2024屆吉林省吉林市“三校”高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

2024屆吉林省吉林市“三?！备叨?shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．用反證法證明命題“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程至多有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，則下列假設(shè)中正確的是（）A．方程沒(méi)有實(shí)根 B．方程至多有一個(gè)實(shí)根C．方程恰好有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 D．方程至多有兩個(gè)實(shí)根2．已知函數(shù)，則（）A． B． C．1 D．73．定積分（）A．1 B．2 C．3 D．44．若復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（）A．的虛部為 B． C．的共軛復(fù)數(shù)為 D．為純虛數(shù)5．如圖，函數(shù)的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是，則（）A．4 B．3 C． D．6．已知拋物線，過(guò)其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為A． B．C． D．7．如圖，平行六面體中，，，，則（）A． B． C． D．8．如圖，在正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中任取兩個(gè)點(diǎn)作直線，與直線異面且?jiàn)A角成的直線的條數(shù)為（）．A． B． C． D．9．已知雙曲線，若其過(guò)一、三象限的漸近線的傾斜角，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．10．下列關(guān)于獨(dú)立性檢驗(yàn)的敘述：①常用等高條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征；②獨(dú)立性檢驗(yàn)依據(jù)小概率原理；③樣本不同，獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)論可能有差異；④對(duì)分類(lèi)變量與的隨機(jī)變量的觀測(cè)值來(lái)說(shuō)，越小，與有關(guān)系的把握程度就越大.其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．411．將名教師，名學(xué)生分成個(gè)小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)小組由名教師和名學(xué)生組成，不同的安排方案共有（）A．種 B．種 C．種 D．種12．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C：的右焦點(diǎn)為F，焦距為，C的一條漸近線被以F為圓心，OF為半徑的圓F所截得的弦長(zhǎng)為2，則C的方程是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．三個(gè)同學(xué)猜同一個(gè)謎語(yǔ)，如果每人猜對(duì)的概率都是，并且各人猜對(duì)與否相互獨(dú)立，那么他們同時(shí)猜對(duì)的概率為_(kāi)_________．14．一批產(chǎn)品的二等品率為，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件數(shù)，則____________．15．設(shè)等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，若，則__________．16．要設(shè)計(jì)一個(gè)容積為的下端為圓柱形、上端為半球形的密閉儲(chǔ)油罐，已知圓柱側(cè)面的單位面積造價(jià)是下底面積的單位面積造價(jià)的一半，而頂部半球面的單位面積造價(jià)又是圓柱側(cè)面的單位面積造價(jià)的一半，儲(chǔ)油罐的下部圓柱的底面半徑_______時(shí)，造價(jià)最低．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知等差數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．18．（12分）（1）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程；（2）已知復(fù)數(shù)z滿足，且，求z的值.19．（12分）為了探究車(chē)流量與的濃度是否相關(guān)，現(xiàn)采集到華中某城市2015年12月份某星期星期一到星期日某一時(shí)間段車(chē)流量與的數(shù)據(jù)如表：時(shí)間星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日車(chē)流量（萬(wàn)輛）1234567的濃度（微克/立方米）28303541495662（1）求關(guān)于的線性回歸方程；（提示數(shù)據(jù)：）（2）（I）利用（1）所求的回歸方程，預(yù)測(cè)該市車(chē)流量為12萬(wàn)輛時(shí)的濃度；（II）規(guī)定：當(dāng)一天內(nèi)的濃度平均值在內(nèi)，空氣質(zhì)量等級(jí)為優(yōu)；當(dāng)一天內(nèi)的濃度平均值在內(nèi)，空氣質(zhì)量等級(jí)為良，為使該市某日空氣質(zhì)量為優(yōu)或者為良，則應(yīng)控制當(dāng)天車(chē)流量不超過(guò)多少萬(wàn)輛？（結(jié)果以萬(wàn)輛為單位，保留整數(shù)）參考公式：回歸直線的方程是，其中，.20．（12分）設(shè)函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.21．（12分）已知函數(shù)是奇函數(shù)（）.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）試判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；（3）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）在四棱錐中，側(cè)棱底面，底面是直角梯形，，，，，是棱上的一點(diǎn)（不與、點(diǎn)重合）.（1）若平面，求的值；（2）求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

由二次方程實(shí)根的分布，可設(shè)方程恰好有兩個(gè)實(shí)根．【題目詳解】證明“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程至多有一個(gè)實(shí)根”，由反證法的步驟可得第一步假設(shè)方程恰好有兩個(gè)實(shí)根，故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查反證法的運(yùn)用，注意解題步驟，以及假設(shè)及否定的敘述，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題．2、C【解題分析】

根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得，又由即得到答案。【題目詳解】由函數(shù)的解析式可得，又由，則【題目點(diǎn)撥】本題考查了分段函數(shù)，解答的關(guān)鍵是運(yùn)用函數(shù)的周期性把轉(zhuǎn)化有具體解析式的范圍內(nèi)。3、B【解題分析】

直接利用定積分公式計(jì)算得到答案.【題目詳解】.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了定積分，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.4、D【解題分析】

將復(fù)數(shù)整理為的形式，分別判斷四個(gè)選項(xiàng)即可得到結(jié)果.【題目詳解】的虛部為，錯(cuò)誤；，錯(cuò)誤；，錯(cuò)誤；，為純虛數(shù)，正確本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)、實(shí)部與虛部、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的分類(lèi)的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解題分析】

由條件可得，【題目詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是所以，所以4故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查的是導(dǎo)數(shù)的幾何意義，較簡(jiǎn)單.6、B【解題分析】∵y2=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,∴過(guò)焦點(diǎn)且斜率為1的直線方程為y=x-,即x=y+,將其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=2p,∴=p=2,∴拋物線的方程為y2=4x,其準(zhǔn)線方程為x=-1.故選B.7、D【解題分析】

利用，即可求解.【題目詳解】，,.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查了向量加法的三角形法則、平行四邊形法則、空間向量的數(shù)量積以及向量模的求法，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】

結(jié)合圖形，利用異面直線所成的角的概念，把與A1B成60°角的異面直線一一列出，即得答案．【題目詳解】在正方體ABCD﹣A1B1C1D1的八個(gè)頂點(diǎn)中任取兩個(gè)點(diǎn)作直線，與直線A1B異面且?jiàn)A角成60°的直線有：AD1，AC，D1B1，B1C，共4條．故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查異面直線的定義及判斷方法，異面直線成的角的定義，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，是基礎(chǔ)題．9、B【解題分析】分析：利用過(guò)一、三象限的漸近線的傾斜角θ∈[，]，可得1≤≤，即可求出雙曲線的離心率e的取值范圍.詳解：雙曲線=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為y=x，由過(guò)一、三象限的漸近線的傾斜角θ∈[，]，∴tan≤≤tan，∴1≤≤，∴1≤≤3，∴2≤1+≤4，即2≤e2≤4，解得≤e≤2，故選：B．點(diǎn)睛：求離心率的常用方法有以下兩種：（1）求得的值，直接代入公式求解；（2）列出關(guān)于的齊次方程(或不等式)，然后根據(jù)，消去后轉(zhuǎn)化成關(guān)于的方程(或不等式)求解．10、C【解題分析】分析：根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的定義及思想，可得結(jié)論．詳解：①常用等高條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征；正確；②獨(dú)立性檢驗(yàn)依據(jù)小概率原理；正確；③樣本不同，獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)論可能有差異；正確；④對(duì)分類(lèi)變量與的隨機(jī)變量的觀測(cè)值來(lái)說(shuō)，越大，與有關(guān)系的把握程度就越大.故④錯(cuò)誤.故選C.點(diǎn)睛：本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的原理，考查了推理能力，屬于基礎(chǔ)題．11、A【解題分析】試題分析：第一步，為甲地選一名老師，有種選法；第二步，為甲地選兩個(gè)學(xué)生，有種選法；第三步，為乙地選名教師和名學(xué)生，有種選法，故不同的安排方案共有種，故選A．考點(diǎn)：排列組合的應(yīng)用．12、A【解題分析】

根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，可求出點(diǎn)F到漸近線的距離剛好為，由圓的知識(shí)列出方程，通過(guò)焦距為，求出，即可得到雙曲線方程．【題目詳解】為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的右焦點(diǎn)為，焦距為，可得，的一條漸近線被以為圓心，為半徑的圓所截得的弦長(zhǎng)為2，因?yàn)辄c(diǎn)F到漸近線的距離剛好為，所以可得即有，則，所以雙曲線方程為：．故選．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用以及雙曲線方程的求法，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：直接求即可.詳解：三個(gè)同學(xué)猜同一個(gè)謎語(yǔ)，如果每人猜對(duì)的概率都是，故他們同時(shí)猜對(duì)的概率是.故答案為：.點(diǎn)睛：本題主要考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式.14、1.96【解題分析】

根據(jù)二項(xiàng)分布，由公式得到結(jié)果.【題目詳解】由于是有放回的抽樣，所以是二項(xiàng)分布，,填1.96【題目點(diǎn)撥】本題考查離散型隨機(jī)變量的方差的求法，考查二項(xiàng)分布的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．15、【解題分析】分析：首先根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到，利用分?jǐn)?shù)的性質(zhì)，將項(xiàng)的比值轉(zhuǎn)化為和的比值，從而求得結(jié)果.詳解：根據(jù)題意有，所以答案是.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)等差數(shù)列的性質(zhì)的問(wèn)題，將兩個(gè)等差數(shù)列的項(xiàng)的比值可以轉(zhuǎn)化為其和的比值，結(jié)論為，從而求得結(jié)果.16、.【解題分析】

根據(jù)造價(jià)關(guān)系，得到總造價(jià)，再利用導(dǎo)數(shù)求得的最大值.【題目詳解】設(shè)圓柱的高為，圓柱底面單位面積造價(jià)為，總造價(jià)為，因?yàn)閮?chǔ)油罐容積為，所以，整理得：，所以，令，則，當(dāng)?shù)茫?，?dāng)?shù)?，所以?dāng)時(shí)，取最大值，即取得最大值.【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，考查運(yùn)算求解能力和建模能力，求解時(shí)要把相關(guān)的量設(shè)出，并利用函數(shù)與方程思想解決問(wèn)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

（1）先設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題中條件求出公差，即可得出通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)前項(xiàng)和公式，即可求出結(jié)果.【題目詳解】（1）依題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所以，又，所以公差，所以．?）由（1）知，，所以【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等差數(shù)列，熟記等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.18、（1）或或；（2）4或.【解題分析】

（1）設(shè)代入方程利用復(fù)數(shù)相等的定義求解。（2）設(shè)代入和求解?！绢}目詳解】（1）設(shè)，則，∴，解得：或或，∴或或。（2）設(shè)，則，，∴或。又，由解得（舍去）或，由，解得，綜上，4或?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，解題時(shí)可設(shè)代入已知條件，利用復(fù)數(shù)相等的定義轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問(wèn)題求解。19、(1);(2)(ⅰ)91微克/立方米;(ⅱ)13萬(wàn)輛.【解題分析】

(1)由數(shù)據(jù)可得：，，結(jié)合回歸方程計(jì)算系數(shù)可得關(guān)于的線性回歸方程為.(2)(I)結(jié)合(1)中的回歸方程可預(yù)測(cè)車(chē)流量為12萬(wàn)輛時(shí)，的濃度為91微克/立方米.(II)由題意得到關(guān)于x的不等式，求解不等式可得要使該市某日空氣質(zhì)量為優(yōu)或?yàn)榱?，則應(yīng)控制當(dāng)天車(chē)流量在13萬(wàn)輛以內(nèi).【題目詳解】(1)由數(shù)據(jù)可得：，，，，，故關(guān)于的線性回歸方程為.(2)(I)當(dāng)車(chē)流量為12萬(wàn)輛時(shí)，即時(shí)，.故車(chē)流量為12萬(wàn)輛時(shí)，的濃度為91微克/立方米.(II)根據(jù)題意信息得：，即，故要使該市某日空氣質(zhì)量為優(yōu)或?yàn)榱迹瑒t應(yīng)控制當(dāng)天車(chē)流量在13萬(wàn)輛以內(nèi).【題目點(diǎn)撥】一是回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法，只有在散點(diǎn)圖大致呈線性時(shí)，求出的線性回歸方程才有實(shí)際意義，否則，求出的線性回歸方程毫無(wú)意義．二是根據(jù)回歸方程進(jìn)行預(yù)報(bào)，僅是一個(gè)預(yù)報(bào)值，而不是真實(shí)發(fā)生的值．20、(1)；(2).【解題分析】試題分析：(1)由題意結(jié)合三角函數(shù)的周期可得，結(jié)合，則，函數(shù)的解析式為.(2)由函數(shù)的定義域可得，則函數(shù)的值域?yàn)?試題解析：（1）由圖象知，即.又，所以，因此.又因?yàn)辄c(diǎn)，所以，即，又，所以，即.（2）當(dāng)時(shí)，，所以，從而有.21、（1）（2）單調(diào)遞增，見(jiàn)解析（3）【解題分析】

（1）根據(jù)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，由求得的值.（2）由（1）求得的解析式，利用單調(diào)性的定義，任取，計(jì)算，由此證得在上遞增.（3）根據(jù)的單調(diào)性和奇偶性化簡(jiǎn)不等式，得到對(duì)任意恒成立，利用一元二次不等式恒成立則其判別式為負(fù)數(shù)列不等式，解不等式求得的取值范圍.【題目詳解】（1）∵是奇函數(shù)在原點(diǎn)有定義：∴，∴；經(jīng)驗(yàn)證滿足題意（2）在上單調(diào)遞增，證明如下：設(shè)，則：；∵，∴，；∴；∴是上的增函數(shù)；（3）由（1）、（2）知，是上的增函數(shù)，且是奇函數(shù)；∵，∴；∴；即對(duì)任意恒成立；只需；解之得；∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，考查利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式，考查一元二次不等式恒成立問(wèn)題的求解，屬于中檔題.22、(1)(2)【解題分析】

（1）由平面可得，從而得到.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的