2024屆吉林省吉林市“三校”高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

2024屆吉林省吉林市“三?！备叨?shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．用反證法證明命題“設(shè)a，b為實數(shù)，則方程至多有一個實根”時，則下列假設(shè)中正確的是（）A．方程沒有實根 B．方程至多有一個實根C．方程恰好有兩個實數(shù)根 D．方程至多有兩個實根2．已知函數(shù)，則（）A． B． C．1 D．73．定積分（）A．1 B．2 C．3 D．44．若復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（）A．的虛部為 B． C．的共軛復(fù)數(shù)為 D．為純虛數(shù)5．如圖，函數(shù)的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是，則（）A．4 B．3 C． D．6．已知拋物線，過其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為A． B．C． D．7．如圖，平行六面體中，，，，則（）A． B． C． D．8．如圖，在正方體的八個頂點(diǎn)中任取兩個點(diǎn)作直線，與直線異面且夾角成的直線的條數(shù)為（）．A． B． C． D．9．已知雙曲線，若其過一、三象限的漸近線的傾斜角，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．10．下列關(guān)于獨(dú)立性檢驗的敘述：①常用等高條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征；②獨(dú)立性檢驗依據(jù)小概率原理；③樣本不同，獨(dú)立性檢驗的結(jié)論可能有差異；④對分類變量與的隨機(jī)變量的觀測值來說，越小，與有關(guān)系的把握程度就越大.其中正確的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．411．將名教師，名學(xué)生分成個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由名教師和名學(xué)生組成，不同的安排方案共有（）A．種 B．種 C．種 D．種12．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C：的右焦點(diǎn)為F，焦距為，C的一條漸近線被以F為圓心，OF為半徑的圓F所截得的弦長為2，則C的方程是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．三個同學(xué)猜同一個謎語，如果每人猜對的概率都是，并且各人猜對與否相互獨(dú)立，那么他們同時猜對的概率為__________．14．一批產(chǎn)品的二等品率為，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件數(shù)，則____________．15．設(shè)等差數(shù)列，的前項和分別為，，若，則__________．16．要設(shè)計一個容積為的下端為圓柱形、上端為半球形的密閉儲油罐，已知圓柱側(cè)面的單位面積造價是下底面積的單位面積造價的一半，而頂部半球面的單位面積造價又是圓柱側(cè)面的單位面積造價的一半，儲油罐的下部圓柱的底面半徑_______時，造價最低．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等差數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．18．（12分）（1）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程；（2）已知復(fù)數(shù)z滿足，且，求z的值.19．（12分）為了探究車流量與的濃度是否相關(guān)，現(xiàn)采集到華中某城市2015年12月份某星期星期一到星期日某一時間段車流量與的數(shù)據(jù)如表：時間星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日車流量（萬輛）1234567的濃度（微克/立方米）28303541495662（1）求關(guān)于的線性回歸方程；（提示數(shù)據(jù)：）（2）（I）利用（1）所求的回歸方程，預(yù)測該市車流量為12萬輛時的濃度；（II）規(guī)定：當(dāng)一天內(nèi)的濃度平均值在內(nèi)，空氣質(zhì)量等級為優(yōu)；當(dāng)一天內(nèi)的濃度平均值在內(nèi)，空氣質(zhì)量等級為良，為使該市某日空氣質(zhì)量為優(yōu)或者為良，則應(yīng)控制當(dāng)天車流量不超過多少萬輛？（結(jié)果以萬輛為單位，保留整數(shù)）參考公式：回歸直線的方程是，其中，.20．（12分）設(shè)函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)時，求的取值范圍.21．（12分）已知函數(shù)是奇函數(shù)（）.（1）求實數(shù)的值；（2）試判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；（3）若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）在四棱錐中，側(cè)棱底面，底面是直角梯形，，，，，是棱上的一點(diǎn)（不與、點(diǎn)重合）.（1）若平面，求的值；（2）求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

由二次方程實根的分布，可設(shè)方程恰好有兩個實根．【題目詳解】證明“設(shè)a，b為實數(shù)，則方程至多有一個實根”，由反證法的步驟可得第一步假設(shè)方程恰好有兩個實根，故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查反證法的運(yùn)用，注意解題步驟，以及假設(shè)及否定的敘述，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題．2、C【解題分析】

根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得，又由即得到答案?！绢}目詳解】由函數(shù)的解析式可得，又由，則【題目點(diǎn)撥】本題考查了分段函數(shù)，解答的關(guān)鍵是運(yùn)用函數(shù)的周期性把轉(zhuǎn)化有具體解析式的范圍內(nèi)。3、B【解題分析】

直接利用定積分公式計算得到答案.【題目詳解】.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了定積分，意在考查學(xué)生的計算能力.4、D【解題分析】

將復(fù)數(shù)整理為的形式，分別判斷四個選項即可得到結(jié)果.【題目詳解】的虛部為，錯誤；，錯誤；，錯誤；，為純虛數(shù)，正確本題正確選項：【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的模長、實部與虛部、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的分類的知識，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解題分析】

由條件可得，【題目詳解】因為函數(shù)的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是所以，所以4故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查的是導(dǎo)數(shù)的幾何意義，較簡單.6、B【解題分析】∵y2=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,∴過焦點(diǎn)且斜率為1的直線方程為y=x-,即x=y+,將其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=2p,∴=p=2,∴拋物線的方程為y2=4x,其準(zhǔn)線方程為x=-1.故選B.7、D【解題分析】

利用，即可求解.【題目詳解】，,.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查了向量加法的三角形法則、平行四邊形法則、空間向量的數(shù)量積以及向量模的求法，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】

結(jié)合圖形，利用異面直線所成的角的概念，把與A1B成60°角的異面直線一一列出，即得答案．【題目詳解】在正方體ABCD﹣A1B1C1D1的八個頂點(diǎn)中任取兩個點(diǎn)作直線，與直線A1B異面且夾角成60°的直線有：AD1，AC，D1B1，B1C，共4條．故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查異面直線的定義及判斷方法，異面直線成的角的定義，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，是基礎(chǔ)題．9、B【解題分析】分析：利用過一、三象限的漸近線的傾斜角θ∈[，]，可得1≤≤，即可求出雙曲線的離心率e的取值范圍.詳解：雙曲線=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為y=x，由過一、三象限的漸近線的傾斜角θ∈[，]，∴tan≤≤tan，∴1≤≤，∴1≤≤3，∴2≤1+≤4，即2≤e2≤4，解得≤e≤2，故選：B．點(diǎn)睛：求離心率的常用方法有以下兩種：（1）求得的值，直接代入公式求解；（2）列出關(guān)于的齊次方程(或不等式)，然后根據(jù)，消去后轉(zhuǎn)化成關(guān)于的方程(或不等式)求解．10、C【解題分析】分析：根據(jù)獨(dú)立性檢驗的定義及思想，可得結(jié)論．詳解：①常用等高條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征；正確；②獨(dú)立性檢驗依據(jù)小概率原理；正確；③樣本不同，獨(dú)立性檢驗的結(jié)論可能有差異；正確；④對分類變量與的隨機(jī)變量的觀測值來說，越大，與有關(guān)系的把握程度就越大.故④錯誤.故選C.點(diǎn)睛：本題考查了獨(dú)立性檢驗的原理，考查了推理能力，屬于基礎(chǔ)題．11、A【解題分析】試題分析：第一步，為甲地選一名老師，有種選法；第二步，為甲地選兩個學(xué)生，有種選法；第三步，為乙地選名教師和名學(xué)生，有種選法，故不同的安排方案共有種，故選A．考點(diǎn)：排列組合的應(yīng)用．12、A【解題分析】

根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，可求出點(diǎn)F到漸近線的距離剛好為，由圓的知識列出方程，通過焦距為，求出，即可得到雙曲線方程．【題目詳解】為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的右焦點(diǎn)為，焦距為，可得，的一條漸近線被以為圓心，為半徑的圓所截得的弦長為2，因為點(diǎn)F到漸近線的距離剛好為，所以可得即有，則，所以雙曲線方程為：．故選．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用以及雙曲線方程的求法，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：直接求即可.詳解：三個同學(xué)猜同一個謎語，如果每人猜對的概率都是，故他們同時猜對的概率是.故答案為：.點(diǎn)睛：本題主要考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式.14、1.96【解題分析】

根據(jù)二項分布，由公式得到結(jié)果.【題目詳解】由于是有放回的抽樣，所以是二項分布，,填1.96【題目點(diǎn)撥】本題考查離散型隨機(jī)變量的方差的求法，考查二項分布的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．15、【解題分析】分析：首先根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到，利用分?jǐn)?shù)的性質(zhì)，將項的比值轉(zhuǎn)化為和的比值，從而求得結(jié)果.詳解：根據(jù)題意有，所以答案是.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)等差數(shù)列的性質(zhì)的問題，將兩個等差數(shù)列的項的比值可以轉(zhuǎn)化為其和的比值，結(jié)論為，從而求得結(jié)果.16、.【解題分析】

根據(jù)造價關(guān)系，得到總造價，再利用導(dǎo)數(shù)求得的最大值.【題目詳解】設(shè)圓柱的高為，圓柱底面單位面積造價為，總造價為，因為儲油罐容積為，所以，整理得：，所以，令，則，當(dāng)?shù)茫?，?dāng)?shù)?，所以?dāng)時，取最大值，即取得最大值.【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)解決實際問題，考查運(yùn)算求解能力和建模能力，求解時要把相關(guān)的量設(shè)出，并利用函數(shù)與方程思想解決問題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

（1）先設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題中條件求出公差，即可得出通項公式；（2）根據(jù)前項和公式，即可求出結(jié)果.【題目詳解】（1）依題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，所以，又，所以公差，所以．（2）由（1）知，，所以【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等差數(shù)列，熟記等差數(shù)列的通項公式與前項和公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.18、（1）或或；（2）4或.【解題分析】

（1）設(shè)代入方程利用復(fù)數(shù)相等的定義求解。（2）設(shè)代入和求解。【題目詳解】（1）設(shè)，則，∴，解得：或或，∴或或。（2）設(shè)，則，，∴或。又，由解得（舍去）或，由，解得，綜上，4或。【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，解題時可設(shè)代入已知條件，利用復(fù)數(shù)相等的定義轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題求解。19、(1);(2)(ⅰ)91微克/立方米;(ⅱ)13萬輛.【解題分析】

(1)由數(shù)據(jù)可得：，，結(jié)合回歸方程計算系數(shù)可得關(guān)于的線性回歸方程為.(2)(I)結(jié)合(1)中的回歸方程可預(yù)測車流量為12萬輛時，的濃度為91微克/立方米.(II)由題意得到關(guān)于x的不等式，求解不等式可得要使該市某日空氣質(zhì)量為優(yōu)或為良，則應(yīng)控制當(dāng)天車流量在13萬輛以內(nèi).【題目詳解】(1)由數(shù)據(jù)可得：，，，，，故關(guān)于的線性回歸方程為.(2)(I)當(dāng)車流量為12萬輛時，即時，.故車流量為12萬輛時，的濃度為91微克/立方米.(II)根據(jù)題意信息得：，即，故要使該市某日空氣質(zhì)量為優(yōu)或為良，則應(yīng)控制當(dāng)天車流量在13萬輛以內(nèi).【題目點(diǎn)撥】一是回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計分析的方法，只有在散點(diǎn)圖大致呈線性時，求出的線性回歸方程才有實際意義，否則，求出的線性回歸方程毫無意義．二是根據(jù)回歸方程進(jìn)行預(yù)報，僅是一個預(yù)報值，而不是真實發(fā)生的值．20、(1)；(2).【解題分析】試題分析：(1)由題意結(jié)合三角函數(shù)的周期可得，結(jié)合，則，函數(shù)的解析式為.(2)由函數(shù)的定義域可得，則函數(shù)的值域為.試題解析：（1）由圖象知，即.又，所以，因此.又因為點(diǎn)，所以，即，又，所以，即.（2）當(dāng)時，，所以，從而有.21、（1）（2）單調(diào)遞增，見解析（3）【解題分析】

（1）根據(jù)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，由求得的值.（2）由（1）求得的解析式，利用單調(diào)性的定義，任取，計算，由此證得在上遞增.（3）根據(jù)的單調(diào)性和奇偶性化簡不等式，得到對任意恒成立，利用一元二次不等式恒成立則其判別式為負(fù)數(shù)列不等式，解不等式求得的取值范圍.【題目詳解】（1）∵是奇函數(shù)在原點(diǎn)有定義：∴，∴；經(jīng)驗證滿足題意（2）在上單調(diào)遞增，證明如下：設(shè)，則：；∵，∴，；∴；∴是上的增函數(shù)；（3）由（1）、（2）知，是上的增函數(shù)，且是奇函數(shù)；∵，∴；∴；即對任意恒成立；只需；解之得；∴實數(shù)的取值范圍為.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，考查利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式，考查一元二次不等式恒成立問題的求解，屬于中檔題.22、(1)(2)【解題分析】

（1）由平面可得，從而得到.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的