專題08 圓的性質(zhì)與計(jì)算綜合題（解析版）

文檔來(lái)源網(wǎng)絡(luò)整理侵權(quán)必刪專題08圓的性質(zhì)與計(jì)算綜合題一、解答題1．（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）在中，半徑垂直于弦，垂足為D，，E為弦所對(duì)的優(yōu)弧上一點(diǎn)．

(1)如圖①，求和的大小；(2)如圖②，與相交于點(diǎn)F，，過(guò)點(diǎn)E作的切線，與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G，若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)半徑垂直于弦，可以得到，從而得到，結(jié)合已知條件即可得到，根據(jù)即可求出；（2）根據(jù)，結(jié)合，推算出，進(jìn)一步推算出，在中，，再根據(jù)即可得到答案．【詳解】（1）解：在中，半徑垂直于弦，

∴，得．∵，∴．∵，∴．（2）解：如圖，連接．

同（1）得．∵在中，，∴．∴．又，∴．∵與相切于點(diǎn)E，∴，即．在中，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、切線的性質(zhì)和直角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)．2．（2022·天津·統(tǒng)考中考真題）已知為的直徑，，C為上一點(diǎn)，連接．(1)如圖①，若C為的中點(diǎn)，求的大小和的長(zhǎng)；(2)如圖②，若為的半徑，且，垂足為E，過(guò)點(diǎn)D作的切線，與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，求的長(zhǎng)．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由圓周角定理得，由C為的中點(diǎn)，得，從而，即可求得的度數(shù)，通過(guò)勾股定理即可求得AC的長(zhǎng)度；（2）證明四邊形為矩形，F(xiàn)D=CE=CB，由勾股定理求得BC的長(zhǎng)，即可得出答案．【詳解】（1）∵為的直徑，∴，由C為的中點(diǎn)，得，∴，得，在中，，∴；根據(jù)勾股定理，有，又，得，∴；（2）∵是的切線，∴，即，∵，垂足為E，∴，同（1）可得，有，∴，∴四邊形為矩形，∴，于是，在中，由，得，∴．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理和矩形的判定和性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想解答此題．3．（2021·天津·統(tǒng)考中考真題）已知內(nèi)接于，點(diǎn)D是上一點(diǎn)．（Ⅰ）如圖①，若為的直徑，連接，求和的大?。唬á颍┤鐖D②，若//，連接，過(guò)點(diǎn)D作的切線，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，求的大?。敬鸢浮浚á瘢?；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）由圓周角定理的推論可知，，即可推出；由等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可求出，從而求出．（Ⅱ）連接，由平行線的性質(zhì)可知．由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可求出．再由三角形內(nèi)角和定理可求出．從而由圓周角定理求出．由切線的性質(zhì)可知．即可求出．【詳解】（Ⅰ）為的直徑，

∴．∵在中，，∴；∵，∴．∴．（Ⅱ）如圖，連接．∵，∴．∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，，∴．∴．∴．∵是的切線，∴，即．∴．【點(diǎn)睛】本題為圓的綜合題．考查圓周角定理及其推論，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及切線的性質(zhì)．利用數(shù)形結(jié)合的思想以及連接常用的輔助線是解答本題的關(guān)鍵．4．（2023·天津河西·統(tǒng)考一模）在中，為直徑，C，D為上兩點(diǎn)，連接．(1)如圖①，過(guò)點(diǎn)C，點(diǎn)D分別作的切線交于點(diǎn)P，當(dāng)時(shí)，求和的度數(shù)；(2)如圖②，若．過(guò)點(diǎn)D作的切線，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，，求的度數(shù)．【答案】(1)，(2)【分析】（1）連接，，首先根據(jù)切線的性質(zhì)，可證得，，可證得垂直平分，再由等腰三角形的性質(zhì)，可求得的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，即可求得的度數(shù)；（2）連接，首先根據(jù)切線的性質(zhì)，可求得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，可求得，最后根據(jù)圓周角定理，即可求得的度數(shù)．【詳解】（1）解：如圖：連接，．，為切線，，．，垂直平分，．．在中，，，，，．（2）解：如圖，連接．為切線，．，，．∵在中，，．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．5．（2023·天津南開(kāi)·統(tǒng)考一模）已知：在中，為直徑，P為射線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作的切線，切點(diǎn)為點(diǎn)C，D為弧上一點(diǎn)，連接．(1)如圖1，若，求的度數(shù)；(2)如圖2，若四邊形為平行四邊形，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）由為的切線可得，由可得，最后可求出的度數(shù)；（2）利用平行四邊形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，結(jié)合（1）的結(jié)論，證明是等邊三角形，即可求出的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：如圖1，連接，∵為的切線，∴，∵，∴，∴；（2）如圖2，連接，∵四邊形為平行四邊形，∴，為直徑，∴，∴，，∴，在中，，∴，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，在中，，∴【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是正確作出輔助線．6．（2023·天津紅橋·統(tǒng)考一模）在中，為直徑，過(guò)上一點(diǎn)C作的切線，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，連接．(1)如圖①，若，求的大?。?2)如圖②，過(guò)點(diǎn)B作的垂線，垂足為D，交于點(diǎn)E，連接，若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，從而得到，再由圓周角定理，即可求解；（2）連接，先證明四邊形是平行四邊形，可得，再證得為等邊三角形，可得，從而得到，再由直角三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）解：如圖，連接．∵與相切，∴．∵，∴．∵，∴．∴；（2）解：連接．∵，∴．∴．∵，∴四邊形是平行四邊形．∴．∵，∴．∴為等邊三角形．∴．∴．∵，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．7．（2023·天津東麗·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，.(1)求的度數(shù)；(2)若，，求的長(zhǎng)度.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)“直經(jīng)所對(duì)的圓周角等于”可得，再根據(jù)“同弧所對(duì)的圓周角相等”即可求出的度數(shù).（2）先在Rt中根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，再在Rt中根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng).【詳解】（1）解：∵為的直徑，，，.（2），．，，.【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的相關(guān)知識(shí):“直經(jīng)所對(duì)圓周角等于”，“同弧所對(duì)的圓周角相等”.熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.8．（2023·天津河?xùn)|·一模）如圖，為的切線，C為切點(diǎn)，D是上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作，垂足為F，交于點(diǎn)E．(1)如圖①，若，求的度數(shù)；(2)如圖②，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，連接，若，的半徑為5，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，然后由圓周角定理得到解題即可；（2）連接，可以得到，進(jìn)而求得是等邊三角形，然后利用三角函數(shù)解題即可．【詳解】（1）解：如圖①，連接，∵與相切于點(diǎn)C，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（2）如圖②，連接，∵，∴，∵，∴，∵為的切線，C為切點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，:∴是等邊三角形，∴，∴，∵半徑為5，∴，∵是的直徑，∴，在中，．【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，平行線的判定與性質(zhì)，掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2023·天津·校聯(lián)考一模）已知內(nèi)接于，且為的直徑，為圓上一點(diǎn)，連接，．(1)如圖①，若為的中點(diǎn)，，求和的大?。?2)如圖②，若，過(guò)點(diǎn)作的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，且，求的大小．【答案】(1)，(2)【分析】（1）在中，由圓周角定理得到，由為的直徑得到．由則．則．（2）連接，由是的切線得到．又，可證，得到．由等邊對(duì)等角可證，則．進(jìn)一步求得，即可得到答案．【詳解】（1）解：在中，，為的直徑，．，．．（2）解：連接，是的切線，，即．又，即．．．．，．．

，．．即．【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理、垂徑定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)、切線的性質(zhì)定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵．10．（2023·天津?yàn)I海新·統(tǒng)考一模）已知，，是上的三個(gè)點(diǎn)，四邊形是平行四邊形，為的直徑，，且，點(diǎn)為垂足，連接．(1)如圖①，求的大小和的長(zhǎng)；(2)如圖②，經(jīng)過(guò)點(diǎn)作的切線，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，求的大?。敬鸢浮?1)，(2)【分析】（1）連接，根據(jù)已知條件得出四邊形是菱形，則是等邊三角形，進(jìn)而根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，余弦的定義求得，根據(jù)圓周角定理求得；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn),根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，根據(jù)切線的性質(zhì)得出，根據(jù)垂徑定理，得出，，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）解：如圖①，連接．四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形．．是等邊三角形．．，．．又，．．又，．（2）解：如圖②，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．四邊形是平行四邊形，．．與相切，．．．是直徑，．．．．【點(diǎn)睛】本題考查了本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，三角函數(shù)的定義，切線的性質(zhì)以及多邊形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．．11．（2023·天津西青·統(tǒng)考一模）已知是的直徑，點(diǎn)，是上兩點(diǎn)，，連接，，．(1)如圖①，若，，求和的大?。?2)如圖②，過(guò)點(diǎn)作的切線，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若，求的大小．【答案】(1)，(2)【分析】（1）如圖所示，連接，由直徑所對(duì)的圓周角是直角得到，由，得到，再分別解，即可得到答案；（2）如圖所示，連接，先由垂徑定理的推理得到，即，同理可得，由切線的性質(zhì)得到，即可證明，得到，求出，則．【詳解】（1）解：如圖所示，連接，∵是的直徑，∴，∵，∴，∴在中，，∴；在中，，∴，∴（2）解：如圖所示，連接，∵是的直徑，，∴，即，同理可得，∵是的切線，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，解直角三角形，切線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)與判定，等邊對(duì)等角，垂徑定理的推理等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．12．（2023·天津河北·統(tǒng)考一模）如圖，是的直徑，點(diǎn)C在上，平分交于點(diǎn)D，．(1)如圖①，若點(diǎn)E是的中點(diǎn)，求的大小；(2)如圖②，過(guò)點(diǎn)D作的切線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若交于點(diǎn)G，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)是的直徑，平分，可得，再根據(jù)點(diǎn)E是的中點(diǎn)，，問(wèn)題得解；（2）連接，先證明，再根據(jù)為的切線，可得，即有，即可得四邊形為平行四邊形，則有，由，可得，即有，問(wèn)題得解．【詳解】（1）∵是的直徑，∴，∵平分，∴，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，∴；（2）連接，如圖，∵是的直徑，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵為的切線，∴，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，解直角三角形以及平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，掌握?qǐng)A周角定理是解答本題的關(guān)鍵．13．（2023·天津河西·天津市新華中學(xué)校考一模）如圖，在中，為直徑，弦與交于點(diǎn)，連接，．

(1)如圖①，若，求的度數(shù)；(2)如圖②，過(guò)點(diǎn)作的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）連接，先求得，最后求得；（2）連接，由切線的性質(zhì)得，由，，得，，最后求得的度數(shù)．【詳解】（1）解：如圖①，連接，

∵是的一個(gè)外角，，，∴，∵為的直徑，∴，∴；（2）解：如圖②，連接．

∵，∴．∵是切線，∴．∴．∵，，∴，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2023·天津和平·統(tǒng)考二模）已知是的直徑，交于點(diǎn)H．(1)如圖①，若，，求和的大??；(2)如圖②，若H為弦的中點(diǎn)，過(guò)延長(zhǎng)線上一點(diǎn)P作的切線，切點(diǎn)為F，若，求的大小．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由是的直徑，可證，根據(jù)圓周角定理可得，，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得，；（2）連接交于K，根據(jù)圓周角定理得，從而求得，再根據(jù)切線的性質(zhì)可得，從而可得，再利用垂徑定理可得，再根據(jù)對(duì)頂角的定義可得，從而證明．【詳解】（1）解：∵是的直徑，∴，∵，∴，∵在中，，∴，∴，∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴，∴；（2）解：連接交于K，∵在中，，∴，∴，∵是切線，∴，即，∴，∵是的直徑，H為弦的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、垂徑定理、切線的性質(zhì)及對(duì)頂角的定義、三角形外角的性質(zhì)和內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．15．（2023·天津紅橋·統(tǒng)考二模）在△ABC中，，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，與相交于點(diǎn)D．

(1)如圖①，若是的直徑，與相交于點(diǎn)E，求的大小；(2)如圖②，若的半徑為2，與相切于點(diǎn)A，求的長(zhǎng)和的大?。敬鸢浮?1)(2)【分析】（1）由是的直徑可得，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)可得，進(jìn)而可得答案；（2）設(shè)圓心為O，連接，根據(jù)圓周角定理可得，可判斷為等腰直角三角形，可得，根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出．【詳解】（1）解：∵是的直徑，∴，∵，∴，∵四邊形內(nèi)接于，∴，∴，∴；（2）解：設(shè)圓心為O，連接，∵，∴，∵，∴，∵與相切于點(diǎn)A，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)，正確添加輔助線、熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2023·天津南開(kāi)·統(tǒng)考二模）已知中，直徑長(zhǎng)為12，、分別切于點(diǎn)，，弦．

(1)如圖1，若，求的大小和弦的長(zhǎng)；(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)的切線分別與、的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，，且，求弦的長(zhǎng)．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)和圓的切線的性質(zhì)定理求得的度數(shù)，再利用三角函數(shù)即可得出結(jié)論；（2）連接、、，，利用切線的性質(zhì)定理和全等三角形的判定與性質(zhì)得到，，利用切線的性質(zhì)定理和平行四邊形的判定定理得到四邊形為平行四邊形，則，；設(shè)設(shè)則，在中，利用勾股定理列出關(guān)于的方程，解方程求得值，最后利用三角形的面積公式解答即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：、分別切于點(diǎn)，，，在四邊形中，，，，，是的直徑，，即，，，（2）解：連接、、，如圖，，為的切線，

，在和中，，同理：，，為的切線，，，，，∴四邊形為平行四邊形，．，設(shè)則，，在中，，即，，是的直徑，為斜邊上的高，，12x560．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，圓的切線的性質(zhì)定理，平行線的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，連接經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解決此類問(wèn)題常添加的輔助線．17．（2023·天津河?xùn)|·統(tǒng)考二模）已知，⊙O的半徑為3，點(diǎn)A，B，C在⊙O上.

(1)如圖①，若四邊形是平行四邊形，求的大小和的長(zhǎng)；(2)如圖②，是⊙O的直徑，為弧的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作⊙O的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若，求的長(zhǎng).【答案】(1)，(2)【分析】（1）由已知可得四邊形是菱形，進(jìn)而可求，連接，可得是等邊三角形，即可得解；（2）連接、，可證，過(guò)點(diǎn)作，則四邊形是矩形，，在中求出可得．【詳解】（1）如圖，連接，∵四邊形是平行四邊形，，∴四邊形是菱形，△是等邊三角形．∴，；

（2）如圖，連接，，∵是⊙的切線，∴，過(guò)作于，∴，∵為弧的中點(diǎn)，∴，又∵，∴，∴，∴，∵，∴四邊形是矩形，∵在中，，∴，∴；

【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的判定和性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，切線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．18．（2023·天津河北·統(tǒng)考二模）已知為的直徑，為上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接．

(1)如圖（1），若，求的大?。?2)如圖（2），連接，若，求的半徑【答案】(1)(2)5【分析】（1）連接由切線的性質(zhì)可得出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（內(nèi)對(duì)角互補(bǔ)）可得出結(jié)論；（2）根據(jù)垂徑定理得，根據(jù)勾股定理求出，設(shè)的半徑為r，得，在中根據(jù)勾股定理列出方程求出r的值即可【詳解】（1）連接如圖①，

是的切線，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴；（2）如圖②，連接交于點(diǎn)，

∵，，∴，∴，在中，，設(shè)的半徑為r，∴，在中，，∴，∴【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理以及勾股定理等知識(shí)，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解答本題的關(guān)鍵19．（2023·天津·統(tǒng)考二模）已知是的直徑，是弦，D為上異于A，C的一點(diǎn)．

(1)如圖①，若D為的中點(diǎn)，，求和的大小；(2)如圖②，過(guò)點(diǎn)D作的切線，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，若的半徑為5，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)，(2)4【分析】（1）連接，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出，利用圓周角定理得出，再由圓周角定理結(jié)合圖形求解即可；（2）由（1）知，，根據(jù)勾股定理得出，再由切線的性質(zhì)定理及矩形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：如圖，連接，∵在中，，∴，∵為的直徑，∴，∴，∵D為的中點(diǎn)，∴，∴，∴，

（2）由（1）知，，在中，，∵，∴，即，∴，∵是的切線，∴，即，∴四邊形是矩形，∴．【點(diǎn)睛】題目主要考查圓周角定理及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，勾股定理解三角形及切線的性質(zhì)，結(jié)合圖形，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．20．（2023·天津河西·統(tǒng)考二模）在中，，以邊上一點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與相切于點(diǎn)，分別交，于點(diǎn)，．

(1)如圖①，連接，若，求的大?。?2)如圖②，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，的半徑為3，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）連接，根據(jù)圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑得到，進(jìn)而得到與互相平行，再得到內(nèi)錯(cuò)角相等，最終得到，在直角形中兩銳角互余得出答案．（2）連接，根據(jù)等弧對(duì)等角得出為等邊三角形，在直角三角形中，得到，再根據(jù)直角三角形中所對(duì)的直角邊是斜邊的一半得出答案．【詳解】（1）解：如圖，連接．

∵與相切，∴．∵，∴,∴．∵，∴，∴．∵，∴，∴（2）解：連接．

∵為的中點(diǎn)，∴．∵，∴，∴．∵，∴，∵為等邊三角形，∴，∴．∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了連接圓心與切點(diǎn)的輔助線知識(shí)內(nèi)容、圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑、等弧所對(duì)的圓心角相等、直角三角形中所對(duì)的邊是斜邊的一半等知識(shí)，適當(dāng)?shù)倪B接交點(diǎn)與圓心做出輔助線是解決本題的關(guān)鍵，證明三角形是等邊三角形是本題的易錯(cuò)點(diǎn)．21．（2023·天津東麗·統(tǒng)考二模）如圖，是的直徑，點(diǎn)為上一點(diǎn)，和過(guò)的切線互相垂直，垂足為，切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．

(1)若，求的度數(shù)；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）連接，根據(jù)已知條件得出，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得出，根據(jù)切線的性質(zhì)得出，進(jìn)而即可求解；（2）根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：連接，如圖所示，

∵，是過(guò)的切線∴,∵∴，∴,∴；（2）解：連接，如圖所示，

∵，，∴，，∴∵，，∴【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（2023·天津?yàn)I海新·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)，以為直徑的圓O與邊相切于點(diǎn)E，與邊相交于點(diǎn)F，，點(diǎn)G是中點(diǎn)．(1)如圖①，求的度數(shù)；(2)如圖②，延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，連接，若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）連接，證明為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)求解即可；（2）連接，根據(jù)切線性質(zhì)得到，由（1）中得，，，進(jìn)而可求得，證明四邊形矩形得到，然后利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：連接，則，

∵，∴，∴為等邊三角形，∴，∵點(diǎn)G是中點(diǎn)．∴；（2）解：連接，

∵與相切于點(diǎn)E，∴，由（1）知，，，，又，∴，又，∴，則，∵，∴四邊形矩形，∴，，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、切線的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．23．（2023·天津西青·統(tǒng)考二模）已知是的直徑，點(diǎn)是上一點(diǎn)，點(diǎn)是外一點(diǎn)，是的切線，為切點(diǎn)，連接，．

(1)如圖①，若與相切，為切點(diǎn)，，求的大??；(2)如圖②，若與相交于點(diǎn)，恰有，且，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)2【分析】（1）連接，求得，再求得，即可解答；（2）作于點(diǎn)H，連接，由垂徑定理得到，再證明四邊形為矩形，求出的長(zhǎng)，得到的長(zhǎng)，即可解答．【詳解】（1）解：如圖，連接，

是的切線，為切點(diǎn)，，與相切，為切點(diǎn)，，，，，；（2）解：如圖，作于點(diǎn)H，連接，

是的切線，為切點(diǎn)，，，，，四邊形為矩形，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，矩形的判定及性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，綜合應(yīng)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．24．（2023·天津河西·天津市新華中學(xué)校考二模）圖，AB為的直徑，是的內(nèi)接三角形，PB切于點(diǎn)B，(1)如圖①，延長(zhǎng)AD交PB于點(diǎn)P，若，求∠P和∠BAP的度數(shù)；(2)如圖②，連接AP交于點(diǎn)E，若，，求∠P和∠BAP的度數(shù)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）連接BD，利用切線的性質(zhì)得到，用圓周角定理得到，進(jìn)而求出的度數(shù)，再利用AB為的直徑得到，最后利用三角形外角性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求解；（2）連接CE與AB相交于點(diǎn)F，由圓周角定理得到，結(jié)合得到，進(jìn)而得到，結(jié)合切線的性質(zhì)易得AB是CE的垂直平分線，得到，結(jié)合得到，進(jìn)而得到是等邊三角形，求出的度數(shù)，再利用三角形內(nèi)角和定理求解．【詳解】（1）：連接BD，如圖①∵PB切于點(diǎn)B，∴．∵，∴．∵AB為的直徑，∴，∴，∴；（2）：連接CE與AB相交于點(diǎn)F，如圖②∵，，∴，∴．∵PB切于點(diǎn)B，∴，∴．∵AB為的直徑，∴AB是CE的垂直平分線，∴．∵，∴，∴，∴是等邊三角形，∴．∵，∴．∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，平行線的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理和三角形外角性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角是直角，等邊三角形的判定與性質(zhì)，理解相關(guān)知識(shí)和作出輔助線是解答關(guān)鍵．25．（2023·天津南開(kāi)·統(tǒng)考三模）內(nèi)接于，直線與相切于點(diǎn)D，與相交于點(diǎn)E，．

(1)如圖1，若，求的大?。?2)如圖2，若是的直徑，，，連接，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）連接，，根據(jù)可得，則，即可求出；（2）設(shè)，由，得，則．根據(jù)在中，，在中，，列出方程求出x的值，進(jìn)而得出，最后根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：連接，，∵直線與相切于點(diǎn)D，且為半徑，∴，∵，∴．又∵為半徑，∴，

∴，，∴，∵∴，則在中，有∴∴；（2）解：設(shè)，由，得，則．在中，，在中，，∴，解得（負(fù)值舍去）．

∴，．∵，∴．∵O為中點(diǎn)，E為中點(diǎn)，∴．∵是的直徑，∴，在中，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是掌握經(jīng)過(guò)半徑外端且垂直于半徑的直線是圓的切線；垂直于弦（不是直徑）的直徑平分弦．26．（2023·天津和平·統(tǒng)考三模）已知中，，與相交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作的切線，交于點(diǎn)E．(1)如圖①，線段為的直徑，若，求的大小；(2)如圖②，過(guò)圓心O，線段與相切于點(diǎn)F，若，且，求圓的半徑和的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)半徑為2，【分析】（1）連接，，根據(jù)線段為的直徑，可得，結(jié)合，可得，進(jìn)而有為中位線，即，，根據(jù)是的切線，可得，即可得，問(wèn)題隨之得解；（2）設(shè)交于另一點(diǎn)N，連接，，，根據(jù)（1）的方法可證明，即可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)線段與相切于點(diǎn)F，有，在中，，有，，進(jìn)而有，可得，，再證明四邊形是正方形，問(wèn)題即可得解．【詳解】（1）連接，，如圖，∵線段為的直徑，∴，∴，，∵，∴，即為中點(diǎn)，∵為中點(diǎn)，∴為中位線，∴，∴，∵是的切線，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（2）設(shè)交于另一點(diǎn)N，連接，，，如圖，根據(jù)（1）的方法可證明，∵，∴，∵，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∵線段與相切于點(diǎn)F，∴，即，在中，，∴，，∴，∴，∵，∴，，∴，∵，，∴，∴，又∵，，，∴四邊形是正方形，∴，∵，∴，即半徑為2，．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，解直角三角形，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，三角形中位線的判定與性質(zhì)等知識(shí)，構(gòu)造合理的輔助線，掌握切線的性質(zhì)，圓周角定理，是解答本題的關(guān)鍵．27．（2023·天津紅橋·統(tǒng)考三模）已知為的直徑，為上一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)．

(1)如圖①，的平分線交于點(diǎn)，求的大??；(2)如圖②，的延長(zhǎng)線與過(guò)點(diǎn)的的切線相交于點(diǎn)；若，求的大小．【答案】(1)(2)【分析】（1）由為的直徑，得，從而有．再證，，利用三角形的外角性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)即可得解題；（2）先證，．由得，從而證得，進(jìn)而有，即可求解．【詳解】（1）解：∵為的直徑，∴．∴．∵為的中點(diǎn)，∴．∵平分，∴．∴．∴．（2）∵與相切，∴．即．∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴是等邊三角形，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同弧或等弧所的圓周角相等，等邊三角形的判定及性質(zhì)，切線的性質(zhì)，等角的余角相等以及角平分線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定及性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵。28．（2023·天津河北·統(tǒng)考三模）已知是的直徑，是的切線，，交于點(diǎn)，是上一點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．(1)如圖（1），求和的大?。?2)如圖（2），當(dāng)時(shí)，求的大?。敬鸢浮?1)，(2)【分析】（1）連接，利用切線的性質(zhì)得出，從而得出的度數(shù)；由是的直徑，得，從而得出的度數(shù)，進(jìn)而得出的度數(shù)；（2）連接，利用，得出，利用得出，從而得出．【詳解】（1）如圖，連接．∵是的切線，是的直徑，∴，即．∵，∴．由是的直徑，得．∴．∵∴．故答案為：，．（2）如圖，連接．在中，，，∴，在中，，∴，∴．∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和，熟練掌握切線的性質(zhì)是關(guān)鍵，注意運(yùn)用同弧所對(duì)的圓周角相等．29．（2023·天津河西·天津市新華中學(xué)?？既＃┤鐖D，為的直徑，點(diǎn)，為直徑同側(cè)圓上的點(diǎn)，且點(diǎn)為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)．

(1)如圖①，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求的度數(shù)；(2)如圖②，若，，求的半徑．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意可推得，根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系可求得，根據(jù)圓周角定理可求得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解；（2）根據(jù)垂徑定理可得，根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系可推得，求得，設(shè)的半徑為，則，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：連接，，如圖：

∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，，∴，∴，又∵為的直徑，∴，∴，在中，，∴．（2）連接，如圖：

∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∵，為的直徑，∴，∴，∴，即，∴，設(shè)的半徑為，則，在中，，即，解得，故的半徑為．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，垂徑定理，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，勾股定理等，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題．30．（2023·天津河西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，上有點(diǎn)A，B，連接，，，C為的中點(diǎn)，連接．(1)如圖①，求的大小和的長(zhǎng)；(2)如圖②，延長(zhǎng)至點(diǎn)D，使得，過(guò)點(diǎn)D作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，切點(diǎn)為F，連接，求的長(zhǎng)．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由垂徑定理得到，由此解直角三角形求出，由三角形內(nèi)角和定理求出；（2）如圖所示，連接，先求出，再由切線的性質(zhì)得到，解中，求出，進(jìn)而求出，即可利用勾股定理求出．【詳解】（1）解：∵上有點(diǎn)A，B，C為的中點(diǎn)，∴，即