2023年中考九年級數學高頻考點拔高訓練-三角形的外接圓與外心

2023年中考九年級數學高頻考點拔高訓練--三角形的外接圓與外心1．某居民小區(qū)一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需確定管道圓形截面的半徑，下圖是水平放置的破裂管道有水部分的截面．（1）請你補全這個輸水管道的圓形截面；（2）若這個輸水管道有水部分的水面寬AB=16cm，水面最深地方的高度為4cm，求這個圓形截面的半徑．2．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AC為直徑，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延長線于點E．（1）求證：∠1=∠BAD；（2）求證：BE是⊙O的切線．3．如圖，在△ABC中，∠B=45°，∠ACB=60°，AB=32，點D為BA延長線上的一點，且∠D=∠ACB，⊙O為△ACD的外接圓．（1）求BC的長；（2）求⊙O的半徑．4．如圖，每個小方格都是邊長為1個單位的小正方形，A、B、C三點都是格點（每個小方格的頂點叫格點），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）.（1）若D（2，3），請在網格圖中畫一個格點△DEF，使△DEF∽△ABC，且相似比為2∶1；（2）求△ABC中AC邊上的高；（3）若△ABC外接圓的圓心為P，則點P的坐標為5．如圖，點E是△ABC的內心，AE的延長線和△ABC的外接圓相交于點D，連接BE（1）若∠CBD＝35°，求∠BAC及∠BEC的度數（2）求證：DE＝DB6．如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1的正方形，我們把以格點間連線為邊的三角形稱為“格點三角形”，圖中的△ABC就是格點三角形，建立如圖所示的平面直角坐標系，點C的坐標為（0，﹣1）.（1）在如圖的方格紙中把△ABC以點O為位似中心擴大，使放大前后的位似比為1：2，畫出△A1B1C1（△ABC與△A1B1C1在位似中心O點的兩側，A，B，C的對應點分別是A1，B1，C1）.（2）利用方格紙標出△A1B1C1外接圓的圓心P，P點坐標是，⊙P的半徑=.（保留根號）7．如圖，在邊長為1的正方形網格中，△ABC的頂點均在格點上，點A、B的坐標分別是A（5，3）、B（5，1）．（1）①在圖中標出△ABC外心D的位置，并直接寫出它的坐標；②將△ABC繞點C逆時針方向旋轉90°后，得到△A′B′C，畫出旋轉后的△A′B′C；（2）求△ABC旋轉過程中點A經過的路徑長．8．如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2（1）作⊙O，使它過點A、B、C（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）所作的圓中，圓心角∠BOC=°，圓的半徑為，劣弧BC的長為．9．八上教材給出了命題“如果△ABC?△A′B′C′，AD，A′（問題提出）（1）在△ABC和△A′B′C′中，AD，A′D′分別是△ABC和△A′（i）小紅的思考如圖，先任意畫出一個△ABC，然后按下列作法，作出一個滿足條件的△A①作△ABC的外接圓O②過點A作AA′//BC，與③連接A′B′（點B′與C重合），A′C請說明小紅所作的△A（ii）小明的思考如圖，對于滿足條件的△ABC，△A′B′C′和高AD，A′D′；小明將△A′B′C接下來，小明的證明途徑可以用下面的框圖表示，請?zhí)顚懫渲械目崭?（2）小明解決了問題（1）后，繼續(xù)探索，提出了下面的問題，請你證明.如圖，在△ABC和△A′B′C′中，AD，A′D′分別是△ABC和△10．如圖，△ABC是半徑為2的⊙O的內接三角形，連接OA、OB，點D、E、F、G分別是CA、OA、OB、CB的中點．（1）試判斷四邊形DEFG的形狀，并說明理由；（2）填空：①若AB=3，當CA=CB時，四邊形DEFG的面積是；②若AB=2，當∠CAB的度數為時，四邊形DEFG是正方形．11．如圖，點P為拋物線L：y＝a（x﹣2）（x﹣4）（其中a為常數，且a＜0）的頂點，L與y軸交于點C，過點C作x軸的平行線，與L交于點A，過點A作x軸的垂線，與射線OP交于點B，連接OA（1）a＝﹣2時，點P的坐標是，點B的坐標是；（2）是否存在a的值，使OA＝OB？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由（3）若△OAB的外心N的坐標為（p，q），則①當點N在△OAB內部時，求a的取值范圍；②用a表示外心N的橫坐標p和縱坐標q，并求p與q的關系式（不寫q的取值范圍）．12．如圖，△ABC內接于⊙O，AC是直徑，BC=BA，在∠ACB的內部作∠ACF=30°，且CF=CA，過點F作FH⊥AC于點H，連接BF．（1）若CF交⊙O于點G，⊙O的半徑是4，求AG的長；（2）請判斷直線BF與⊙O的位置關系，并說明理由．13．如圖，⊙O為△ABC的外接圓，AB為⊙O直徑，AC＝BC，點D在劣弧BC上，CE⊥CD交AD于E，連接BD.（1）求證：△ACE≌△BCD.（2）若CD＝2，BD＝32，求⊙O的半徑.（3）若點F為DE的中點，連接CF，FO，設CD＝a，BD＝b，求CF+FO.（用含有a，b的代數式表示）14．如圖，拋物線y＝mx2﹣4mx＋n（m＞0）與x軸交于A，B兩點，點B在點A的右側，拋物線與y軸正半軸交于點C，連接CA、CB，已知tan∠CAO＝3，sin∠CBO＝22（1）求拋物線的對稱軸與拋物線的解析式；（2）設D為拋物線對稱軸上一點.①當△BCD的外接圓的圓心在△BCD的邊上時，求點D的坐標；②若△BCD是銳角三角形，直接寫出點D的縱坐標n的取值范圍.15．如圖，拋物線y=ax2?2ax?3a(a>0)與x軸交于A，B（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，若點P是直線AC上一動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于M點，連接CM，將△PCM沿CM對折，如果點P的對應點N恰好落在y軸上，求此時點P的坐標；（3）如圖2，若第四象限有一動點E，滿足AE=OA，過E作EF⊥x軸于點F，設F坐標為(t，0)，0<t<3，△AEF的內心為I，連接CI，直接寫出CI的最小值.16．如圖，△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，I是△ABC內一點，AI的延長線交BC于點D，交⊙O于E，連接BE，BI．若IB平分∠ABC，EB=EI．（1）求證：AE平分∠BAC；（2）若BA=5，OI⊥AD于I，求CD的長．

答案解析部分1．【答案】（1）解：先作弦AB的垂直平分線，再在弧AB上任取一點C，連接AC，然后作弦AC的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點即為圓心O，以OA為半徑畫圓即為所求圖形.如圖.（2）解：過O作OE⊥AB于D，交弧AB于E，連接OB，

∴BD=12AB，

又∵AB=16cm，

∴BD=8cm，

又∵ED=4cm，

設半徑為xcm，則OD=（x-4）cm，

在Rt△BOD中，

∴（x-4）2+82=x2，

∴x=10，

故答案為：10cm.

2．【答案】（1）證明：∵BD=BA，∴∠BDA=∠BAD，∵∠1=∠BDA，∴∠1=∠BAD；（2）證明：連接BO，∵∠ABC=90°，又∵∠BAD+∠BCD=180°，∴∠BCO+∠BCD=180°，∵OB=OC，∴∠BCO=∠CBO，∴∠CBO+∠BCD=180°，∴OB∥DE，∵BE⊥DE，∴EB⊥OB，∵OB是⊙O的半徑，∴BE是⊙O的切線．3．【答案】（1）解：過點A作AE⊥BC，垂足為E，∴∠AEB=∠AEC=90°，在Rt△ABE中，∵sinB=AEAB∴AE=ABsinB=32sin45°=32×22∵∠B=45°，∴∠BAE=45°，∴BE=AE=3，在Rt△ACE中，∵tan∠ACB=AEEC∴EC=AEtan∠ACB=3tan60°∴BC=BE+EC=3+3（2）解：連接AO并延長到⊙O上一點M，連接CM，由（1）得，在Rt△ACE中，∵∠EAC=30°，EC=3，∴AC=23，∵∠D=∠M=60°，∴sin60°=ACAM=23AM解得：AM=4，∴⊙O的半徑為24．【答案】（1）解：如圖所示：△DEF即為所求；（2）解：設AC邊上的高為x，由題意可得：1解得x=10（3）（2，6）5．【答案】（1）解：在外接圓中，∵∠CBD=35°，∵∠CAD=35°，∵點E是△ABC的內心，∴∠BAC=2∠CAD=70°，∴∠EBC+∠ECB=（180°-70°）÷2=55°，∴∠BEC=180°-55°=125°（2）證明：∵E是△ABC的內心，∴∠BAD=∠CAD，∠EBA=∠EBC，∵∠DEB=∠BAD+∠EBA，∠DBE=∠EBC+∠CBD，∠CBD=∠CAD，∴∠DEB=∠DBE，∴DE=DB.6．【答案】（1）如圖，△A1B1C1為所作；（2）（3，1）；107．【答案】（1）解：①如圖，點D為所作，D點坐標為（3，2）；②如圖，△A'B'C為所作；（2）解：CA=2所以△ABC旋轉過程中點A經過的路徑長＝90×π×28．【答案】（1）解：如圖所示，⊙O即為所求；（2）90；1；129．【答案】（1）解：（i）∵AA∴∠A∵∠A∴∠A又∵∠B′A∴△A（ii）根據相似三角形對應邊成比例，對應角相等的性質解題：①AMCM=MA′MC；（拓展延伸）（2）解：如圖，在A′D′上截取A′E=AD，過點E作FG//B′C′∵FG//B∴∠A′EG=∠∵A′D′∴A′∴∠A∴A′E⊥FG，即A′又∵△A′FG～△A′B′C′∴A′又ADA′D∴FGB∴FG=BC，在△ABC和△A′FG中，AD，A′EBC=FG，∠BAC=∠FA′G由（1）可知△A∴△ABC～△A10．【答案】（1）解：四邊形DEFG是平行四邊形．∵點D、E、F、G分別是CA、OA、OB、CB的中點，∴DG∥AB，DG=12AB，EF∥AB，EF=1∴DG∥EF，DG=EF，∴四邊形DEFG是平行四邊形；（2）3211．【答案】（1）（3，2）；（6，4）（2）解：不存在a的值使OA＝OB，理由如下：∵拋物線L：y＝a（x﹣2）（x﹣4）＝ax2﹣6ax+8a＝a（x﹣3）2﹣a∴頂點P（3，﹣a），C（0，8a）∴直線OP解析式為：y＝﹣a3∴A（6，8a）∴yB＝﹣a3∵a≠0∴|yA|≠yB，即x軸不平分AB∴OA≠OB（3）解：①∵△OAB的外心N在其內部∴△OAB是銳角三角形∴∠AOB＜90°∴OA2+OB2＞AB2∵A（6，8a），B（6，﹣2a）∴62+（8a）2+62+（﹣2a）2＞（8a+2a）2解得：﹣32②∵外心N在AB的垂直平分線上，AB⊥x軸∴q＝?2a+8a2∴N（p，3a），a＝q∵ON＝AN，即ON2＝AN2∴p2+（3a）2＝（6﹣p）2+（8a﹣3a）2整理得：p＝34a2把a＝q3代入得：p＝427q12．【答案】（1）解：連接OG．∵∠AOG=2∠ACF=60°，OA=4，∴AG的長=60?π?4180=4（2）解：結論：BF是⊙O的切線．理由：連接OB．∵AC是直徑，∴∠CBA=90°，∵BC=BA，OC=OA，∴OB⊥AC，∵FH⊥AC，∴OB∥FH，在Rt△CFH中，∵∠FCH=30°，∴FH=12CF，∵CA=CF，∴FH=12AC=OC=OA=OB，∴四邊形BOHF是平行四邊形，∵∠FHO=90°，∴四邊形BOHF是矩形，∴OB⊥BF，∴BF是⊙O的切線．13．【答案】（1）證明：∵AB為⊙O直徑，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥CD，∴∠ECD＝90°，∴∠ACE＝90°﹣∠ECB＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，∠ACE=∠BCDAC=BC∴△ACE≌△BCD（ASA）（2）解：∵△ACE≌△BCD，∴CE＝CD，AE＝BD，∵CE⊥CD，∴△ECD是等腰直角三角形，∵CD＝2，BD＝32，∴DE＝22，AE＝32，∴AD＝52，∵AB為⊙O直徑，∴∠ADB＝90°，∴AB＝AD2+B∴⊙O的半徑為17（3）解：法一：過O作OH⊥AD于H，如圖：∵△ECD是等腰直角三角形，CD＝a，∴ED＝2a，CF＝22∵F為DE的中點，∴CF＝DF＝12DE＝2∵△ACE≌△BCD，∴AE＝BD＝b，∴AD＝ED+AE＝2a+b，∵OH⊥AD，∠ADB＝90°，∴OH∥BD，∵AO＝OB，∴OH＝12OB＝12b，DH＝12AD＝22a+12∴HF＝DH﹣DF＝（22a+12b）﹣22在Rt△OHF中，FO＝OH2+H∴CF+FO＝22a+2法二：延長AD至點H，使DH＝AE，連接BH，如圖：由（1）得△ACE≌△BCD，∴BD＝AE＝DH，∵AB為直徑，∴∠ADB＝∠BDH＝90°，∴△BDH為等腰直角三角形，∵BD＝b，∴BH＝2b，∵△ECD是等腰直角三角形，CD＝a，∴ED＝2a，CF＝22而DH＝AE，∴AE+EF＝DH+DF，即AF＝HF，∴F為AH中點，∵O為AB中點，∴FO＝12BD＝2∴CF+FO＝22a+214．【答案】（1）解：由題意可知，∠COA=90°，∴tan∠CAO=OC∴OC=3OA，∠CBO=45°，∴OC=OB，∵拋物線y＝mx2﹣4mx＋n（m＞0）與x軸交于A，B兩點，點B在點A的右側，拋物線與y軸正半軸交于點C，∴C（0，n），拋物線對稱軸為x=??4m∴OC=n，∴OA=13n∴A（13∴n+1∴n=3，∴C（0，3），B（3，0），A（1，0），∴把A（1，0）代入拋物線解析式得：m?4m+3=0，∴m=1，∴拋物線解析式為y=x（2）解：①當△BCD的外接圓圓心在△BCD邊上時，△BCD是直角三角形，∵D為拋物線對稱軸上的一點，∴設D（2，a）∵C（0，3）B（3，0），∴CD2=(2?0)2當C為直角頂點時，DC2+B解得a=5，∴D（2，5）；當D為直角頂點時，DC2+B解得a=3±∴D（2，3+172）或（0，當B為直角頂點時，BC2+B解得a=-1，∴D（2，-1）；∴綜上所述：D（2，5）或D（2，3+172）或（0，②由圖形可知當D在D1和D3之間或D4與D2之間時，△BCD是銳角三角形，其中D1是C為直角頂點時D點的位置，D3是D為直角頂點D的位置，D4和D2分別是以B和D為直角頂角的位置，∴3+172<n<515．【答案】（1）解：在y=ax令y＝0，得：ax解得：x1＝3，x2＝?1，∴B（?1，0），A（3，0），∴OA＝3，∵OA＝OC，∴OC＝3，∴C（0，?3），∴?3a＝?3，∴a＝1，∴拋物線解析式為：y=（2）解：設直線AC解析式為y＝kx＋b，∵A（3，0），C（0，?3），∴3k＋b＝0b＝?3，解得：k＝1∴直線AC解析式為：y＝x?3，設M點坐標為（m，m2?2m?3），∵PM⊥x軸，∴P（m，m?3），∴PM＝m?3?（m2?2m?3）＝?m2＋3m，∵OA＝OC，∠AOC＝90°，∴CA＝2OA，∴CP＝2m，∵△PCM沿CM對折，點P的對應點N恰好落在y軸上，∴∠PCM＝∠NCM，∵PM∥y軸，∴∠NCM＝∠PMC，∴∠PCM＝∠PMC，∴PC＝PM，∴2m=?m2＋3m，解得：m1＝0（舍去），m2＝3?2，∴當m＝3?2時，m?3＝?2，∴P（3?2，?（3）解：作△OAI的外接圓⊙M，連接OM，AM，MI，CM，過M作MH⊥y軸于H，∵EF⊥x軸，∴∠AFE＝90°，∴∠FAE＋∠FEA＝90°，∵△AEF的內心為I，∴AI，EI分別平分∠FAE，∠