作業(yè)06 因式分解-2021年八年級數(shù)學暑假作業(yè)（北師大版）（解析版）

作業(yè)06因式分解

注意事項：

本試卷滿分120分，完成時間90分鐘，試題共25題.答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自

己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置.

基礎過關(70分)

一、選擇題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.(2020?浙江七年級期末)下列由左到右的變形，屬于因式分解的是()

A.(x+y)(x-y)=x2-y2B.xy+3x=x(y+3)

C.x2+2x-l=(x+l)(x-l)+2xD.2x2+x-x2m+-

秒x

【答案】B

【分析】根據(jù)因式分解的定義：把整式變形成整式乘積的形式，即可作出判斷.

【詳解】解：A、結果不是整式的積的形式，不是因式分解，故本選項不符合題意；

B、符合因式分解的定義，故本選項符合題意；

C、結果不是整式的積的形式，不是因式分解，故本選項不符合題意；

D、計算錯誤，故本選項不符合題意；故選：B.

【點睛】本題主要考查了因式分解的定義，正確理解定義是關鍵.

2.(2020?山東歷城?期中)如圖，邊長為。，人的矩形的周長為14,面積為10,則/b+a〃的值為().

A.140B.70C.35D.24

【答案】B

【分析】根據(jù)題意得出2(a+b)=14,ab=10,再對4。+,力2進行因式分解，即可得出答案.

【解析】根據(jù)題意可得：2(a+b)=14,ab=10則a%+“/=ab(a+b)=10x7=70故答案選擇：B.

【點睛】本題考查的是因式分解，需要熟練掌握因式分解的方法.

3.(2020?江蘇省南菁高級中學實驗學校初一其他)己知工2一5》+加有一個因式為％-2,則另一個因式為

（）

A.x+3B.x-6C.x-3D.x+6

【答案】C

【分析】所求的式子5%+機的二次項系數(shù)是1,因式（x-2）的一次項系數(shù)是1,則另一個因式的一次

項系數(shù)一定是1,然后根據(jù)爐一5X+“中一次項系數(shù)為-5,列方程求出另一個因式.

【解析】設另一個因式為（尤+〃），則爐-5工+m=（x-2）（x+a）,

即--51+加=32+（〃一2）%—2a,/.a~2=-5,解得：々=—3,?二另一■個因式為（x—3）,故選：C.

【點睛】本題主要考查因式分解的實際運用，根據(jù)二次項系數(shù)假設出另一個因式是解本題的關鍵.

4.（2020?浙江杭州市?七年級期中）在多項式中，（1）a2-b2+2ah（2）\-a+a2（3）--x+x2（4）

4

-4/+12孫-9y2其中能用完全平方公式分解因式的個數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】直接利用完全平方公式分別分解因式進而判斷即可.

【詳解】解：（1）a?一￡+2?！o法運用完全平方公式分解因式；

（2）1-〃+/無法運用完全平方公式分解因式；

（3）5—x+x2=（x_g）,能運用完全平方公式分解因式；

（4）-4x2+12xy-9y2=-（2x-3y）2,能運用完全平方公式分解因式；故選B.

【點睛】此題主要考查了公式法分解因式，正確應用公式是解題關鍵.

5.（2020?湖南益陽?期末）下列各式中，哪項可以使用平方差公式分解因式（）

222223

A.-a-hB.-a+9C.pD.a-h

【答案】B

【分析】能夠運用平方差公式分解因式的多項式必須是二項式，兩項都能寫成平方的形式，口符號相反，

據(jù)此判斷即可.

【解析】解：A.一"與—從符號相同，不能使用平方差公式分解因式；

B.-〃+9■以使用平方差公式分解因式;

C.P2-(-q2)=P2+q2，p2與d符號相同，不能使用平方差公式分解因式;

D./是立方的形式，故片一〃不能使用平方差公式分解因式；故選：B.

【點睛】此題主要考查了運用公式法分解因式，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：能夠運用平方差

公式分解因式的多項式必須是二項式，兩項都能寫成平方的形式，且符號相反.

6.(2020?陜西鳳翔?初一期中)計算結果為犬―5%-6的是()

A.(x-2)(x+3)B.(x+6)(x-l)C.(x+2)(x-3)D.(x-6)(x+l)

【答案】D

【分析】運用十字相乘的方法來分解即可.

【解析】解：x2-5x-6-(x-6)(x+1)故選D

【點睛】本題考查了運用十字相乘的方法來分解因式，熟練掌握該方法是解決本題的關鍵.

二、填空題(本大題共4小題，每小題3分，共12分.不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上)

7.(2020?浙江杭州市?七年級期中)單項式4["I與的公因式是.

【答案】4m2n2

【分析】找到系數(shù)的公共部分，再找到因式的公共部分即可.

【詳解】解：由于4和12的公因數(shù)是4,m2n2和m3n2的公共部分為m2n2,

所以4m2n2與12m3n2的公因式是4m2n2.故答案為4m2n2.

【點睛】本題主要考查公因式的確定，找到兩式的公共部分是解題的關鍵.

8.(2020?湖南茶陵?初一期末)分解因式N+3x+2的過程，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次

項系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；再分解常數(shù)項，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；

然后交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項系數(shù)(如右圖).這樣，我們可以得到/+3x+2=(x+1)(x+2).請

利用這種方法，分解因式2/-3x-2=.

一工、2

1X24-1X1=3

【答案】(2x+l)(x-2)

【分析】根據(jù)題中的方法將原式分解即可.

【解析】解：原式=(2x+l)(x-2),故答案為(2x+l)(x-2)

【點睛】此題考查了因式分解-卜字相乘法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵.

9.（2020?浙江杭州市?七年級其他模擬）多項式/+爾+6因式分解得（x-2）（x+〃），則機=.

【答案】-5

【分析】根據(jù)多項式的乘法法則把（％-2）。+〃）計算后與皿+6比較即可求解.

【詳解】解：（x—2）（x+〃）=x2+nx-2x-2n=x2+（n-2）x-2n,

：%2+/加+6因式分解得（x-2）（x+"）,...m=n-2,-2n=6,；.n=-3,m=-5.故答案為：-5.

【點睛】本題考查了因式分解的應用，熟練掌握因式分解與整式的乘法是互為逆運算是解答本題的關鍵.

10.（2020?江西昌江?景德鎮(zhèn)一中初一期末）已知W，〃為實數(shù)，若x-l,x+4均為多項式1+相1+也+p

的因式，則2加一2〃一〃+86=.

【答案】100

【分析】根據(jù)三次項系數(shù)為I,可設另一個因式為x+Z，然后建立等式，分別用k表示m,n,p的值，再

代入求解即可.

【解析】解法一（直接展開法）：「x-Lx+d均為多項式丁+〃1+研+〃的因式，且三次項系數(shù)為1

設另-■■個因式為x+Z則x3+mx2+nx+〃=（x-l）（x+4）（x+女）

m-3+k

整理得：/+加/+收+0=/+（3+幻/+（3女一4h一4左由此可得：＜〃=3左一4

p--4k

?1-2m-In—〃+86=2（3+左）-2（3攵-4）—（—4左）+86=6+2左—6k+8+4Z+86=100

解法二（利用方程或等式的性質(zhì)）：：x—l,x+4均為多項式/+如2+加1+2的因式，且三次項系數(shù)為1

設另一個因式為x+左則x3+nvc2+nx+〃=（x-l）（x+4）（x+女）

,m=3——

I6m-4n+p-64、4

取戶1和x=-4帶入上面的方程中得到：\解得：;

m+n+p=-l"_彳3P

n~-T

2m-2n-p+86=100；故答案為：100.

【點睛】本題考查了多項式的因式分解、以及乘法法則，依據(jù)題意正確設立第三個因式是解題關鍵.

三、解答題（本大題共5小題，共40分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程

或演算步驟）

11.(2020?浙江七年級月考)分解因式

(1)ax-hx(2)—3/'+48心'(3)c^-la+i-b2(4)(a-h)3-a+h

【答案】(1)x(?！?；(2)3A:"(4x2n+1)(2x"+1)(2xn-1)：(3)[a+b-l)(a-b-1)；(4)

【分析】(1)提公因式x即可分解；(2)提公因式-3*2",再逐步利用平方差公式分解；(3)先分組，

再利用完全平方公式分解，最后利用平方差公式分解：(4)先提公因式a-b,再利用平方差公式分解.

【詳解】解：(1)or-法=x("。)；

(2)_3/+48/=-3—+48(/)3=_3/l-16(x2")2

2/,22n22n2n

=-3X(4X"+1)(4x-1)=-3x"(4x+1)(2x”y-1=3x"(4JV"+l)(2%+1)(2Z-1):

(3)a2-2a+l-b2=^a-1)2-b2=(^a+b-1)(?-b-1)；

(4)(a-b)3-a+b=(a-b'f-^a-b)=(a-b^a-b)2-I=(a-Z?)(a-/?+l)(a-Z?-l)

【點睛】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確運用公式是解題關鍵，注意因式分解要

徹底.

12.(2021?社旗縣新時代國際學校八年級月考)兩位同學將一個二次三項式分解因式，一位同學因看錯了

一次項系數(shù)而分解成2(x-l)(x-9),另一位同學因看錯了常數(shù)項而分解成2(》-2)(%-4),求出原多項式.

【答案】2X2-12%+18

【分析】由于含字母x的二次三項式的般形式為ax?+bx+c(其中a、b、c均為常數(shù)，且abc/)),所以可

設原多項式為ax2+bx+c.看錯了一次項系數(shù)即b值看錯而a與c的值正確，根據(jù)因式分解與整式的乘法互

為逆運算，可將2(x-l)(x-9)運用多項式的乘法法則展開求出a與c的值：同樣，看錯J'常數(shù)項即c值

看錯而a與b的值正確，可將2(x-2)(x-4)運用多項式的乘法法則展開求出b的值，進而得出答案.

【詳解】解：設原多項式為內(nèi)2+fex+x(其中。，h,，均為常數(shù)，且而c，0).

因為2(x—1)(%—9)=2(f-10》+9)=2*2—20x+18,所以a=2,c=18，

又因為2(x—2)(%—4)=2(x2—6x+8)=2x2—12x+16,所以h=—121所以原多項式為2x2—12%+18-

【點睛】本題主要考查了因式分解與整式的乘法互為逆運算.是中考中的常見題型.本題中注意：如果-

個二次三項式，看錯了一次項系數(shù)，意思是二次項系數(shù)與常數(shù)項都沒有看錯.

13.(2020?浙江七年級期末)如圖，將一張長方形紙板按圖中虛線裁剪成九塊，其中有兩塊是邊長都為加

的大正方形，兩塊是邊長都為〃的小正五形，五塊是長為加，寬為〃的全等小長方形.且相＞〃.(以上

長度單位：cm)(1)觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式2〃/+5〃?〃+2〃2可以因式分解為.

(2)若每塊小長方塊的面積為20cm2,四個正方形的面積和為162cm2.

①試求圖中所有裁剪線(虛線部分)長度之和；②求(加-〃了的值.

■im?

【答案】(I)(2m+n)(m+2n)；⑵①66cm；②41

【分析】(1)根據(jù)圖中的面積關系，兩個大正方形、兩個小正方形和5個長方形的面積之和等于大長方形

的面積，據(jù)此可解；(2)①根據(jù)題意可得mn,2m2+2n2,從而可得從而m2+n2,進而可求得m+n,結合圖

形可得答案.②根據(jù)m2+n2以及mn的值，結合完全平方公式計算即可.

【詳解】解：(1)觀察圖形，發(fā)現(xiàn)代數(shù)式：2m?+5mn+2n2表示大長方形的面積，

貝(]2m2+5mn+2n2=(2m+n)(m+2n)；故答案為：(2m+n)(m+2n)：

(2)①若每塊小矩形的面積為20cm2,四個正方形的面積和為162cm2,則mn=20cm2,2m2+2n2=162cm2,

.*.m2+n2=81,(m+n)2=81+20x2=121,m+n=11,

.?.圖中所有裁剪線(虛線部分)長之和為6m+6n=6(m+n)=66(cm)；

②(m-n)2=m2+n2-2mn=81-2x20=41.

【點睛】本題考查了因式分解在幾何圖形問題中的應用，數(shù)形結合，并熟練掌握相關計算法則，是解題的

關鍵.

14.(2021?江西宜春市?八年級期末)小明、小花和老師一起探究一個問題：將團4+4因式分解.

小花根據(jù)大家的提示，整理出解答過程：

nr+4=。叫-+2?=(/叫:+4m2+22-4m2=(加+2『-(2m)2+2+2時(利?+2-2w)

請你依照上述做法，將下列各式因式分解:

（1）4/+1;⑵a4+c4-7a2c2

【答案】(1)(2x~+1+2x)(2x~+1-2x)：(2)(礦+c~+3ac)(i?-+-3ac)

【分析】(I)(2)根據(jù)題干所給方法進行添項，構成乘法公式進行因式分解即可.

【詳解】解：(1)4x4+1=(2x2)2+12=(2x2)2+4x2+12-4x2=(2x2+1)2-(2x)2

=(2x?+l+2x)-(2f+1-2x)；

(2)J?=o4+c4+2a2c2-2a2c2-7a2c2-(?2+c2)-9a1c1

—(a~+c2+3ac)(a~+c~-3ac).

【點睛】本題主要考查因式分解，熟練掌握利用乘法公式進行因式分解是解題的關鍵.

15.(2020?山西陽泉?初二期末)請閱讀下列材料,并完成相應的任務.

楊輝,南農(nóng)杰出的腎學家和教學枚育家,花耳一生留下了大量的著作.他《口

著名的望學著作共5種21&.即《徉解九米舁法：>12卷.《日川算法》26,

《束除通變本末》3卷,《同窗比奧乘除找法》2卷,《埃古描專耳法》2卷.在《外Jpg

解九豐舁法》一書中，畫了一張a示二項式展■開后的系數(shù)構成的三角田彬.根

據(jù)這個三角出招,楊輝研究了二項式定理，并根據(jù)此定理研究了兩敏的立方/*

和、立方是、三教的立方和子公式，兩數(shù)的立方基公式是:"-/，’=(“-/,)(/+而+〃)，這個公?式的拉

導過程如下H-心)+4()+/>(//+//)(?-//)=("-%)(/+而S).

任務：(1)利用上述方法推導立方和公式/+。3=(4+0)(/一"+/)(從左往右推導)；

(2)已知。+。=1,。匕=-1,。>匕,求/+62,/一63的值.

【答案】(1)推導見解析；(2)/+尸=3,a3-b3=2卮

【分析】(1)應用添項辦法進行因式分解可得:4+〃3=。3+/)一。2/?+慶；(2)根據(jù)配方法和立方差公

式可得.

(IStFr](l)^：a3+/?3=a3+cPb-a2b+b3=a2(a+b)-b^-b2)=a2(a+b)-b(a+b)(a-b)

=(4+/?)(/—ab+/>2)

⑵解：a2+b'-(a+b)2-lab=12-2x(-1)=3

("bp^cr-lab+b1=3-2x(T)=5

a>b:.a-b=\/5

673-/?3=(a-h)^a2+ah+b'^=>/5x(3-l)=26

【點睛】考核知識點：因式分解應用.靈活運用因式分解方法轉(zhuǎn)化問題是關鍵.

能力培優(yōu)(50分)

一、選擇題(本大題共4小題，每小題3分，共12分)在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.(2020?浙江杭州市?七年級其他模擬)對于算式20183-2018,下列說法錯誤的是

()

A.能被2016整除B.能被2017整除C.能被2018整除D.能被2019整除

【答案】A

【分析】根據(jù)因式分解的方法對原式進行變形后可以得解.

【詳解】解：???20183—2018=2018(20182—1)=2018(2018+1)(2018-1)

=2018x2019x2017,AB.C、D正確,A錯誤,故選A.

【點睛】本題考查因式分解的應用，熟練掌握因式分解的各種方法并靈活運用是解題關鍵.

【點睛】本題考查了因式分解的應用，熟練掌握因式分解的方法并正確對原式變形是解題的關鍵.

2.(2021?山東沂源?初二期中)設a,b,c是AABC的三條邊，且a?—b，=a?b—ab?+ac?—be?，則這個

三角形是()

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

【答案】D

【分析】把所給的等式能進行因式分解的要因式分解，整理為整理成多項式的乘積等于0的形式，求出三

角形三邊的關系，進而判斷三角形的形狀.

【解析】解：Va~b3=a2b_ab2+ac2-bc2,a-b3-a2b+ab-ac2+bc2=0,

(a3-a2b)+(ab2-b3)-(ac2-bc2)=0,a2(a-b)+b2(a-b)-c~(a-b)=0>(a-b)(a~+b2-c")=0,

所以a-b=0或一+1)2-(?=0.所以a二b或a'b'c.故選：D.

【點睛】本題考查了分組分解法分解因式，利用因式分解最后整理成多項式的乘積等于0的形式是解題的

關鍵.

甲圖中陰影部分面積

3.(2020?浙江省初二月考)如圖，設％(a〉6〉0),則k的值可以為()

乙■圖中陰黑影部，分?面黑積''

甲乙

3

A.B.1C.D.2

22

【答案】C

【分析】先用。、b的代數(shù)式表示出甲圖和乙圖的面積，然后利用分式的約分可得々的值，由。>。>0即可

確定k的取值范圍，進而可得答案.

【解析】解：甲圖中陰影部分的面積=〃一乙圖中陰影部分的面積=a(a—b),

cr-b-_(a-b)(a+b)_a+b_b

..a(a-b)a(a-b)aa

b3

'：a>b>Q,.-.O<-<1,：.\<k<2,觀察4個選項，k的值可以為一.故選：C.

a2

【點睛】本題考查了多項式的因式分解、分式的約分化簡以及用代數(shù)式表示圖形的面積，屬于?？碱}型，

正確理解題意、熟練掌握上述相關知識是解題的關鍵.

4.(2021?山東東平縣江河國際實驗學校月考)對于任何整數(shù)m,多項式(4m+5)2-9都能被()整除.

A.8B.mC.m—\D.2777—1

【答案】A

【分析】直接套用平方差公式，整理即可判斷.

【解析】因為(4m+5)2-9==(4m+5-3)(4m+5+3)=(4m+2)(4m+8)=2(2m+l)x4(m+2)=8(2m+l)(m+2)

所以原式能被8整除.

【點睛】此題考查因式分解-運用公式法，掌握運算法則是解題關鍵

二、填空題(本大題共3小題，每小題4分，共12分.不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上)

5.(2020?山東單縣?初一期末)已知R>=2,3Z?-a—5=0,則代數(shù)式a2b—3?！ㄊ?。》的值為

【答案】-8

【分析】直接提取公因式將原式變形進而整體代入已知得出答案.

【解析】a2b—3ab2+ab=+1),V3b—a—5—0>a—3b——5>

又就=2,...原式=2X(-4)=-8.故答案為：-8.

【點睛】本題主要考查了代數(shù)式求值以及提取公因式法分解因式，正確將原式變形是解題關鍵.

6.(2020?四川內(nèi)江?中考真題)分解因式：b4-b2-12=

【答案】(〃+3乂"2)。-2)

【分析】先根據(jù)十字相乘法，再利用平方差公式即可因式分解.

【解析】/一。2一12=(/+3)(/—4)=(/+3)9+2)(人一2)

故答案為：(〃+3)他+2)0—2).

【點睛】此題主要考查因式分解，解題的關鍵是熟知因式分解的方法.

7.(2020?浙江杭州市?七年級其他模擬)在當今“互聯(lián)網(wǎng)+”的時代，有一種用“因式分解法”生成密碼的方法,

其原理是：將一個多項式分解因式，如多項式：/+2%2_x—2因式分解的結果是(x-l)(x+l)(x+2),

當取x=19時，各個因式的值是：x—l=18,x+l=20,x+2=21,于是就可以把“182021”作為一個六

位數(shù)的密碼.類似地，對于多項式1+(加一3")/一心一21,當取％=66時，得到密碼596769,則

m=,n=.

【答案】加=72n=25

【分析】根據(jù)題意可得出因式分解的結果，再展開與原式相等即可得到所求的值.

【詳解】???當x=66時，密碼為596769,且/的系數(shù)是1

:,%34-(m-3n)x2-nr-21=(x-7)(x+l)(x+3)=x3-3x2—25x—21

:.m-3rl=-3,力=25即加=72,n=25

【點睛】此題考查因式分解，找到因式分解的結果是關鍵，主要是在于對題意的理解，難度一般.

三、解答題(本大題共3小題，共26分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程

或演算步驟)

8.(2021?江西贛州市?八年級期末)仔細閱讀下面的例題：

例題：已知二次三項式/+5%+加有一個因式是x+2,求另一個因式及加的值.

解：設另一個因式為x+及，得犬+5x+/n=(x+2)(x+〃)，

則Y+5工+m=/+(〃+2)工+2〃，.=〃+2=5,m=2n,解得〃=3,m=6.

???另一個因式為x+3,m的值為&

依照以上方法解答下列問題：

(1)若二次三項式f—5x+4可分解為"T)(x+a)，則。=;

(2)若二次三項式+公一6可分解為(2x+3)(x—2),則匕=；

(3)已知二次三項式2%2+9%_女有一個因式是2x-l,求另一個因式以及人的值.

【答案】(1)T；(2)-1；(3)另一個因式為x+5,k的值為5.

【分析】(1)將(％—1)(%+。)展開，根據(jù)所給出的二次三項式即可求出。的值；(2)(2x+3)(x-2)

展開，可得出一次項的系數(shù)，繼而即可求出b的值；(3)設另一個因式為(x+〃)，得2x2+9x-k=(2x-1)

(x+n),可知2”-1=9,-k=-n,繼而求出"和％的值及另一個因式.

【詳解】解：(1)V(X-1)(X+4Z)=x2+(a-1)x-a=x2-5%+4-

-1=-5,解得：a=-4；故答案是：-4

(2)(2x+3)(x-2)—lx1-x-6=2x2+bx-6,.,.b--1.故答案是：-1.

(3)設另一個因式為(x+〃)，得2x2+9x-&=(2x-1)(x+〃)，

則2r2+9x-幺=2%2+(2”-I)x-",.,.2n-1=9,-k=-n,解得"=5,k=5,

...另一個因式為x+5,左的值為5.

【點睛】本題考查因式分解的意義，解題關鍵是對題中所給解題思路的理解，同時要掌握因式分解與整式

乘法是相反方向的變形，即互逆運算，二者是一個式子的不同表現(xiàn)形式.

9.(2020?江蘇沐陽?期中)閱讀理解以下文字：

我們知道，多項式的因式分解就是將一個多項式化成幾個整式的積的形式.通過因式分解，我們常常將一

個次數(shù)比較高的多項式轉(zhuǎn)化成幾個次數(shù)較低的整式的積，來達到降次化簡的目的.這個思想可以引領我們

解決很多相對復雜的代數(shù)問題.

例如：方程2f+3x=0就可以這樣來解：

解：原方程可化為x(2x+3)=0

所以x=0或者2x+3=0.

3

解方程2x+3=0,得元=一一

2

八3

所以解為王=0,x2.

根據(jù)你的理解，結合所學知識，解決以下問題:

(1)解方程：X2-5X=0;(2)解方程：(x+3)2—4/=0；

(3)已知AABC的三邊長為4，%，丁，請你判斷代數(shù)式V—8y+16—V的值的符號.

【答案】(1)xi=0或X2=5；(2)xi=-1,X2=3；(3)見解析

【分析】(1)提取公因式分解因式，可得兩個一元一次方程，可得方程的解；

(2)利用平方差公式分解因式，可得兩個一