新疆喀什市深喀第一高級中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測試題含解析

新疆喀什市深喀第一高級中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知點，是拋物線：上的兩點，且線段過拋物線的焦點，若的中點到軸的距離為2，則（）A．2 B．4 C．6 D．82．如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱，在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是A． B． C． D．3．在的展開式中，的系數(shù)為（）A．-10 B．20 C．-40 D．504．已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖都由半圓及矩形組成，俯視圖由正方形及其內(nèi)切圓組成，則該幾何體的表面積等于（）A． B． C． D．5．已知平面向量，則（）A． B．3 C． D．56．設(shè)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則A．1 B． C．2 D．7．設(shè)隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(3,4)，若P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2)，則實數(shù)a的值為A．5 B．3 C．53 D．8．小紅和小明利用體育課時間進行投籃游戲，規(guī)定雙方各投兩次，進球次數(shù)多者獲勝．已知小紅投籃命中的概率為，小明投籃命中的概率為，且兩人投籃相互獨立，則小明獲勝的概率為（）A． B． C． D．9．“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件10．已知點P是雙曲線上一點，若，則△的面積為（）A． B． C．5 D．1011．記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有（）A．1440種 B．960種 C．720種 D．480種12．某科研機構(gòu)為了研究中年人禿頭是否與患有心臟病有關(guān)，隨機調(diào)查了一些中年人的情況，具體數(shù)據(jù)如下表所示：有心臟病無心臟病禿發(fā)20300不禿發(fā)5450根據(jù)表中數(shù)據(jù)得，由斷定禿發(fā)與患有心臟病有關(guān)，那么這種判斷出錯的可能性為（）附表：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828A．0.1 B．0.05C．0.01 D．0.001二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)_______.14．若一個三位自然數(shù)的十位上的數(shù)字最大，則稱該數(shù)為“凸數(shù)”（如，）.由組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中凸數(shù)的個數(shù)為_____個．15．已知雙曲線，的焦點分別在軸，軸上，漸近線方程為，離心率分別為，．則的最小值為___________．16．已知，，，則向量與向量的夾角為_______________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)f(x)=axx2+1+a(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求證:當(dāng)a>0時,對于任意x1,x18．（12分）甲、乙兩人進行象棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局數(shù)多者贏得比賽．假設(shè)每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結(jié)果相互獨立．（1）求甲在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽的概率；（2）用X表示比賽決出勝負時的總局數(shù)，求隨機變量X的分布列和均值.19．（12分）已知復(fù)數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位）（1）求；（2）若為純虛數(shù)，求實數(shù)的值．20．（12分）（）．（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，存在兩個極值點，，試比較與的大??；（3）求證：（，）．21．（12分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程在極坐標系中，曲線，，C與l有且僅有一個公共點．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O為極點，A，B為C上的兩點，且，求的最大值．22．（10分）已知函數(shù).求不等式的解集；若，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

利用拋物線的拋物線的定義寫出弦長公式，利用中點橫坐標來求得弦長.【題目詳解】設(shè)，，則，而的中點的橫坐標為，所以.故選C.【題目點撥】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，以及拋物線的定義和性質(zhì)，考查運算求解能力和化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.2、B【解題分析】設(shè)正方形邊長為，則圓的半徑為，正方形的面積為，圓的面積為.由圖形的對稱性可知，太極圖中黑白部分面積相等，即各占圓面積的一半.由幾何概型概率的計算公式得，此點取自黑色部分的概率是，選B.點睛:對于幾何概型的計算，首先確定事件類型為幾何概型并確定其幾何區(qū)域（長度、面積、體積或時間），其次計算基本事件區(qū)域的幾何度量和事件A區(qū)域的幾何度量，最后計算.3、C【解題分析】分析：根據(jù)二項式展開式的通項求的系數(shù).詳解：由題得的展開式的通項為令5-r=2,則r=3,所以的系數(shù)為故答案為：C.點睛：（1）本題主要考查二項式展開式的系數(shù)的求法，意在考查學(xué)生對該基礎(chǔ)知識的掌握水平和基本計算能力.(2)二項式通項公式：（）.4、D【解題分析】

由三視圖可知，該幾何體由上下兩部分組成，下面是一個底面邊長為的正方形，高為的直四棱柱，上面是一個大圓與四棱柱的底面相切的半球，據(jù)此可以計算出結(jié)果.【題目詳解】解：由三視圖可知，該幾何體由上下兩部分組成，下面是一個底面邊長為的正方形，高為的直四棱柱，上面是一個大圓與四棱柱的底面相切的半球.表面積.故選：D.【題目點撥】本題考查三視圖求解幾何體的表面積，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解題分析】

先由的坐標，得到的坐標，進而可得向量的模.【題目詳解】因為，所以，因此.故選A【題目點撥】本題主要考查向量的模，熟記向量的坐標表示即可，屬于?？碱}型.6、B【解題分析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，再由復(fù)數(shù)的模的計算公式求解即可．【題目詳解】由，得，，故選．【題目點撥】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算以及復(fù)數(shù)的模的計算．7、D【解題分析】

根據(jù)正態(tài)分布的特征，可得2a-3+a+2=6，求解即可得出結(jié)果.【題目詳解】因為隨機變量ξ服從正態(tài)分布N3,4，P根據(jù)正態(tài)分布的特征，可得2a-3+a+2=6，解得a=7故選D【題目點撥】本題主要考查正態(tài)分布的特征，熟記正態(tài)分布的特征即可，屬于基礎(chǔ)題型.8、D【解題分析】

由題意可知，用表示小明、小紅的進球數(shù)，所以當(dāng)小明獲勝時，進球情況應(yīng)該是，由相互獨立事件同時發(fā)生的乘法公式以及互斥事件的概率加法公式，即可求得?！绢}目詳解】由題意可知，用表示小明、小紅的進球數(shù)，所以當(dāng)小明獲勝時，進球情況應(yīng)該是，小明獲勝的概率是故選D。【題目點撥】本題主要考查相互獨立事件同時發(fā)生的乘法公式以及互斥事件的概率加法公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生分類討論思想意識以及運算能力。9、D【解題分析】取，則，但，故；取，則，但是，故，故“”是“”的既不充分也不必要條件，選D.10、C【解題分析】設(shè)，則：，則：，由勾股定理可得：，綜上可得：則△的面積為：.本題選擇C選項.點睛：(1)雙曲線定義的集合語言：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a,0＜2a＜|F1F2|}是解決與焦點三角形有關(guān)的計算問題的關(guān)鍵，切記對所求結(jié)果進行必要的檢驗．(2)利用定義解決雙曲線上的點與焦點的距離有關(guān)問題時，弄清點在雙曲線的哪支上．11、B【解題分析】5名志愿者先排成一排，有種方法，2位老人作一組插入其中，且兩位老人有左右順序，共有=960種不同的排法，選B．12、D【解題分析】

根據(jù)觀測值K2，對照臨界值得出結(jié)論．【題目詳解】由題意，，根據(jù)附表可得判斷禿發(fā)與患有心臟病有關(guān)出錯的可能性為.故選D．【題目點撥】本題考查了獨立性檢驗的應(yīng)用問題，理解臨界值表格是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由復(fù)數(shù)乘法法則即可計算出結(jié)果【題目詳解】.【題目點撥】本題考查了復(fù)數(shù)的乘法計算，只需按照計算法則即可得到結(jié)果，較為簡單14、8【解題分析】

根據(jù)“凸數(shù)”的特點，中間的數(shù)字只能是3,4，故分兩類，第一類，當(dāng)中間數(shù)字為“3”時，第二類，當(dāng)中間數(shù)字為“4”時，根據(jù)分類計數(shù)原理即可解決.【題目詳解】當(dāng)中間數(shù)字為“3”時，此時有兩個（132,231），當(dāng)中間數(shù)字為“4”時，從123中任取兩個放在4的兩邊，有種，則凸數(shù)的個數(shù)為個.【題目點撥】本題考查分類計數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

根據(jù)雙曲線的漸近線方程和離心率的關(guān)系可得，，再利用基本不等式求解即可.【題目詳解】解：由漸近線方程為可知，，,，，.第一次取等號的條件為，即，第二次取等號的條件為，即.的最小值為.故答案為：.【題目點撥】本題考查雙曲線的方程和基本性質(zhì)，離心率的求法，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.16、【解題分析】

由條件利用兩個向量垂直的性質(zhì),兩個向量的數(shù)量積的定義，求得向量與向量的夾角的余弦值,可得向量與向量的夾角的值.【題目詳解】由題意可得，即,為向量與向量的夾角），求得，故答案為.【題目點撥】本題主要考查向量的模、夾角及平面向量數(shù)量積公式，屬于中檔題.平面向量數(shù)量積公式有兩種形式，一是，二是，主要應(yīng)用以下幾個方面:(1)求向量的夾角，（此時往往用坐標形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直則;(4)求向量的模（平方后需求）.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）當(dāng)a>0時,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-1),(1,+∞)；當(dāng)a<0時,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1),(1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,1)；（2）詳見解析.【解題分析】試題分析：（I）首先求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)，對字母a進行分類討論，根據(jù)f'(x)>0，可知f(x)函數(shù)單調(diào)遞增，f'(x)<0時f(x)函數(shù)單調(diào)遞減可得答案．（Ⅱ）要證當(dāng)a＞0時，對于任意x1，x2∈（0，e]，總有g(shù)(x1)＜f(x試題解析解：（Ⅰ）函數(shù)f(x)的定義域為R，f'當(dāng)a>0時，當(dāng)x變化時，f'(x)，x

(-∞,-1)

-1

(-1,1)

1

(1,+∞)

f'-

0

+

0

-

f(x)

↘

↗

↘

當(dāng)a<0時，當(dāng)x變化時，f'(x)，x

(-∞,-1)

-1

(-1,1)

1

(1,+∞)

f'+

0

-

0

+

f(x)

↗

↘

↗

綜上所述，當(dāng)a>0時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-1)，(1,+∞)；當(dāng)a<0時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1)，(1,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,1).5分（2）由（1）可知，當(dāng)a>0時，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，f(x)>f(0)；f(x)在(1,e]上單調(diào)遞減，且f(e)=aee2+1+a>a.所以x∈(0,e]時，f(x)>a令g'(x)=0，得①當(dāng)0<a<e時，由g'(x)>0，得0<x<a；由g'所以函數(shù)g(x)在(0,a)上單調(diào)遞增，在(a,e]上單調(diào)遞減.所以g(x)因a-(alna-a)=a(2-lna)>a(2-ln②當(dāng)a≥e時，g'(x)≥0在所以函數(shù)g(x)在(0,e]上單調(diào)遞增，g(x)所以對于任意x1,x綜上所述，對于任意x1,x考點：1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2.函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．18、（1）；（2）分布列見解析，.【解題分析】

（1）根據(jù)概率的乘法公式，求出對應(yīng)的概率，即可得到結(jié)論．（2）利用離散型隨機變量分別求出對應(yīng)的概率，即可求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望．【題目詳解】用A表示“甲在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽”，表示“第k局甲獲勝”，表示“第k局乙獲勝”則，，.（1）.（2）X的所有可能取值為.，，，.∴X的分布列為X2345P∴【題目點撥】本題考查了相互獨立事件、互斥事件的概率計算公式、隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．19、（1）；（2）.【解題分析】

(1)設(shè)，可得，解得從而可得結(jié)果；(2)由（1）知，利用為純虛數(shù)可得，從而可得結(jié)果.【題目詳解】（1）設(shè)，由于則：解得：（2）由（1）知又為純虛數(shù)，【題目點撥】本題主要考查的是復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)的乘法、除法運算，屬于中檔題．解題時一定要注意和以及運算的準確性，否則很容易出現(xiàn)錯誤.20、（1）遞減，遞增（2）（3）詳見解析【解題分析】試題分析：（1）求出函數(shù)的定義域，求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，即可得到極值；（2）求出導(dǎo)數(shù)，求得極值點，再求極值之和，構(gòu)造當(dāng)0＜t＜1時，g（t）=2lnt+-2，運用導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得到結(jié)論；（3）當(dāng)0＜t＜1時，g（t）=2lnt+-2＞0恒成立，即lnt+-1＞0恒成立，設(shè)t=（n≥2，n∈N），即ln+n-1＞0，即有n-1＞lnn，運用累加法和等差數(shù)列的求和公式及對數(shù)的運算性質(zhì)，即可得證試題解析：（Ⅰ），定義域，，遞減，遞增（Ⅱ），，，，，（也可使用韋達定理）設(shè)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，在上遞減，，即恒成立綜上述（Ⅲ）當(dāng)時，恒成立，即恒成立設(shè)，即，考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；導(dǎo)