廣西貴港市港南中學(xué)三文科班2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

廣西貴港市港南中學(xué)三文科班2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知O是的兩條對角線的交點．若，其中，則（）A．-2 B．2 C． D．2．由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機一直延續(xù)到19世紀(jì)，直到1872年，德國數(shù)學(xué)家戴德金提出了“戴德金分割”，才結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機．所謂戴德金分割，是指將有理數(shù)集劃分為兩個非空的子集與，且滿足，，中的每一個元素都小于中的每一個元素，則稱為戴德金分割．試判斷，對于任一戴德金分割，下列選項中不可能成立的是A．沒有最大元素，有一個最小元素B．沒有最大元素，也沒有最小元素C．有一個最大元素，有一個最小元素D．有一個最大元素，沒有最小元素3．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限4．已知函數(shù)對任意的滿足（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式成立的是（）A． B．C． D．5．若如下框圖所給的程序運行結(jié)果為，那么判斷框中應(yīng)填入的關(guān)于的條件是（）A． B． C． D．6．在一段線路中并聯(lián)著兩個獨立自動控制的開關(guān)，只要其中一個開關(guān)能夠閉合，線路就可以正常工作.設(shè)這兩個開關(guān)能夠閉合的概率分別為0.5和0.7，則線路能夠正常工作的概率是（）A．0.35 B．0.65 C．0.85 D．7．設(shè)等差數(shù)列{an}滿足3a8=5a15，且A．S23 B．S24 C．S8．拋擲甲、乙兩顆骰子，若事件A：“甲骰子的點數(shù)大于3”；事件B：“甲、乙兩骰子的點數(shù)之和等于7”，則P（B/A）的值等于（）A． B． C． D．9．若△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，△ABC的面，則a=（）A．1 B． C． D．10．若實數(shù)x、y的取值如表，從散點圖分析，y與x線性相關(guān)，且回歸方程為y=3.5x12345y27812mA．15 B．16 C．16.2 D．1711．在極坐標(biāo)系中，方程表示的曲線是（）A．直線 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線12．在四邊形中，如果，，那么四邊形的形狀是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．直角梯形二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知復(fù)數(shù)z＝(i是虛數(shù)單位)，則|z|＝________．14．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則的最小值為______.15．觀察下列等式，，，，，從中可以歸納出一個一般性的等式是：__________.16．在上隨機地取一個數(shù)，則事件“直線與圓相交”發(fā)生的概率為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，四棱錐，底面為直角梯形，，，，.（1）求證：平面平面；（2）若直線與平面所成角為，求直線與平面所成角的正弦值.18．（12分）（1）求證：當(dāng)時，；（2）證明：不可能是同一個等差數(shù)列中的三項.19．（12分）已知函數(shù)（，e為自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）若，求的最大值；（2）若在R上單調(diào)遞減，①求a的取值范圍；②當(dāng)時，證明：.20．（12分）設(shè)是橢圓上的兩點，已知向量，，若且橢圓的離心率，短軸長為2，為坐標(biāo)原點.（1）求橢圓的方程；（2）若直線過橢圓的焦點（為半焦距），求直線的斜率的值；（3）試問：的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由.21．（12分）已知函數(shù).（1）若在處取得極值，求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若在區(qū)間內(nèi)有極大值和極小值，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知為圓上一動點，圓心關(guān)于軸的對稱點為，點分別是線段上的點，且.（1）求點的軌跡方程；（2）直線與點的軌跡只有一個公共點，且點在第二象限，過坐標(biāo)原點且與垂直的直線與圓相交于兩點，求面積的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

由向量的線性運算，可得，即得解.【題目詳解】由于，故所以故選：A【題目點撥】本題考查了平面向量的線性運算，考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解題分析】試題分析：設(shè),顯然集合M中沒有最大元素，集合N中有一個最小元素，即選項A可能；,顯然集合M中沒有最大元素，集合N中也沒有最小元素，即選項B可能；,顯然集合M中有一個最大元素，集合N中沒有最小元素，即選項D可能；同時，假設(shè)答案C可能，即集合M、N中存在兩個相鄰的有理數(shù)，顯然這是不可能的，故選C．考點：以集合為背景的創(chuàng)新題型．【方法點睛】創(chuàng)新題型，應(yīng)抓住問題的本質(zhì)，即理解題中的新定義，脫去其“新的外衣”，轉(zhuǎn)化為熟悉的知識點和題型上來．本題即為，有理數(shù)集的交集和并集問題，只是考查兩個子集中元素的最值問題，即集合M、N中有無最大元素和最小元素．3、D【解題分析】分析：首先求得復(fù)數(shù)z，然后求解其共軛復(fù)數(shù)即可.詳解：由復(fù)數(shù)的運算法則有：，則，其對應(yīng)的點位于第四象限.本題選擇D選項.點睛：本題主要考查復(fù)數(shù)的運算法則及其應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.4、D【解題分析】

構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，將代入函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性選出正確的選項.【題目詳解】構(gòu)造函數(shù)，依題意，故函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，由得，即，排除A選項.由得，即，排除B選項.由得，即，排除C，選項.由得，即，D選項正確，故選D.【題目點撥】本小題主要考查構(gòu)造函數(shù)法比較大小，考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念，考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)運算，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解題分析】分析：根據(jù)賦值框中對累加變量和循環(huán)變量的賦值，先判斷后執(zhí)行，假設(shè)滿足條件，依次執(zhí)行循環(huán)，到累加變量S的值為35時，再執(zhí)行一次k=k+1，此時判斷框中的條件不滿足，由此可以得到判斷框中的條件．詳解：框圖首先給累加變量S賦值1，給循環(huán)變量k賦值1．判斷1＞6，執(zhí)行S=1+1=11，k=1﹣1=9；判斷9＞6，執(zhí)行S=11+9=20，k=9﹣1=8；判斷8＞6，執(zhí)行S=20+8=28，k=8﹣1=7；判斷7＞6，執(zhí)行S=28+7=35，k=6；判斷6≤6，輸出S的值為35，算法結(jié)束．所以判斷框中的條件是k＞6？．故答案為:D.點睛：本題考查了程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)，考查了當(dāng)型循環(huán)，當(dāng)型循環(huán)是先判斷后執(zhí)行，滿足條件執(zhí)行循環(huán)，不滿足條件時，算法結(jié)束，此題是基礎(chǔ)題．6、C【解題分析】試題分析：線路能夠了正常工作的概率=,故選C.考點：獨立事件，事件的關(guān)系與概率.7、C【解題分析】因a8=a1+7d,a15=a1+14d，故由題設(shè)3a8=5a158、C【解題分析】

利用古典概型的概率公式計算出和，然后利用條件概率公式可計算出結(jié)果。【題目詳解】事件甲的骰子的點數(shù)大于，且甲、乙兩骰子的點數(shù)之和等于，則事件包含的基本事件為、、，由古典概型的概率公式可得，由古典概型的概率公式可得，由條件概率公式得，故選：C.【題目點撥】本題考查條件概率的計算，解題時需弄清楚各事件的基本關(guān)系，并計算出相應(yīng)事件的概率，解題的關(guān)鍵在于條件概率公式的應(yīng)用，考查運算求解能力，屬于中等題。9、A【解題分析】

根據(jù)三角形面積公式可得,利用正余弦平方關(guān)系,即可求得正余弦值,由余弦定理可得.【題目詳解】因為，，面積，所以.所以.所以，.所以.故選A.【題目點撥】本題考查正余弦定理,面積公式,基礎(chǔ)題.10、D【解題分析】

計算出樣本的中心點x,y，將該點的坐標(biāo)代入回歸直線方程可得出【題目詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可得x=1+2+3+4+55由于回歸直線過點x,y，所以，3.5×3-1.3=m+295【題目點撥】本題考查回歸直線的基本性質(zhì)，在解回歸直線相關(guān)的問題時，熟悉結(jié)論“回歸直線過樣本的數(shù)據(jù)中心點x,11、B【解題分析】方程，可化簡為：，即.整理得，表示圓心為(0,，半徑為的圓.故選B.12、A【解題分析】

由可判斷出四邊形為平行四邊形，由可得出，由此判斷出四邊形的形狀.【題目詳解】，所以，四邊形為平行四邊形，由可得出，因此，平行四邊形為矩形，故選A.【題目點撥】本題考查利用向量關(guān)系判斷四邊形的形狀，判斷時要將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，同時也考查了推理能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】試題分析：因為，所以所以本題也可利用復(fù)數(shù)模的性質(zhì)進行求解，即考點：復(fù)數(shù)的模14、【解題分析】

令，由導(dǎo)函數(shù)得最小值為，且端點處函數(shù)值.再由時，；時，，可得表達式，問題可得解.【題目詳解】則，由得當(dāng)時，當(dāng)時所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.最小值為，又，，且當(dāng)時，即，解得，；當(dāng)時，即由，得，.綜上，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時取最小值為.故答案為：【題目點撥】本題考查了通過導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查了絕對值函數(shù)，還考查了分類討論思想，屬于難題.15、【解題分析】

通過觀察前幾個式子的變化規(guī)律，總結(jié)規(guī)律即可得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意，第一個式子從1開始，左邊按順序加有1項；第二個式子從2開始，有3項；第三個式子從3開始，有5項，于是可歸納出，第n個式子從n開始，有項，于是答案為：.【題目點撥】本題主要考查歸納法，意在考查學(xué)生的邏輯推理能力和數(shù)感，難度不大.16、【解題分析】試題分析：直線y=kx與圓相交,需要滿足圓心到直線的距離小于半徑，即，解得，而，所以所求概率P=.【考點】直線與圓位置關(guān)系；幾何概型【名師點睛】本題是高考常考知識內(nèi)容，考查幾何概型概率的計算.本題綜合性較強，具有“無圖考圖”的顯著特點，涉及點到直線距離的計算.本題能較好地考查考生分析問題、解決問題的能力及基本計算能力等.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）【解題分析】分析：（1）根據(jù)題意，設(shè)法證明平面，即可證得平面平面；；（2）如圖以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求直線與平面所成角的正弦值.詳解：（1）證明：因為為直角梯形，，又因為，所以，所以，所以,又因為，，所以平面，又因為平面，所以平面平面；（2）作于，因為，所以為中點，由（1）知平面平面，且平面平面，所以平面，所以為直線與平面所成的角，設(shè)，因為，，所以，如圖以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，9分設(shè)平面法向量，則，取，則，所以平面一個法向量，設(shè)與平面所成角為，則,所以直線與平面所成角為正弦值為.點睛：本題考查直線與直線，直線與平面，平面與平面垂直等基礎(chǔ)知識；考查空間想象能力，推理論證能力，運算求解能力；考查數(shù)學(xué)結(jié)合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想18、（1）證明過程詳見試題解析；（2）證明過程詳見試題解析.【解題分析】

（1）利用綜合法證明即可；（2）利用反證法證明，假設(shè)是同一個等差數(shù)列中的三項，分別設(shè)為am，an，ap，推出為無理數(shù)，又為有理數(shù)，矛盾，即可證明不可能是等差數(shù)列中的三項．【題目詳解】解：（1）∵（）2＝2a+2?，0，0且a+2≠a﹣2，∴，∴2（2）假設(shè)是同一個等差數(shù)列中的三項，分別設(shè)為am，an，ap，則為無理數(shù)，又為有理數(shù)，矛盾．所以，假設(shè)不成立，即不可能是同一個等差數(shù)列中的三項．【題目點撥】反證法是屬于“間接證明法”一類，是從反面的角度思考問題的證明方法，即：肯定題設(shè)而否定結(jié)論，從而導(dǎo)出矛盾推理而得．應(yīng)用反證法證明的具體步驟是：①反設(shè)：作出與求證結(jié)論相反的假設(shè)；②歸謬：將反設(shè)作為條件，并由此通過一系列的正確推理導(dǎo)出矛盾；③結(jié)論：說明反設(shè)成立，從而肯定原命題成立．19、（1）1；（2）①，②證明見解析.【解題分析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系當(dāng)，求出單調(diào)遞增區(qū)間，當(dāng)，求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，進而可求出最大值.（2）①求出對恒成立，化為對恒成立，記，討論值，求出的最小值即可證出；②由題意可得，即，兩邊取對數(shù)可得，下面采用分析法即可證出.【題目詳解】（1）時，時，，在上單調(diào)遞增時，，在上單調(diào)遞減（2）由①在R上單調(diào)遞減，對恒成立，即對恒成立，記，則對恒成立，當(dāng)時，，符題當(dāng)時，時，，在上單調(diào)遞減時，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，時，，在上單調(diào)遞減時，，在上單調(diào)遞增；綜上：②當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，，，，.要證，即證下面證明令，，則，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，得證【題目點撥】本題考查了導(dǎo)函數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，分析法證明不等式，考查了分類討論的思想，綜合性比較強，屬于難題.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）三角形的面積為定值1．【解題分析】試題分析：（1）根據(jù)條件可得，再設(shè)直線的方程為：，與橢圓聯(lián)立方程組，利用韋達定理和已知條件，即可求出的值；（2）先考慮直線斜率不存在的情況，即，，根據(jù)，求得和的關(guān)系式，代入橢圓的方程求得點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的絕對值，進而求得△AOB的面積的值；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)出直線的方程，與橢圓聯(lián)立方程組，利用韋達定理表示出和，再利用，弦長公式及三角形面積公式求得答案.試題解析：（1）由題可得：，，所以，橢圓的方程為設(shè)的方程為：，代入得：∴，，∵，∴，即：即，解得：（2）①直線斜率不存在時，即，∵∴，即又∵點在橢圓上∴，即∴，∴，故的面積為定值1②當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)的方程為，聯(lián)立得：∴，，∴所以三角形的面積為定值1.點睛：本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、圓錐曲線的定值問題，解題時要注意解題技巧的運用，如常用的設(shè)而不求，整體代換的方法；探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：①從特殊入手，先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個這個值與變量無關(guān)；②直接推理、計算，借助韋達定理，結(jié)合向量所提供的坐標(biāo)關(guān)系，然后經(jīng)過計算推理過程中消去變量，從而得到定值.21、（1）；（2）【解題分析】

分析：（1）由，可得，利用，即，可得，從而可得結(jié)果；（2）在內(nèi)有極大值和極小值，等價于在內(nèi)有兩不等實根，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)列不等