）.對于給定的，定義，.若當(dāng)時，函數(shù)的值域是（），則的最小值是（）A． B． C． D．11．從5名男生和5名女生中選3人組隊參加某集體項目的比賽，其中至少有一名女生入選的組隊方案數(shù)為()A．90 B．60 C．120 D．11012．如果在一周內(nèi)(周一至周日)安排三所學(xué)校的學(xué)生參觀某展覽館,每天最多只安排一所學(xué)校,要求甲學(xué)校連續(xù)參觀兩天,其余學(xué)校均只參觀一天,那么不同的安排方法有()A．50種 B．60種C．120種 D．210種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．現(xiàn)有個大人，個小孩站一排進(jìn)行合影.若每個小孩旁邊不能沒有大人，則不同的合影方法有__________種．（用數(shù)字作答）14．已知，且，則，中至少有一個大于1，在用反證法證明時，假設(shè)應(yīng)為_______．15．已知函數(shù)的定義域是，關(guān)于函數(shù)給出下列命題：①對于任意，函數(shù)是上的減函數(shù)；②對于任意，函數(shù)存在最小值；③存在，使得對于任意的，都有成立；④存在，使得函數(shù)有兩個零點．其中正確命題的序號是________．(寫出所有正確命題的序號)16．已知，，若向量與共線，則在方向上的投影為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）用數(shù)學(xué)歸納法證明：18．（12分）在銳角中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.（1）求角的大??；（2）若，，求的面積.19．（12分）已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cosθ，直線l與圓C交于A，B兩點．(1)求圓C的直角坐標(biāo)方程及弦AB的長；(2)動點P在圓C上(不與A，B重合)，試求△ABP的面積的最大值．20．（12分）已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為.（1）求的值；（2）求在上的最大值．21．（12分）某大廈的一部電梯從底層出發(fā)后只能在第18,19,20層?？浚粼撾娞菰诘讓虞d有5位乘客，且每位乘客在這三層的每一層下電梯的概率均為，用ξ表示這5位乘客在第20層下電梯的人數(shù)，求：（1）隨機(jī)變量ξ的分布列；（2）隨機(jī)變量ξ的均值．22．（10分）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知的面積為．(1)求和的值；(2)求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】試題分析：由題意可知，令得，令得所以考點：二項式系數(shù)2、D【解題分析】分析：根據(jù)題意，求出雙曲線的漸近線方程，再根據(jù)焦點到漸近線的距離為，求得雙曲線的參數(shù)，即可確定雙曲線方程.詳解：圓，圓心，原點在圓上，直線的斜率又雙曲線的一條漸近線恰好是圓切線，雙曲線的一條漸近線方程的斜率為，一條漸近線方程為，且，即由題可知，雙曲線的一個焦點到漸近線的距離，解得又有，可得，，雙曲線的方程為.故選D.點睛：本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，雙曲線方程的求法，直線與圓位置關(guān)系和點到直線距離的求法，考查計算能力.3、B【解題分析】

構(gòu)造函數(shù)，則得的單調(diào)性，再根據(jù)為奇函數(shù)得，轉(zhuǎn)化不等式為，最后根據(jù)單調(diào)性性質(zhì)解不等式.【題目詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，所以在上單獨(dú)遞減，因為為奇函數(shù)，所以.因此不等式等價于，即，選B.【題目點撥】利用導(dǎo)數(shù)解抽象函數(shù)不等式，實質(zhì)是利用導(dǎo)數(shù)研究對應(yīng)函數(shù)單調(diào)性，而對應(yīng)函數(shù)需要構(gòu)造.構(gòu)造輔助函數(shù)常根據(jù)導(dǎo)數(shù)法則進(jìn)行：如構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造等4、B【解題分析】

分三種情況討論：甲說法對、乙說法對、丙說法對，通過題意進(jìn)行推理，可得出正確選項.【題目詳解】分以下三種情況討論：①甲的說法正確，則甲做錯了，乙的說法錯誤，則甲做錯了，丙的說法錯誤，則丙做對了，那么乙做錯了，合乎題意；②乙的說法正確，則甲的說法錯誤，則甲做對了，丙的說法錯誤，則丙做對了，矛盾；③丙的說法正確，則丙做錯了，甲的說法錯誤，則甲做對了，乙的說法錯誤，則甲做錯了，自相矛盾.故選：B.【題目點撥】本題考查簡單的合情推理，解題時可以采用分類討論法進(jìn)行假設(shè)，考查推理能力，屬于中等題.5、A【解題分析】

本題首先要對三角函數(shù)進(jìn)行化簡，再通過α-β的最小值是π2推出函數(shù)的最小正周期，然后得出ω【題目詳解】fx==3sin=2sin再由fα=2，fβ=0，α-β的最小值是fx=2sinx+x∈2kπ-2π3【題目點撥】本題需要對三角函數(shù)公式的運(yùn)用十分熟練并且能夠通過函數(shù)圖像的特征來求出周期以及增區(qū)間．6、A【解題分析】分析:先化簡復(fù)數(shù)z,再求復(fù)數(shù)z的實部.詳解：原式=，所以復(fù)數(shù)的實部為.故答案為A.點睛：（1）本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和實部虛部概念，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平.(2)復(fù)數(shù)的實部是a,虛部為b，不是bi.7、A【解題分析】

確定兩個命題和的真假可得．【題目詳解】∵a，b均為正實數(shù)，若，則，命題為真；若，滿足，但，故為假命題．因此“”是“”的充分不必要條件．故選：A.【題目點撥】本題考查充分必要條件的判斷．解題時必須根據(jù)定義確定命題和的真假．也可與集合包含關(guān)系聯(lián)系．8、C【解題分析】

解不等式得集合A，B,再由交集定義求解即可.【題目詳解】由已知所以，故選C.【題目點撥】本題主要考查了集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解題分析】試題分析：頻率分布直方圖中每個小方塊的面積就是相應(yīng)的頻率，因此所求結(jié)論為.考點：頻率分布直方圖.10、B【解題分析】

先根據(jù)的定義化簡的表達(dá)式為,再根據(jù)單調(diào)性求出函數(shù)在兩段上的值域,結(jié)合已知條件列不等式即可解得.【題目詳解】①當(dāng)時，.在上是減函數(shù)，；②當(dāng)時，.在上是減函數(shù)，.的值域是或所以或，的最小值是.故:B.【題目點撥】本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求分段函數(shù)的值域,屬于中檔題.11、D【解題分析】

用所有的選法共有減去沒有任何一名女生入選的組隊方案數(shù)，即得結(jié)果【題目詳解】所有的選法共有種其中沒有任何一名女生入選的組隊方案數(shù)為：故至少有一名女生入選的組隊方案數(shù)為故選【題目點撥】本題主要考的是排列，組合及簡單計數(shù)問題，考查組合的運(yùn)用，處理“至少有一名”類問題，宜選用間接法，是一道基礎(chǔ)題。12、C【解題分析】

可用分步計數(shù)原理去做,分成兩步，第一步安排甲學(xué)校共有A61種方法,第二步安排另兩所學(xué)校有A52【題目詳解】先安排甲學(xué)校的參觀時間,因為甲學(xué)校連續(xù)參觀兩天，可以是周一周二,可以是周二周三，可以是周三周四，可以是周四周五，可以是周五周六，可以是周六周日,所以共有A61然后在剩下的5天中任選兩天有序地安排其余兩校參觀,安排方法有A5按照分步計數(shù)乘法原理可知共有A61【題目點撥】本題主要考查分步計數(shù)原理在排列組合中的應(yīng)用，注意分步與分類的區(qū)別，對于有限制條件的元素要先安排，再安排其他的元素，本題是一個易錯題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：根據(jù)題意可得可以小孩為對象進(jìn)行分類討論：第一類：2個小孩在一起，第二類小孩都不相鄰.分別計算求和即可得出結(jié)論。詳解：根據(jù)題意可得可以小孩為對象進(jìn)行分類討論：第一類：2個小孩在一起:,第二類：小孩都不在一起：，故不同的合影方法有216+144=360種，故答案為360點睛：考查計數(shù)原理和排列組合的綜合，對于此類題首先要把題意分析清楚，分清楚所討論的類別，再根據(jù)討論情況逐一求解即可，注意計算的準(zhǔn)確性.14、，均不大于1（或者且）【解題分析】

假設(shè)原命題不成立，即找，中至少有一個大于1的否定即可.【題目詳解】∵x，y中至少有一個大于1，∴其否定為x，y均不大于1，即x≤1且y≤1，故答案為：x≤1且y≤1．【題目點撥】本題考查反證法，考查命題的否定，屬于基礎(chǔ)題．15、②④【解題分析】函數(shù)的定義域是，且，當(dāng)時，在恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故①錯誤；對于，存在，使，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以對于任意，函數(shù)存在最小值，故②正確；函數(shù)的圖象在有公共點，所以對于任意，有零點，故③錯誤；由②得函數(shù)存在最小值，且存在，使，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故④正確；故填②④.點睛：本題的易錯點在于正確理解“任意”和“存在”的含義，且正確區(qū)分兩者的不同.16、【解題分析】

,由向量與共線，得，解得，則在方向上的投影為，故答案為.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、證明見解析【解題分析】

利用數(shù)學(xué)歸納法的證明標(biāo)準(zhǔn)，驗證時成立，假設(shè)時成立，證明時等式也成立即可.【題目詳解】證明：（1）當(dāng)時，左邊，右邊，等式成立.

（2）假設(shè)當(dāng)時，等式成立，即，

那么，當(dāng)時，左邊＝，

這就是說，當(dāng)時等式也成立.

根據(jù)（1）和（2），可知等式對任何都成立.【題目點撥】本題是中檔題，考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，注意數(shù)學(xué)歸納法證明時，必須用上假設(shè)18、（1）；（2）【解題分析】

(1)直接由正弦定理可得，從而可得答案.

(2)由余弦定理可得，再由面積公式可求答案.【題目詳解】解：（1）由，得，，∴，又因為為銳角三角形，∴.（2）由余弦定理可知，，即，解得，∴.【題目點撥】本題考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用以及三角形的面積，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）(x－2)2＋y2＝4；；（2）2＋.【解題分析】

（1）圓C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，直線l的參數(shù)方程代入圓C的的直角坐標(biāo)方程，利用直線參數(shù)方程的幾何意義，即可求解；（2）要求△ABP的面積的最大值，只需求出點P到直線l距離的最大值，將點P坐標(biāo)設(shè)為圓方程的參數(shù)形式，利用點到直線的距離公式以及三角函數(shù)的有界性，即可求解.【題目詳解】(1)由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ，所以x2＋y2－4x＝0，所以圓C的直角坐標(biāo)方程為(x－2)2＋y2＝4.設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2.將直線l的參數(shù)方程代入圓C：(x－2)2＋y2＝4，并整理得t2＋t＝0，解得t1＝0，t2＝－.所以直線l被圓C截得的弦AB的長為|t1－t2|＝.(2)由題意得，直線l的普通方程為x－y－4＝0.圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，可設(shè)圓C上的動點P(2＋2cosθ，2sinθ)，則點P到直線l的距離d＝，當(dāng)＝－1時，d取得最大值，且d的最大值為2＋.所以S△ABP＝××(2＋)＝2＋，即△ABP的面積的最大值為2＋.【題目點撥】本題考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化，考查直線參數(shù)方程幾何意義的應(yīng)用，以及利用圓的參數(shù)方程求最值，屬于中檔題.20、（1），；（2）1【解題分析】

(1)依題意，由，得到，再由，得到，聯(lián)立方程組，即可求解；(2)由(1)，求得，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與極值，即可求得函數(shù)的最大值，得到答案．【題目詳解】(1)依題意可知點為切點，代入切線方程可得，，所以，即，又由，則，而由切線的斜率可知，∴，即，由，解得，∴，．(2)由(1)知，則，令，得或，當(dāng)變化時，，的變化情況如下表：－3－21＋0－0＋8↗極大值↘極小值↗4∴的極大值為，極小值為，又，，所以函數(shù)在上的最大值為1．【題目點撥】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解參數(shù)問題，以及利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性與最值問題，其中解答中熟記導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值）之間的關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力．21、(1)見解析；(2)【解題分析】

（1）一位乘客是否在第20層下電梯為一次試驗，這是5次獨(dú)立重復(fù)試驗．故ξ～B，由此能求出ξ的分布列．（2）由