一天征服傅里葉變換

一天征服傅里葉變換如果你對信號處理感興趣無疑會說這個標題是太夸張了我贊同這點當然沒有反覆實踐和鉆研數(shù)學，您無法在一天里學會傅立葉變換的方方面面?無論如何,這個在線課程將提供給您怎樣進行傅立葉變換運算的基本知識能有效和能非常簡單地領(lǐng)會的原因是我們使用了一種不太傳統(tǒng)的逼近?重要的是你將學習傅立葉變換的要素而完全不用超過加法和乘法的數(shù)學計算!我將設(shè)法在不超過以下六節(jié)里解釋在對音像信號處理中傅立葉變換的實際應(yīng)用?步驟1:一些簡單的前提在下面，您需要理解以下四件最基本的事情:加法，乘?除法?什么是正弦，余弦和正弦信號?明顯地我將跳第一二件事和將解釋位最后一個您大概還記得您在學校學過的三角函數(shù)”[1它神秘地用于與角度一起從它們的內(nèi)角計算它們的邊長反之亦然我們這里不需要所有這些事，我們只需要知道二個最重要的三角函數(shù)"正弦"和"余弦"的外表特征這相當簡單:他們看起來象是以峰頂和谷組成的從觀察點向左右無限伸展的非常簡單的波浪?（附圖一）ThesinewveThesinewve如同你所知道的這兩種波形是周期性的這意味著在一定的時間周期之后它們看起來再次一樣?兩種波形看起來也很象，但當正弦波在零點開始時余弦波開始出現(xiàn)在最大值在實踐中我們?nèi)绾闻卸ㄎ覀冊谝粋€給定時間所觀測到的波形是開始在它的最大值或在零?問的好:我們不能?實踐上沒有辦法區(qū)分正弦波和余弦波因此看起來象正弦或余弦波的我們統(tǒng)稱為正弦波在希臘語中譯作"正弦類"正弦波的一個重要性質(zhì)是頻率它告訴我們在一個給定的時間內(nèi)有多少個波峰和波谷高頻意味許多波峰和波谷，低頻率意味少量波峰和波谷:（（附圖二）（（附圖二）LwfrequenysinusididdlefrequenysinusidHighfrequenysiusid步驟2:了解傅立葉定理J-BtisteJsphFoir是孩子們中讓父母感到驕傲和慚愧的的一個因為他十四歲時就開始對他們說非常復雜的數(shù)學用語?他的一生中做了很多重要工作，但最重大的發(fā)現(xiàn)可能是解決了材料熱傳導問題?他推導出了描述熱在某一媒介中如何傳導的公式，即用三角函數(shù)的無窮級數(shù)來解決這個問（就是我們在上面討論過的正弦余弦函數(shù)）?主要和我們話題有關(guān)的是：傅里葉的發(fā)現(xiàn)總結(jié)成一般規(guī)律就是任意復雜的信號都能由一個個混合在一起的正弦函數(shù)的和來表示?這是一個例子：ThisisurriginlOnesineTwosinesFursinesSevensinesFurteensines（附圖三）在這里你看到的是一個原始的信號以及如何按某一確定的關(guān)（配方混合在一起的正弦函數(shù)混合（我們稱它們?yōu)榉至克平?我們將簡略地談?wù)撘幌履欠菖浞饺缒闼覀冇玫恼液瘮?shù)愈多其結(jié)果就愈精確地接近我們的原始信號波形?在現(xiàn)實”世界中在信號連續(xù)的地方即你能以無窮小的間隔來測量它們精度僅受你的測試設(shè)備限制你需要無限多的正弦函數(shù)才能完美地建立任意一個給定的信號幸運地是和數(shù)字信號處理者們一樣，我們不是生活在那樣的世界?相反我們將處理僅以有限精度每隔一定間隔被測量的現(xiàn)實世界的采樣信號?因而，我們不需要無限多地正弦函數(shù)，我們只需要非常多?稍后我們也將討論這個“非常多”是多少?目前重要的一點是你能夠想象，任意一個在你計算機上的信號，都能用簡單正弦波按配方組成?步驟3:非常多”是多少正如我們所知道的復雜形狀的波形能由混合在一起的正弦波所建立我們也許要問需要多少正弦波來構(gòu)造任意一個在計算機上給定的信號?當然，倘若我們知道正在處理的信號是如何組成的，這可能至少是一個單個正弦波在許多情況下我們處理的現(xiàn)實世界的信號可能有非常復雜的結(jié)構(gòu)以至于我們不能深入知道實際上有多少分量”波存在在這種情況下即使我們無法知道原始的信號是由多少個正弦波來構(gòu)成的，肯定存在一個我們將需要多少正弦波的上限?盡管如此這實際上沒解決有多少的問題?讓我們試著來直觀地逼近它:假設(shè)一個信號我們有00個樣采可能存在的最短周期正弦（即多數(shù)波峰波谷在其中）以交替的波峰波谷分布在每個采樣內(nèi)?因此，最高頻率的正弦波將有50個波峰和50個波谷在我們的00個采樣中，且每隔一個采樣是波峰?下圖中的黑點表示我們的采樣，所以，最高頻率的正弦波以看起來象這樣:Thehighestfrequenysinewve（附圖四）現(xiàn)在讓我們來看一下最低頻率正弦波可能多么低如果我們只給一個單獨的采樣點，我們將如何能測量穿過這點的正弦波的峰頂和谷?我們做不到，因為有許多不同周期正弦波穿過這點?（（附圖五）（（附圖五）所以，一個單獨數(shù)據(jù)點不足以告訴我們關(guān)于頻率的任何事現(xiàn)在，如果我們有兩個采樣那么穿過這兩點的正弦波的最低頻率是什么？在這種情況下它很常簡單?只有一個穿過這兩點的非常低頻率的正弦波?它看起來向這樣：Thelwestfrequenysinewve（附圖六）想象最左面的兩個點是二個釘子和一個跨越它們之間的（圖六描述三個數(shù)據(jù)點是因為正弦波的周期性但我們實際上只需要最左面的兩點說明它的頻率）我們能領(lǐng)會的最低的頻率是來回地擺動在二個釘子之間的弦，象是圖六中左邊兩點之間的正弦波所做的?如果我們有00個采樣，那么兩個釘子相當于第一個或最后的采樣，比如1號采樣和00號采樣?從對樂器的體驗我們知道，當長度增加時弦的頻率將下降所以我們可以想象，當我們將兩個釘子向彼此遠離的方向移開時最小正弦波的頻率將變得更低?例如，如果我們選擇200個采樣，因為我們的釘子，在1號或200號采樣間，所以最低正弦波將更低?事實上，它將低兩倍，因為因為我們的釘子比100個采樣時遠兩倍?這樣，如果我們有更多的采樣，我們將能辨別出一個更低頻率的正弦波，因為它們的零交叉點（我們的釘子）將移動得更遠?這對了解下面的解釋是非常重要的?象我們看到的那樣在兩個釘子之后我們的波形開始重復上升斜坡（第一個釘子和第三個釘子同樣這意味著任意兩個相鄰的釘子準確地包含完整正弦波的一半換句話說一個峰或一個谷或半個周期?概括一下我們剛學過的東西，我們知道，一個采樣正弦波的上限頻率是所有其它有一個波峰和波谷的采樣并且低頻下限是我們看到的正好匹配采樣數(shù)的正弦波的周期的一半但等一下這難到不意味著，當上限頻率保持固定時，當有很多采樣時最低頻率可以降低？確實如此!結(jié)果我們將從一個低頻開始增加更多正弦波來組成一個較長的未知內(nèi)容的信號?一切都清楚了但我們?nèi)匀徊恢牢覀冏罱K需要多少正弦波?就象我們現(xiàn)在知道任意正弦波分量所能具的有上下限頻率一樣我們能計算出適合這兩個極限之間的量是多少?既然我們沿著最左到最右的采樣固定了最低正弦波分量我們要所有其它正弦波最好也使用這些釘子為什么我們要不同地對待他們?所有的正弦波被同等的創(chuàng)建假設(shè)正弦波束是系在吉他上二個固定點的弦它們能只搖擺在二個釘子之間除非他們斷了)，就象我們下圖的正弦波?這導致如下關(guān)系，我們的最低分量（）以/2周期裝配，第二分量（）以1個周期裝配，第三分量以11/2周期裝配以此類推直到我們看到的00個采樣?形象地,看起來象這:（附圖七）現(xiàn)在，如果我們算一下要多少正弦波以那種方法裝配我們的00個采樣，就會發(fā)現(xiàn)我們精確地需要100個正弦波疊加起來表示00個采樣?實際上，我們總是發(fā)現(xiàn)我們需要和采樣一樣多的正弦波?步驟4關(guān)于烹飪食譜在前面的段落我們看到,任一個給定的在計算機上的信號能被正弦波混合物來構(gòu)造?我們考慮了他們的頻率并且考慮了需要多大的最低和最高頻率的正弦波來完美地重建任一個我們所分析信號我們明白了為確定所需最低的正弦波分量，我們考察的采樣的數(shù)量是重要但我們還未論述實際正弦波如何必需被混合產(chǎn)生某一確定的結(jié)果由疊加正弦波組成任何指定的信號我們需要測量他們的另外一個方面實際上頻率不是我們需要知道的唯一的事我們還需要知道正弦波的幅度也就是說每個正弦波幅度有多高才能混合在一起產(chǎn)生我們需要的輸入信號高度是正弦波的峰頂?shù)母叨纫饧捶屙敽土憔€之間距離幅度赿高，我們聽到的聲音也就赿大所以如果您有一個含有許多低音的信號無疑可以預期混合體中的低頻率正弦波的分量比例比高頻正弦波分量更大因此一般情況下低音中的低頻正弦波有一個比高頻正弦波更高的幅度?在我們的分析中，我們將需要確定各個分量正弦波的幅度以完成我們的配方?步驟步驟：關(guān)于蘋果和桔子步驟步驟：關(guān)于蘋果和桔子如果你一直跟著我，我們幾乎完成了通向傅里葉變換的旅程我們學了需要多少正弦波它的數(shù)量依賴于我們查看的采樣的數(shù)量有一個頻率上下限界，并且不知道怎么確定單個分量的幅度以完成我們的配方我們一直不清楚究竟如何從我們的采樣來確定實際的配方直觀上我們可以斷定能找到正弦波的幅度，設(shè)法把一個已知頻率正弦波和采樣作對比我們測量找出它們有多么接近?如果它們精確地相等，我們知道該正弦波存在著相同的幅度如果我們發(fā)現(xiàn)我們的信號與參考正弦波一點也不匹配，我們將認為這個不存在盡管如此我們?nèi)绾胃咝У匕岩粋€已知的正弦波同采樣信號進行比較？幸運地是數(shù)字信號處理工作者早已解決了如何作這些事實上，這象加法和乘法一樣容易－我們?nèi)∫粋€已知頻率的單位正弦波（這意味著它的振幅是可從我們的計算器或計算機中精確地獲得和我們的信號采樣相乘累加乘積之后，我們將得到我們正在觀測的這個頻率上正弦波分量的幅度這是個舉例一個簡單的完成這些工作的C代碼片段：Listig11:TeiteliatinfteDisrteSieTasform(DST):#fieM_PI3.4525579286lgi,;ouleg;fr(in=0;in<tsforLegt;i++){tsfrDt[i]=0.;fr(k=0;k<tsfrLegt;++){g=(flt)in*M_PI*(lt)k/(flt)trasforLegt;tnsfrDt[i]+=iptDt[]*si(g);}}這段代碼變換存儲在itDt[0...tnsfrLegt-1]中我們測量的采樣點成為一個正弦波分量的幅度隊列tsfrDt[0...tsfrLgt-1]根據(jù)通用術(shù)語我們稱參考正弦波的頻率步長為（i，這意味著它們被認為象是一個我們放置我們估計的任意分量波的幅度的容器?離散正弦變換(DST是一個普通程序它假設(shè)我們無法想象我們的信號看起來象什么樣否則我們能使用一個更加高效率的方法來確定正弦波分量的幅度（例如，我們予先知道,我們的信號是一個已知頻率的正弦波?我們能直接地找出它的高度而不用計算正弦波的整個范圍實現(xiàn)這個有效的逼近是基于傅里葉原理它能在文獻的戈策爾(etl)算法條目下找到）?這些就是你堅持想要的我們?yōu)槭裁从眠@樣的方法計算正弦變換的一個解釋對我們用一個已知頻率正弦波的乘積來作一種非常直觀逼近的理由，可以設(shè)想這大致相當于一個固有頻率的“共振在系統(tǒng)內(nèi)發(fā)生時物理世界發(fā)生的事情si(g)項本質(zhì)上是一個獲得由輸入信號波形激勵的諧振器如果輸（信號有在我們正觀測的頻率上的分量它的輸出將是參考正弦波諧振的幅度?因為我們的參考波是單位幅度的輸出是一個在那個頻率上的分量的實際幅度的一個直接測量因為諧振器只是簡單的濾波器，變（不可否認是在稍微寬松條件下）被認為有極窄的帶通濾波器組的特征它位于我們估值的頻率中心的周圍這有助于解釋一個事實，為什么傅立葉變換提供了對信號進行過濾的一個高效工具?只是為了完備性:當然上述程序是可逆的當我們知道它的正弦波分量時我們的信號(在數(shù)字精確度極限內(nèi)能完全被重建通過簡單地把正弦波加起來這留下給讀者做為一個練習同樣程序能改變使用余弦波做為基本函數(shù)工作我們只需簡單地改變si(g)條件到s(g)來獲得離散余弦變換的直接實現(xiàn)(DCT)?現(xiàn)在就象在這篇文章較前面的段落中我們討論過的那樣我們在實踐中沒有辦法區(qū)分一個被測量的正弦類函數(shù)象是正弦波還是余弦波?做為代替我們總是測量正弦信號且正弦和余弦變換在實踐中沒有太大的用途，除了一些特殊情（象圖象壓縮的地方即毎塊圖象具有能用一個基本的余弦或正弦函數(shù)較好模擬特性，例如能用余弦基本函數(shù)較好表現(xiàn)的相同顏色的大區(qū)域正弦信號是一個比正弦或余弦波更一般的片斷因為它可以開始在在它的周期中的一個任意位置我們記得當余弦波開始于1時正弦波總開始在0?當我們采取正弦波作為參考余弦波開始在它的周期的最后/4之處一般用度或弧度測量它們的偏移量這是兩個一般與三角函數(shù)相關(guān)的單位一個完整的周期等于60（代表度")或2π個弧度(代表2π"，""發(fā)音象“i?π是希臘字表示數(shù)3.4525587334...在三角學方面有重要意義)?余弦波因而有一個0或π/2的偏移?這偏移叫正弦信號的相位，因此余弦波相對正弦信號有0或π/2相位?相位的事情就有這些內(nèi)容因為我們一直不能限定信號在0°或90相位開（因為我們正觀測一個我們可能無法控制的信號），它對同時直接唯一的描述信號的頻率振幅?相位至關(guān)重要以正弦或余弦做變換相位限制在0或0°，一個具有任意相位的正弦信號將引起相鄰頻率出現(xiàn)假峰（因為它們試圖“幫助分析，強制給被測信號加上一個0°或90的相位作用）?它有些象用一圓石頭去填滿一個方孔：你需要小一些的圓石頭去填充剩余的空間，并且更小的石頭填好依然留出空的空間等等我們所需要的是能處理一般信號的變換，它能處理任意相位正弦波構(gòu)成的信號?步驟：離散傅葉變換從正弦變換到傅里葉變換的步驟是簡單的只需用更一般的方法在正弦變換中對每個頻率上的測度使用正弦波，在傅里葉變換中正弦?余弦波二者都使用就是說，對任意的當前頻率我們以同一頻率的正弦和余弦波來比較（或“共振”被測信號如果我們的信號看起來很象正弦波，變換的正弦部份將有一個大的幅值如果它看起來象余弦波變換的余弦部份將有一個大的幅值如果看起來象反相的正弦波，也就是說，它開始于0但下降至－1取代上升至，它的正弦部份將有一個大的負幅值?，這表明用＋?－符號和正弦?余弦相位能表示任意給定頻率的正弦信號[2?Listig12:TeiteliatinfteDisrteFuirTasfr[3]:#fieM_PI3.4525579286lgi,;ouleg,sign=-1.;/*sin=-1->FFT,1->FFT*/fr(in=0;in<=tsfrLegt/2;i++){sPt[i]=(siPt[i]=0.);fr(k=0;k<tasforLgt;++){g=2.(flt)i*M_PI(flt)/(flt)trasforLegth;siPt[i]+=iptDta[]*sign*si(g);sPt[i]+=iptDta[]*s(g);}}}}}我們?nèi)赃z留著一個問題就是如何獲得傅里葉變換所缺乏的那些有用的東西我說過傳里葉變換的優(yōu)赿性超過正弦和余弦變換是因為用正弦信號工作但至今我們還未看到任何正弦信號仍只有正弦和余弦好，這需要一點附加處理步聚：#fieM_PI3.4525579286lgi;fr(in=0;in<=tsfrLegt/2;i++){/*fey*/fey[i]=(flt)in*salRte/(flt)trnsfrLegt;*gitue*/gitu[i]=20.*l10(2.*st(siPt[i]*siPt[i]+ sPt[i]*csPt[i])/(flt)tasfrLgt);*se*/s[i]=10.*t2(sinPt[i],sPt[i])/M_I-0.;}在運行清單13所示的關(guān)于DT輸出的代碼段之后，我們結(jié)束被看作以正弦信號波的和的輸入信號表示?K序正弦信號是用fey[k],gitu[]和ps[]來描述的單位是(t,周/秒B(Dil),和°(Dg)請注意在經(jīng)過清單.3的后加（處理即把正弦和余弦函數(shù)部份轉(zhuǎn)換成一個單一的正弦信號之后我們命名K序正弦信號的振幅－DFT存貯為幅度且它總是取相對值我們可以說一個10的振幅對應(yīng)于.0的幅度，對應(yīng)于相位+或10?在文獻中，做做傅里葉變換的場合，隊列agitd[]被稱作被測信號的幅度譜，隊列hs[]被稱作被測信號的相位譜?如用分貝測量存貯幅度的參考，輸入波也期望有一個在-1.,10]之間的采樣值，相對于0B幅度滿刻度數(shù)字?做為一個DFT的有趣應(yīng)用，比如清單13就可被用于寫一個基于離散傅里葉變換的譜分析?結(jié)論象我們已知那樣傅里葉變換和其系列的離散正弦和余弦變換提供了把一個信號分解成一束分波的便利工具結(jié)果有正弦或余弦之一，或正弦信號（用正弦和余弦波的組合來描述）?在傅里葉變換中同時使用正弦和余弦波的好處是我們因而能引入相位的概念，它使變換更一般化因而我們能用它有效清楚地分析既不是純正弦也不是純余弦的正弦信號，當然其它信號也一樣?傅里葉變換與被考察信號無關(guān)，因而無論我們正分析的信號是一個正弦信號或是一些其它的更復雜的，變換需要相同的操作數(shù)這就是為什么傅里葉變換被稱做無參數(shù)變換的原因這意味著它對需要的信號“智能的分析沒有直接的幫助（在考察一個我們已知是一個信號是正弦曲線的情況下，我們更喜歡精確地獲得關(guān)于相位，頻率，幅度的信息以代替一串在一些預定頻率上的正弦和余弦波）?現(xiàn)在我們也知道了我們是在求輸入信號在一組固定頻率柵格上的值輸入信號實際存在的頻率組在這組柵格上可能不起作用我們在分析中利用的柵格是人為的因為我們幾乎按照關(guān)于它們的頻率的嘗試來選擇參考正弦?余弦波說到了這些馬上清楚了一個將要很容易遇到的要點即被測信號的頻率位于變換柵格的頻率之間因此有一個頻率發(fā)生在位于兩個頻率柵格之間的正弦曲線在變換中將不好被描述?包圍著與輸入信號頻率最接近的柵格的相鄰的柵格將試圖改正’頻率的背離?因而，輸入信號的能量將拖尾至數(shù)個相鄰的柵格這也是傅里葉變換不能迅速地分析聲音返回它的基波和諧（并且，這也是為什么我們稱正弦和余弦波為分波而不諧波和泛音）?簡單的說，沒有進一步的快速處理，DFT和一個狹窄的壩一樣，細小并行的帶通濾波器組（“通道）和每個通道帶有附加的相位信息這對分析信號做濾波器和運用其它的技巧是有益（改變一個信號的音調(diào)而不改變它的速度是它們其中之一說明在DSP上另一篇不同的文章中但它需要對少量普通任務(wù)附加快速處理?同樣它能被認為是使用除了正弦和余弦波基本函數(shù)的變換系列的一個特例?在這個方向上展開概念超出了這篇文章的范圍?最后，重要的是要提及一個更高效的DFT工具，也就是一個被稱做快速傅里葉變換的算法?它最初是由庫利和圖克在99年構(gòu)思的（它的根源仍然要追溯到高斯和其它人的工作）?FT只是一個高效的算法它比上面給出的以直接逼近計算DFT所化的時間少它是結(jié)果完全相同的其它方法無論如何FFT是以庫利圖克算法實施的它需要變換長度是2的冪在實踐中對大多數(shù)應(yīng)用來說這是一個可以接受的限制?有大量的以不同方法實施FT的可利用的文獻，因而，可以說有足夠多不同的FFT實現(xiàn)，其中一些并不需要經(jīng)典FFT的2的冪的限制?下面清單14以程序sFft()給出了一個FT的實現(xiàn)?ListiListig14:TeDisteFstFirTrasform(FFT):ListiListig14:TeDisteFstFirTrasform(FFT):#fieM_PI3.4525579286idsFft(flt*fftBff,lgfftFaSi,lgsig)/*FFTtin,(C)196MBse.Sign=1isFT,1isiFFT(is)FillsffBff[0...*fftFaSi-1]withteFirtrasformfthetiedointainfftBffr[0..2*ffFaSi-1].TeFFTytasandtrsthesineadsieptsinnitlaedann,i.fftBff[0]=sPt[0],ffBff[1]=siPt[0],sf.fftFaSiesteawrf2.It