2024屆上海市高橋中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題含解析

2024屆上海市高橋中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．甲、乙兩人進(jìn)行象棋比賽，已知甲勝乙的概率為0.5，乙勝甲的概率為0.3，甲乙兩人平局的概率為0.1．若甲乙兩人比賽兩局，且兩局比賽的結(jié)果互不影響，則乙至少贏甲一局的概率為（）A．0.36 B．0.49 C．0.51 D．0.752．如果，那么的值是（）A． B． C． D．3．橢圓的焦點坐標(biāo)是（）A． B． C． D．4．設(shè)函數(shù)f(x)＝－，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則函數(shù)y＝[f(x)]的值域為()A．{0} B．{－1,0}C．{－1,0,1} D．{－2,0}5．一張儲蓄卡的密碼共有位數(shù)字，每位數(shù)字都可以是中的任意一個.某人在銀行自動取款機(jī)上取錢時，忘記了密碼的最后一位數(shù)字，任意按最后一位數(shù)字，則不超過次就按對的概率為（）A． B． C． D．6．已知為雙曲線：右支上一點，為其左頂點，為其右焦點，滿足，，則點到直線的距離為（）A． B． C． D．7．的展開式中，系數(shù)最小的項為（）A．第6項 B．第7項 C．第8項 D．第9項8．函數(shù)過原點的切線的斜率為（）A． B．1 C． D．9．己知一組樣本數(shù)據(jù)恰好構(gòu)成公差為5的等差數(shù)列，則這組數(shù)據(jù)的方差為A．25 B．50 C．125 D．25010．4名老師、2位家長以及1個學(xué)生站在一排合影，要求2位家長不能站在一起，學(xué)生必須和4名老師中的王老師站在一起，則共有（）種不同的站法．A．1920 B．960 C．1440 D．72011．某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)期望為A．100 B．200 C．300 D．40012．已知甲在上班途中要經(jīng)過兩個路口，在第一個路口遇到紅燈的概率為，兩個路口連續(xù)遇到紅燈的概率為，則甲在第一個路口遇到紅燈的條件下，第二個路口遇到紅燈的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）的虛部是_________14．某單位普通職工和行政人員共280人．為了解他們在“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”APP平臺上的學(xué)習(xí)情況，現(xiàn)用分層抽樣的方法從所有職員中抽取容量為56的樣本．已知從普通職工中抽取的人數(shù)為49，則該單位行政人員的人數(shù)為____．15．已知函數(shù)是上奇函數(shù)，且當(dāng)時，則__________．16．已知，，若是的充分條件，則實數(shù)的取值范圍是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）每年的4月23日為“世界讀書日”，某調(diào)查機(jī)構(gòu)對某校學(xué)生做了一個是否喜愛閱讀的抽樣調(diào)查，該調(diào)查機(jī)構(gòu)從該校隨機(jī)抽查了名不同性別的學(xué)生，現(xiàn)已得知人中喜愛閱讀的學(xué)生占，統(tǒng)計情況如下表喜愛不喜愛合計男生女生合計（1）完成列聯(lián)表，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有的把握認(rèn)為是否喜愛閱讀與被調(diào)查對象的性別有關(guān)?請說明理由：（2）將上述調(diào)查所得的頻率視為概率，現(xiàn)在從所有學(xué)生中，采用隨機(jī)抽樣的方法抽取位學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，求抽取的位學(xué)生中至少有人喜愛閱讀的概率，（以下臨界值及公式僅供參考），18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知直線的參數(shù)方程為，直線與拋物線相交于A,B兩點，求線段AB的長．19．（12分）某中學(xué)將100名高一新生分成水平相同的甲、乙兩個“平行班”，每班50人．陳老師采用A，B兩種不同的教學(xué)方式分別在甲、乙兩個班級進(jìn)行教改實驗．為了解教學(xué)效果，期末考試后，陳老師分別從兩個班級中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的成績進(jìn)行統(tǒng)計，作出莖葉圖如圖．記成績不低于90分者為“成績優(yōu)秀”．（1）在乙班樣本的20個個體中，從不低于86分的成績中隨機(jī)抽取2個，求抽出的2個均“成績優(yōu)秀”的概率；（2）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)作出列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認(rèn)為：“成績優(yōu)秀”與教學(xué)方式有關(guān)．0.4000.2500.1500.1000.0500.0250.7081.3232.0722.7063.8415.024參考公式：20．（12分）已知函數(shù)，。（1）求的解析式；（2）求在處的切線方程.21．（12分）已知，不等式的解集為.（1）求；（2）當(dāng)時，證明：.22．（10分）已知，其前項和為.（1）計算；（2）猜想的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

乙至少贏甲一局的對立事件為甲兩局不輸，由此能求出乙至少贏甲一局的概率．【題目詳解】乙至少贏甲—局的概率為.故選C【題目點撥】本題考查概率的求法，考查相互獨立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．2、D【解題分析】

由誘導(dǎo)公式，可求得的值，再根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡即可．【題目詳解】根據(jù)誘導(dǎo)公式，所以而所以選D【題目點撥】本題考查了誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)式化簡中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3、C【解題分析】

從橢圓方程確定焦點所在坐標(biāo)軸，然后根據(jù)求的值.【題目詳解】由橢圓方程得：，所以，又橢圓的焦點在上，所以焦點坐標(biāo)是.【題目點撥】求橢圓的焦點坐標(biāo)時，要先確定橢圓是軸型還是軸型，防止坐標(biāo)寫錯.4、B【解題分析】

依題意，由于，所以.當(dāng)時，，當(dāng)時，，故的值域為.故選B.【題目點撥】本小題主要考查指數(shù)函數(shù)的值域，考查新定義函數(shù)的意義，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法.屬于中檔題.5、B【解題分析】

利用互斥事件概率加法公式和相互獨立事件概率乘法公式直接求解，即可求得答案.【題目詳解】設(shè)第次按對密碼為事件第一次按對第一次按錯，第二次按對第一次按錯，第二次按錯，第三次按對事件，事件，事件是互斥，任意按最后一位數(shù)字，則不超過次就按對的概率由概率的加法公式得：故選：C．【題目點撥】本題考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式和相互獨立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．6、D【解題分析】

由題意可得為等邊三角形，求出點的坐標(biāo)，然后代入雙曲線中化簡，然后求出即可【題目詳解】由題意可得，由，可得為等邊三角形所以有，代入雙曲線方程可得結(jié)合化簡可得，可解得因為，所以所以點到直線的距離為故選：D【題目點撥】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，雙曲線的方程及化簡運算能力，屬于中檔題.7、C【解題分析】由題設(shè)可知展開式中的通項公式為，其系數(shù)為，當(dāng)為奇數(shù)時展開式中項的系數(shù)最小，則，即第8項的系數(shù)最小，應(yīng)選答案C。8、A【解題分析】分析：設(shè)切點坐標(biāo)為（a，lna），求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，切線的方程，代入（0，0），求切點坐標(biāo)，切線的斜率．詳解：設(shè)切點坐標(biāo)為（a，lna），∵y=lnx，∴y′=，切線的斜率是，切線的方程為y﹣lna=（x﹣a），將（0，0）代入可得lna=1，∴a=e，∴切線的斜率是=故選：A．點睛：與導(dǎo)數(shù)幾何意義有關(guān)問題的常見類型及解題策略①已知切點求切線方程．解決此類問題的步驟為：①求出函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)，即曲線在點處切線的斜率；②由點斜式求得切線方程為．②已知斜率求切點．已知斜率，求切點，即解方程.③求切線傾斜角的取值范圍．先求導(dǎo)數(shù)的范圍，即確定切線斜率的范圍，然后利用正切函數(shù)的單調(diào)性解決．9、B【解題分析】

先計算數(shù)據(jù)平均值，再利用方差公式得到答案.【題目詳解】數(shù)據(jù)恰好構(gòu)成公差為5的等差數(shù)列故答案選B【題目點撥】本題考查了數(shù)據(jù)的方差的計算，將平均值表示為是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的計算能力.10、B【解題分析】

先將學(xué)生和王老師捆綁成一個團(tuán)隊，再將團(tuán)隊與另外3個老師進(jìn)行排列，最后將兩位家長插入排好的隊中即可得出．【題目詳解】完成此事分三步進(jìn)行：（1）學(xué)生和王老師捆綁成一個團(tuán)隊，有種站法；（2）將團(tuán)隊與另外3個老師進(jìn)行排列，有種站法；（3）將兩位家長插入排好的隊中，有種站法，根據(jù)分步計數(shù)原理，所以有種不同的站法，故選B．【題目點撥】本題主要考查分步乘法計數(shù)原理、捆綁法以及插空法的應(yīng)用．11、B【解題分析】

試題分析：設(shè)沒有發(fā)芽的種子數(shù)為，則，，所以考點：二項分布【方法點睛】一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值，對于有些實際問題中的隨機(jī)變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布（如二項分布X～B（n，p）），則此隨機(jī)變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式（E（X）＝np）求得.因此，應(yīng)熟記常見的典型分布的期望公式，可加快解題速度.12、C【解題分析】分析：由題意可知，利用條件概率公式可求得的值.詳解：設(shè)第一個路口遇到紅燈的事件為，第二個路口遇到紅燈的事件為，則，則，故選C.點睛：本題考查條件概率公式，屬于基礎(chǔ)題.計算條件概率時一定要注意區(qū)分條件概率與獨立事件同時發(fā)生的概率的區(qū)別與聯(lián)系.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的結(jié)果，直接判斷出其虛部是多少.【題目詳解】因為，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故答案為：.【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)的虛部的辨別，難度容易.已知復(fù)數(shù)，則為復(fù)數(shù)的實部，為復(fù)數(shù)的虛部.14、1【解題分析】

由題意可得，抽取的行政人員數(shù)為7，再求得抽樣的比列，再用7除以此比例，即得該學(xué)校的行政人員人數(shù)．【題目詳解】由題意可得，抽取的行政人員數(shù)為56﹣49＝7，抽樣的比列為，故該學(xué)校的行政人員人數(shù)是71，故答案為1．【題目點撥】本題主要考查分層抽樣的定義和方法，利用數(shù)據(jù)計算抽樣比例是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．15、【解題分析】分析：先求，再根據(jù)奇函數(shù)得.詳解：因為，因為函數(shù)是上奇函數(shù)，所以點睛：已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值或解析式，首先抓住奇偶性討論函數(shù)在各個區(qū)間上的解析式，或充分利用奇偶性得出關(guān)于的方程，從而可得的值或解析式.16、【解題分析】

對命題進(jìn)行化簡，將轉(zhuǎn)化為等價命題，即可求解.【題目詳解】又是的充分條件，即，它的等價命題是，解得【題目點撥】本題主要考查了四種命題的關(guān)系，注意原命題與逆否命題的真假相同是解題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析；(2)【解題分析】

（1）補(bǔ)全列聯(lián)表，計算，與臨界值表對比得到答案.（2）喜愛閱讀的人數(shù)為隨機(jī)變量，將2人喜歡閱讀，3人喜歡閱讀概率相加得到答案.【題目詳解】解：列聯(lián)表如表喜愛不喜愛合計男生女生合計由表可知因為，所以有的把握認(rèn)為是否喜愛閱讀與被調(diào)查對象的性別有關(guān).（2）設(shè)人中喜愛閱讀的人數(shù)為隨機(jī)變量，由題可知所以人中至少有人喜愛閱讀的概率為所以【題目點撥】本題考查了列聯(lián)表，概率的計算，意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力.18、【解題分析】

直線的普通方程為，即，與拋物線方程聯(lián)立方程組解得，∴.19、（1）；（2）見解析【解題分析】分析：（1）不低于86的成績有6個，可用列舉法列出任取2個的所有事件，計算出概率．（2）由莖葉圖中數(shù)據(jù)得出列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，再根據(jù)計算公式計算出得知結(jié)論．詳解：(1)由題意知本題是一個等可能事件的概率，試驗發(fā)生包含的事件是從不低于86分的成績中隨機(jī)抽取兩個包含的基本事件是：(86,91),(86,96),(86,97),(86,99),(86,99),(91,96)，(91,97),(91,99),(91,99),(96,97),(96,99),(96,99)，(97,99)，(97,99)，(99,99)，共有15種結(jié)果,符合條件的事件數(shù)(91,96)，(91,97)，(91,99)，(91,99)，(96,97)，(96,99)，(96,99)，(97,99)，(97,99)，(99,99)，共有13種結(jié)果，根據(jù)等可能事件的概率得到P＝＝．(2)由已知數(shù)據(jù)得甲班乙班總計成績優(yōu)秀156成績不優(yōu)秀191514總計232343根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計算得隨機(jī)變量K2的觀測值k＝≈1.117，由于1．117>2．736，所以在犯錯誤的概率不超過3．1的前提下認(rèn)為：“成績優(yōu)秀”與教學(xué)方式有關(guān)．點睛：本題考查等可能事件的概率及獨立性檢驗，用列舉法求此概率是常用方法，由所給公式計算出即知有無關(guān)系的結(jié)論，因此本題還考查了運算求解能力．20、（1）；（2）【解題分析】分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用已知條件列出方程，求解即可；（2）求出切線的斜率，然后求解切線方程．詳解：（1）依題意有①②由①②解有所以的解析式是（2）在處的切線的斜率所以有即故所求切線的方程為.點睛：這個題目考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在某一點處的切線方程；步驟一般為：一，對函數(shù)求導(dǎo)，代入已知點得到在這一點處的斜率；二，求出這個點的橫縱坐標(biāo)；三，利用點斜式寫出直線方程.21、（I）M＝(－2，2)．（Ⅱ）見解析【解題分析】試題分析：（1）將函數(shù)寫成分段函數(shù)，再利用，即可求得M；（2）利用作差法，證明，即可得到結(jié)論．試題解析：（1），當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，恒成立；綜合以上：（2）證明，只需，只需∵又∵，∴因此結(jié)果成立.考點：不