廣東省廣州市增城一中2024屆高二數(shù)學第二學期期末統(tǒng)考試題含解析

廣東省廣州市增城一中2024屆高二數(shù)學第二學期期末統(tǒng)考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)y=sin2x的圖象可能是A． B．C． D．2．在復平面內(nèi)，復數(shù)(i為虛數(shù)單位)的共軛復數(shù)對應的點位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．己知函數(shù),若,則()A． B． C． D．4．已知函數(shù)為奇函數(shù),則（）A． B． C． D．5．若函數(shù)在上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．6．已知隨機變量，且，則（）A．1．25 B．1．3 C．1．75 D．1．657．已知函數(shù)與的圖象上存在關于軸對稱的點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．8．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若，則輸出的為（）A． B． C． D．9．若函數(shù)為偶函數(shù)，則（）A．-1 B．1 C．-1或1 D．010．如圖，在正四棱柱中，是側面內(nèi)的動點，且記與平面所成的角為，則的最大值為A． B． C． D．11．若復數(shù)滿足，則復數(shù)為（）A． B． C． D．12．已知，為的導函數(shù)，則的圖象是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知(1-2x)2018=a14．棱長為的正四面體的高為__________.15．在中,為的中點,,的面積為6,且交于點,將沿翻折,翻折過程中，與所成角的余弦值取值范圍是__．16．已知，且，則____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）完成下列證明：（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若，求證：.18．（12分）隨著生活水平的提高，越來越多的人參與了潛水這項活動.某潛水中心調(diào)查了100名男性與100女性下潛至距離水面5米時是否耳鳴，下圖為其等高條形圖：①繪出列聯(lián)表；②根據(jù)列聯(lián)表的獨立性檢驗，能否在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為耳鳴與性別有關系？附：，其中.0.0250.0100.0050.0015.0246.6357.87910.82819．（12分）已知橢圓的左、右焦點分別為，，是橢圓上在第二象限內(nèi)的一點，且直線的斜率為.（1）求點的坐標；（2）過點作一條斜率為正數(shù)的直線與橢圓從左向右依次交于兩點，是否存在實數(shù)使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.20．（12分）選修4-5：不等式選講.（1）當時，求函數(shù)的最大值；（2）若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知過點且圓心在直線上的圓與軸相交于兩點，曲線上的任意一點與兩點連線的斜率之積為．（1）求曲線的方程；（2）過原點作射線，分別平行于，交曲線于兩點，求的取值范圍．22．（10分）已知函數(shù)．（1）當時，解不等式；（2）若存在實數(shù)解，求實數(shù)a取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】分析:先研究函數(shù)的奇偶性，再研究函數(shù)在上的符號，即可判斷選擇.詳解：令，因為，所以為奇函數(shù)，排除選項A,B;因為時，，所以排除選項C，選D.點睛：有關函數(shù)圖象的識別問題的常見題型及解題思路：（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象的左、右位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上、下位置；（2）由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；（3）由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；（4）由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復．2、D【解題分析】分析：首先求得復數(shù)z，然后求解其共軛復數(shù)即可.詳解：由復數(shù)的運算法則有：，則，其對應的點位于第四象限.本題選擇D選項.點睛：本題主要考查復數(shù)的運算法則及其應用等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.3、D【解題分析】分析：首先將自變量代入函數(shù)解析式，利用指對式的運算性質(zhì)，得到關于參數(shù)的等量關系式，即可求得結果.詳解：根據(jù)題意有，解得，故選D.點睛：該題考查的是已知函數(shù)值求自變量的問題，在求解的過程中，需要對指數(shù)式和對數(shù)式的運算性質(zhì)了如指掌.4、A【解題分析】

根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì),利用計算得到,再代入函數(shù)計算【題目詳解】由函數(shù)表達式可知，函數(shù)在處有定義，則，，則，.故選A.【題目點撥】解決本題的關鍵是利用奇函數(shù)性質(zhì),簡化了計算,快速得到答案.5、D【解題分析】

由題意得在上恒成立，利用分離參數(shù)思想即可得出結果．【題目詳解】∵，∴，又∵函數(shù)在上是增函數(shù)，∴在恒成立，即恒成立，可得，故選D.【題目點撥】本題主要考查了已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題．6、C【解題分析】

利用正態(tài)分布的圖像和性質(zhì)求解即可.【題目詳解】由題得，所以.故選：C【題目點撥】本題主要考查正態(tài)分布的圖像和性質(zhì)，考查指定概率的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.7、C【解題分析】

函數(shù)關于軸對稱的解析式為，則它與在有交點，在同一坐標系中分別畫出兩個函數(shù)的圖象，觀察圖象得到.【題目詳解】函數(shù)關于軸對稱的解析式為，函數(shù)，兩個函數(shù)的圖象如圖所示：若過點時，得，但此時兩函數(shù)圖象的交點在軸上，所以要保證在軸的正半軸，兩函數(shù)圖象有交點，則的圖象向右平移均存在交點，所以，故選C.【題目點撥】本題綜合考查函數(shù)的性質(zhì)及圖象的平移問題，注意利用數(shù)形結合思想進行問題求解，能減少運算量.8、B【解題分析】

執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的的值，當時，不滿足條件，退出循環(huán)，輸出的值．【題目詳解】執(zhí)行如圖所示的程序框圖，有滿足條件，有，；滿足條件，有,；滿足條件，有，；滿足條件，有，；不滿足條件，退出循環(huán)，輸出的值為本題正確選項：【題目點撥】本題考查了程序框圖和算法的應用問題，是對框圖中的循環(huán)結構進行了考查，屬于基礎題.9、C【解題分析】

由f（x）為偶函數(shù)，得，化簡成xlg（x2+1﹣m2x2）＝0對恒成立，從而得到x2+1﹣m2x2＝1，求出m＝±1即可．【題目詳解】若函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，∴f（﹣x）＝f（x），即；得對恒成立，∴x2+1﹣m2x2＝1，∴（1﹣m2）x2＝0，∴1﹣m2＝0，∴m＝±1．故選C．【題目點撥】本題考查偶函數(shù)的定義，以及對數(shù)的運算性質(zhì)，平方差公式，屬于基礎題．10、B【解題分析】

建立以點為坐標原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸的空間直角坐標系，設點，利用，轉(zhuǎn)化為，得出，利用空間向量法求出的表達式，并將代入的表達式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最大值，再由同角三角函數(shù)的基本關系求出的最大值．【題目詳解】如下圖所示，以點為坐標原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，則、、，設點，則，，，，，則，得，平面的一個法向量為，所以，，當時，取最大值，此時，也取最大值，且，此時，，因此，，故選B．【題目點撥】本題考查立體幾何的動點問題，考查直線與平面所成角的最大值的求法，對于這類問題，一般是建立空間坐標系，在動點坐標內(nèi)引入?yún)?shù)，將最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的問題求解，考查運算求解能力，屬于難題．11、D【解題分析】

把已知等式變形，再由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案．【題目詳解】由，

得．

故選D．【題目點撥】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，是基礎的計算題．12、A【解題分析】

先化簡f（x）＝，再求其導數(shù)，得出導函數(shù)是奇函數(shù)，排除B，D．再根據(jù)導函數(shù)的導函數(shù)小于0的x的范圍，確定導函數(shù)在上單調(diào)遞減，從而排除C，即可得出正確答案．【題目詳解】由f（x）＝，∴，它是一個奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱，故排除B，D．又，當﹣＜x＜時，cosx＞，∴＜0，故函數(shù)y＝在區(qū)間上單調(diào)遞減，故排除C．故選A．【題目點撥】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導函數(shù)的正負之間的關系，即當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解題分析】

根據(jù)題意，由二項式定理可得(1-2x)2018的展開式的通項，分析可知a1、a3、……a2017為負值，在【題目詳解】根據(jù)題意，(1-2x)2018中，其展開式的通項為又由(1-2x)則a1、a3、則在(1-2x)2018中，令x=-1可得：又由a1、a3、則|a故答案為：32018【題目點撥】本題考查了二項式定理的應用，賦值法求項的系數(shù)和，屬于中檔題．14、【解題分析】

利用正弦定理計算出正四面體底面三角形的外接圓半徑，再利用公式可得出正四面體的高.【題目詳解】設正四面體底面三角形的外接圓的半徑為，由正弦定理得，，因此，正四面體的高為，故答案為.【題目點撥】本題考查正四面體高的計算，解題時要充分分析幾何體的結構，結合勾股定理進行計算，考查空間想象能力，屬于中等題.15、.【解題分析】分析：根據(jù)題意，過作的垂線，垂足為過作的垂線，垂足為由題可求得，設的夾角為，，由此可求與所成角的余弦值取值范圍詳解：如圖所示，根據(jù)題意，過作的垂線，垂足為過作的垂線，垂足為由題,的面積為6，，設的夾角為，故與所成角的余弦值取值范圍是.即答案為.點睛：本題考查平面圖形的翻折問題，考查異面直線的夾角文，屬難題.16、【解題分析】

利用復數(shù)相等的條件和復數(shù)的模運算可以求得.【題目詳解】由復數(shù)相等得：解得：故答案為【題目點撥】本題考查復數(shù)相等和復數(shù)的模，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）證明見解析.【解題分析】

（Ⅰ）運用分析法，兩邊平方，化簡配方即可得證；（Ⅱ）運用變形和基本不等式，即可得證?！绢}目詳解】（I）要證：≥只需證：≥，即證：，即證：,即證：，即證：，這顯然成立，故.（II）依題意，因為，故，故當且僅當，即，即時等號成立.【題目點撥】本題主要考查不等式的證明的方法——分析法和綜合法，意在考查學生運用分析法和使用基本不等式時涉及到的變形能力，化簡能力以及推理能力。18、①答案見解析；②能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為耳鳴與性別有關系.【解題分析】分析：①.由題意結合等高條形圖求得相應的人數(shù)，然后繪制列聯(lián)表即可；②.結合①中的列聯(lián)表計算的觀測值：，則能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為耳鳴與性別有關系.詳解：①由男女生各100人及等高條形圖可知耳鳴的男生有人，耳鳴的女生有人，∴無耳鳴的男生有100-30=70人，無耳鳴的女生有100-50=50人，所以列聯(lián)表如下：有耳鳴無耳鳴總計男3070100女5050100總計80120200②公式計算的觀測值：，能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為耳鳴與性別有關系.點睛：獨立性檢驗得出的結論是帶有概率性質(zhì)的，只能說結論成立的概率有多大，而不能完全肯定一個結論，因此才出現(xiàn)了臨界值表，在分析問題時一定要注意這點，不可對某個問題下確定性結論，否則就可能對統(tǒng)計計算的結果作出錯誤的解釋．19、（1）；（2）存在，使得【解題分析】

（1）由和直線的斜率可得方程；代入橢圓方程解方程即可求得點坐標；（2）由和點坐標得：軸；假設直線：，代入橢圓方程可求得的范圍和韋達定理的形式，利用韋達定理表示出，可整理出，從而可得；結合軸可知，進而得到結果.【題目詳解】（1）由及直線的斜率為得直線的方程為：代入橢圓方程整理得：解得：或（舍），則：點的坐標為（2）由及得：軸設直線的方程為：代入橢圓方程整理得：由直線與橢圓交于，兩點得：，結合，解得：由韋達定理得：，直線和的傾斜角互補，從而結合軸得：，故綜上所述：存在，使得【題目點撥】本題考查直線與橢圓的綜合應用問題，涉及到交點坐標的求解、橢圓中滿足某條件的定值問題的求解問題，考查了韋達定理在直線與橢圓問題中的應用問題，對計算能力有一定的要求.20、（1）4（2）【解題分析】分析：（1）利用絕對值三角不等式求函數(shù)的最大值.(2)先求，再解不等式即得實數(shù)的取值范圍.詳解：（1）當時，，由，故，所以，當時，取得最大值，且為.（2）對任意恒成立，即為，即即有，即為或，所以的取值范圍是.點睛：（1）本題主要考查絕對值三角不等式和不等式的恒成立，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)重要絕對值不等式：,使用這個不等式可以求絕對值函數(shù)的最值，先要確定是使用左邊還是右邊，如果兩個絕對值中間是“-”號，就用左邊，如果兩個絕對值中間是“+”號，就使用右邊.再確定中間的“±”號，不管是“+”還是“-”，總之要使中間是常數(shù).21、（1）；（2）.【解題分析】分析：（1）先求出圓C的方程，再利用直接法求曲線的方程.(2)設，射線的斜率為，則射線的斜率為,求出，再換元求其取值范圍.詳解：（1）∵圓過點，，∴圓心在直線上，又圓心在直線上，∴當時，，即圓心為.又與的距離為，∴圓的方程為.令，得.不妨設，，由題意可得，，∴,∴曲線的方程為：()．（2）設，射線的斜率為，則射線的斜率為.解得，∴．同理，…9分∴．設，則，∴，又∵，∴.點睛：（1）本題主要考查圓的方程的求法，考查軌跡方程的求法，考查直線