2024屆四川省成都嘉祥外國語學校高二數(shù)學第二學期期末考試試題含解析

2024屆四川省成都嘉祥外國語學校高二數(shù)學第二學期期末考試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．給出下列三個命題：①“若，則”為假命題；②若為真命題，則,均為真命題；③命題，則.其中正確的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．32．從集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取兩個互不相等的數(shù)，組成復數(shù)，其中虛數(shù)有（）A．30個 B．42個 C．36個 D．35個3．函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則A． B． C． D．4．現(xiàn)有5人參加抽獎活動，每人依次從裝有5張獎票（其中3張為中獎票）的箱子中不放回地隨機抽取一張，直到3張中獎票都被抽出時活動結(jié)束，則活動恰好在第4人抽完后結(jié)束的概率為（）A． B． C． D．5．設函數(shù)的定義域為R，滿足，且當時．則當，的最小值是（）A． B． C． D．6．某市委積極響應十九大報告提出的“到2020年全面建成小康社會”的目標，鼓勵各縣積極脫貧，計劃表彰在農(nóng)村脫貧攻堅戰(zhàn)中的杰出村代表，已知A，B兩個貧困縣各有15名村代表，最終A縣有5人表現(xiàn)突出，B縣有3人表現(xiàn)突出，現(xiàn)分別從A，B兩個縣的15人中各選1人，已知有人表現(xiàn)突出，則B縣選取的人表現(xiàn)不突出的概率是（）A． B． C． D．7．設，由不等式，，，…，類比推廣到，則()A． B． C． D．8．已知，且恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．9．在極坐標系中，設圓與直線交于兩點，則以線段為直徑的圓的極坐標方程為（）A． B．C． D．10．已知函數(shù)在上恒不大于0，則的最大值為（）A． B． C．0 D．111．設6人站成一排，甲、乙、丙3個人不能都站在一起的排法種數(shù)為()A．720 B．144 C．576 D．32412．設，，若，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)與函數(shù)的圖像有兩個不同的交點，則實數(shù)b的取值范圍是________；14．某地區(qū)共有4所普通高中，這4所普通高中參加2018年高考的考生人數(shù)如下表所示：學校高中高中高中高中參考人數(shù)80012001000600現(xiàn)用分層抽樣的方法在這4所普通高中抽取144人，則應在高中中抽取的學生人數(shù)為_______．15．若對任意實數(shù)，都有，則__________。16．出租車司機從南昌二中新校區(qū)到老校區(qū)(蘇圃路)途中有個交通崗，假設他在各交通崗遇到紅燈是相互獨立的，并且概率都是則這位司機在途中遇到紅燈數(shù)的期望為____.（用分數(shù)表示）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某險種的基本保費為（單位：元），繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關聯(lián)如下：上年度出險次數(shù)01234保費設該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應概率如下：一年內(nèi)出險次數(shù)01234概率0.300.150.200.200.100.05（1）求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率；（2）已知一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出的概率.18．（12分）已知、為橢圓的左右焦點，是坐標原點，過作垂直于軸的直線交橢圓于．（1）求橢圓的方程；（2）若過點的直線與橢圓交于、兩點，若，求直線的方程．19．（12分）已知橢圓過點，且離心率為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）為橢圓的左、右頂點，直線與軸交于點，點是橢圓上異于的動點，直線分別交直線于兩點.證明：恒為定值.20．（12分）（1）化簡求值：（2）化簡求值：+21．（12分）已知函數(shù)的最小正周期為.（1）當時，求函數(shù)的值域；（2）已知的內(nèi)角，，對應的邊分別為，，，若，且，，求的面積.22．（10分）已知數(shù)列的前項和滿足,.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，，求數(shù)列的前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】試題分析：①若，則且，所以①正確；②若為真命題，則，應至少有一個是真命題，所以②錯；③正確．考點：1.四種命題；2.命題的否定．2、C【解題分析】

解：∵a，b互不相等且為虛數(shù)，∴所有b只能從{1，2，3，4，5，6}中選一個有6種，a從剩余的6個選一個有6種，∴根據(jù)分步計數(shù)原理知虛數(shù)有6×6=36（個）．故選C3、D【解題分析】

利用奇函數(shù)的性質(zhì)求出的值.【題目詳解】由題得，故答案為：D【題目點撥】(1)本題主要考查奇函數(shù)的性質(zhì)，意在考查學生對該知識的掌握水平和分析推理計算能力.(2)奇函數(shù)f(-x)=-f(x).4、C【解題分析】試題分析：將5張獎票不放回地依次取出共有種不同的取法，若活動恰好在第四次抽獎結(jié)束，則前三次共抽到2張中獎票，第四次抽到最后一張中獎票．共有種取法，∴考點：古典概型及其概率計算公式5、D【解題分析】

先求出函數(shù)在區(qū)間上的解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出函數(shù)在區(qū)間上的最小值．【題目詳解】由題意可知，函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，設，則，則，即當時，，可知函數(shù)在處取得最小值，且最小值為，故選D.【題目點撥】本題考查函數(shù)的周期性以及函數(shù)的最值，解決本題的關鍵就是根據(jù)周期性求出函數(shù)的解析式，并結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)求解，考查計算能力，屬于中等題．6、B【解題分析】

由古典概型及其概率計算公式得：有人表現(xiàn)突出，則縣選取的人表現(xiàn)不突出的概率是，得解．【題目詳解】由已知有分別從，兩個縣的15人中各選1人，已知有人表現(xiàn)突出，則共有種不同的選法，又已知有人表現(xiàn)突出，且縣選取的人表現(xiàn)不突出，則共有種不同的選法，已知有人表現(xiàn)突出，則縣選取的人表現(xiàn)不突出的概率是.故選：B．【題目點撥】本題考查條件概率的計算，考查運算求解能力，求解時注意與古典概率模型的聯(lián)系.7、D【解題分析】由已知中不等式：歸納可得：不等式左邊第一項為，第二項為，右邊為，故第個不等式為：，故，故選D.【方法點睛】本題通過觀察幾組不等式，歸納出一般規(guī)律來考察歸納推理，屬于中檔題.歸納推理的一般步驟:一、通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì).二、從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般性命題(猜想）.常見的歸納推理分為數(shù)的歸納和形的歸納兩類：(1)數(shù)的歸納包括數(shù)的歸納和式子的歸納，解決此類問題時，需要細心觀察，尋求相鄰項及項與序號之間的關系，同時還要聯(lián)系相關的知識，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等；(2)形的歸納主要包括圖形數(shù)目的歸納和圖形變化規(guī)律的歸納.8、D【解題分析】

由題意可構(gòu)造函數(shù)，由在上恒成立，分離參數(shù)并構(gòu)造新的函數(shù)，利用導數(shù)判斷其單調(diào)性并求得最小值，即可求出的取值范圍.【題目詳解】由，得恒成立，令，即，，則在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，當時，成立，當時，等價于，令，則，所以在上單調(diào)遞減，，即故選：D【題目點撥】本題主要考查不等式恒成立問題的解法，考查導數(shù)和構(gòu)造函數(shù)的應用，考查學生分析轉(zhuǎn)化能力和計算能力，屬于中檔題.9、A【解題分析】試題分析：以極點為坐標原點，極軸為軸的正半軸，建立直角坐標系，則由題意，得圓的直角坐標方程，直線的直角坐標方程．由，解得或，所以，從而以為直徑的圓的直角坐標方程為，即．將其化為極坐標方程為：，即故選A．考點：簡單曲線的極坐標方程．10、A【解題分析】

先求得函數(shù)導數(shù)，當時，利用特殊值判斷不符合題意.當時，根據(jù)的導函數(shù)求得的最大值，令這個最大值恒不大于零，化簡后通過構(gòu)造函數(shù)法，利用導數(shù)研究所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性和零點，并由此求得的取值范圍，進而求得的最大值.【題目詳解】，當時，，則在上單調(diào)遞增，，所以不滿足恒成立；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又恒成立，即.設，則.因為在上單調(diào)遞增，且，，所以存在唯一的實數(shù)，使得，當時，；當時，，所以，解得，又，所以，故整數(shù)的最大值為.故選A.【題目點撥】本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查構(gòu)造函數(shù)法，考查零點存在性定理，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.11、C【解題分析】

先求出6人站成一排，有多少種排法，再計算把甲、乙、丙3個人捆綁在一起，再跟剩下的3人排列，有多少種排法，這樣就可以用減法求出甲、乙、丙3個人不能都站在一起的排法種數(shù).【題目詳解】求出6人站成一排，有種排法，把甲、乙、丙3個人捆綁在一起，再跟剩下的3人排列，有種排法，因此甲、乙、丙3個人不能都站在一起的排法種數(shù)為，故本題選C.【題目點撥】本題考查了全排列、捆綁法，考查了數(shù)學運算能力.12、C【解題分析】

分別求解出集合和，根據(jù)交集的結(jié)果可確定的范圍.【題目詳解】，本題正確選項：【題目點撥】本題考查根據(jù)交集的結(jié)果求解參數(shù)范圍的問題，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

作出函數(shù)的圖象和直線，由圖形觀察可知它們有兩交點的情形。【題目詳解】作出函數(shù)的圖象和直線，如圖，當直線過點時，，當直線與函數(shù)圖象相切時，，，，（舍去），∴函數(shù)與函數(shù)的圖像有兩個不同的交點時。故答案為：【題目點撥】本題考查直線與函數(shù)圖象交點個數(shù)問題，解題時用數(shù)形結(jié)合思想，即作出函數(shù)圖象（半個橢圓）及直線當平移直線時觀察它與函數(shù)圖象的交點情況．本題解題時要特別注意函數(shù)圖象只是橢圓的上半部分，不能誤認為是整個橢圓，那就會得出錯誤結(jié)論．14、24【解題分析】

計算出高中人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例，乘以得到在高中抽取的學生人數(shù).【題目詳解】應在高中抽取的學生人數(shù)為．【題目點撥】本小題主要考查分層抽樣，考查頻率的計算，屬于基礎題.15、6【解題分析】

將原式變?yōu)?，從而可得展開式的通項，令可求得結(jié)果.【題目詳解】由題意得：則展開式通項為：當，即時，本題正確結(jié)果：【題目點撥】本題考查利用二項式定理求解指定項的系數(shù)的問題，關鍵是能夠構(gòu)造出合適的形式來進行展開.16、【解題分析】

遇到紅燈相互獨立且概率相同可知，根據(jù)二項分布數(shù)學期望求解公式求得結(jié)果.【題目詳解】由題意可知，司機在途中遇到紅燈數(shù)服從于二項分布，即期望本題正確結(jié)果：【題目點撥】本題考查服從于二項分布的隨機變量的數(shù)學期望的求解，考查對于二項分布數(shù)學期望計算公式的掌握，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）0.55（2）【解題分析】分析：（1）將保費高于基本保費轉(zhuǎn)化為一年內(nèi)的出險次數(shù)，再根據(jù)表中的概率求解即可．（2）根據(jù)條件概率并結(jié)合表中的數(shù)據(jù)求解可得結(jié)論．詳解：（1）設表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費”，則事件發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)大于1，故．（2）設表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費比基本保費高出”，則事件發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)大于3，故．又，故，因此其保費比基本保費高出的概率為．點睛：求概率時，對于條件中含有“在……的條件下，求……發(fā)生的概率”的問題，一般為條件概率，求解時可根據(jù)條件概率的定義或利用古典概型概率求解．18、（1）；（2）或【解題分析】

（1）根據(jù)點坐標，結(jié)合，求得的值，進而求得橢圓的方程.（2）當軸時，求得兩點的坐標，計算出.當不垂直軸時，設出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，寫出韋達定理，由列方程，解方程求得直線的斜率，進而求得直線的方程.【題目詳解】（1）由于軸，且，所以，解得，所以橢圓方程為.（2）設.當軸時，，，不符合題意.當不垂直軸時，設直線的方程為，代入橢圓方程并化簡得，所以，由于，所以，即，所以，解得.所以直線的方程為或.【題目點撥】本小題主要考查橢圓標準方程的求法，考查直線和橢圓相交交點坐標的求法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，考查運算求解能力，屬于中檔題.19、（Ⅰ）.（Ⅱ）為定值.證明見解析．【解題分析】本試題主要是考出了橢圓方程的求解，橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關系的運用的綜合考查，體現(xiàn)了運用代數(shù)的方法解決解析幾何的本質(zhì)的運用．（1）首先根據(jù)題意的幾何性質(zhì)來表示得到關于a,b,c的關系式，從而得到其橢圓的方程．（2設出直線方程，設點P的坐標，點斜式得到AP的方程，然后聯(lián)立方程組，可知借助于韋達定理表示出長度，進而證明為定值．（Ⅰ）解：由題意可知，，，解得.…………4分所以橢圓的方程為.…………5分（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知,，.設，依題意，于是直線的方程為，令，則.即.…………7分又直線的方程為，令，則，即.…………9分…………11分又在上，所以,即，代入上式，得,所以為定值.…………12分20、(1)1，(2)【解題分析】

（1）利用倍角公式、同角三角函數(shù)基本關系式及誘導公式化簡求值；（2）利用同角三角函數(shù)基本關系式、誘導公式及三角函數(shù)的和差化積化簡求值．【題目詳解】（1）===；（2）+=+==（﹣）==．【題目點撥】本題考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，考查誘導公式及同角三角