福建省二校2024屆數(shù)學高二下期末綜合測試試題含解析

福建省二校2024屆數(shù)學高二下期末綜合測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（為虛數(shù)單位），則復數(shù)對應的點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．設，，，則（）A． B． C． D．3．某市組織了一次高二調研考試，考試后統(tǒng)計的數(shù)學成績服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)，x∈(－∞，＋∞)，則下列命題不正確的是()A．該市這次考試的數(shù)學平均成績?yōu)?0分B．分數(shù)在120分以上的人數(shù)與分數(shù)在60分以下的人數(shù)相同C．分數(shù)在110分以上的人數(shù)與分數(shù)在50分以下的人數(shù)相同D．該市這次考試的數(shù)學成績標準差為104．如果函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示，那么導函數(shù)的圖象可能是A． B． C． D．5．正三角形ABC的邊長為2，將它沿高AD翻折，使點B與點C間的距離為，此時四面體ABCD外接球表面積為（）A． B． C． D．6．若復數(shù)滿足，則的值是（）A． B． C． D．7．已知曲線在點處的切線平行于直線，那么點的坐標為（）A．或 B．或C． D．8．觀察，，，由歸納推理可得：若定義在上的函數(shù)滿足，記為的導函數(shù)，則=A． B． C． D．9．在吸煙與患肺病這兩個分類變量的計算中，下列說法正確的是（）A．若的觀測值為=6.635,我們有99%的把握認為吸煙與患肺病有關系，那么在100個吸煙的人中必有99人患有肺??；B．從獨立性檢驗可知有99%的把握認為吸煙與患肺病有關系時，我們說某人吸煙，那么他有99%的可能患有肺??；C．若從統(tǒng)計量中求出有95%的把握認為吸煙與患肺病有關系，是指有5%的可能性使得推判出現(xiàn)錯誤；D．以上三種說法都不正確.10．的展開式中，常數(shù)項為()A．－15 B．16 C．15 D．－1611．現(xiàn)有4種不同品牌的小車各2輛(同一品牌的小車完全相同),計劃將其放在4個車庫中（每個車庫放2輛則恰有2個車庫放的是同一品牌的小車的不同放法共有（）A．144種 B．108種 C．72種 D．36種12．（）A．5 B． C．6 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．由曲線，坐標軸及直線圍成的圖形的面積等于______。14．位同學在一次聚會活動中進行紀念品的交換，任意兩位同學之間最多交換一次，進行交換的兩位同學互贈一份紀念品。已知位同學之間進行了次交換，且收到份紀念品的同學有人，問收到份紀念品的人數(shù)為_______15．一支田徑隊有男運動員56人，女運動員42人，用分層抽樣的方法，按性別從全體運動員中抽出一個容量為7的樣本，則抽出的女運動員的人數(shù)是________．16．已知直線與橢圓相切于第一象限的點，且直線與軸、軸分別交于點、，當(為坐標原點)的面積最小時，(、是橢圓的兩個焦點)，若此時在中，的平分線的長度為，則實數(shù)的值是__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓C的中心為坐標原點O，焦點F1，F(xiàn)1在x軸上，橢圓C短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，且橢圓C短軸長為1．（1）求橢圓C的標準方程．（1）P為橢圓C上一點，且∠F1PF1＝，求△PF1F1的面積．18．（12分）已知，.（1）求證：；（2）若不等式對一切實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù)的一個零點是．（1）求實數(shù)的值；（2）設，若，求的值域．20．（12分）己知，函數(shù).（1）若，解不等式；（2）若函數(shù)，且存在使得成立，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）為推行“新課堂”教學法，某化學老師分別用傳統(tǒng)教學和“新課堂”兩種不同的教學方式，在甲、乙兩個平行班級進行教學實驗.為了比較教學效果，期中考試后，分別從兩個班級中各隨機抽取20名學生的成績進行統(tǒng)計，結果如下表：記成績不低于70分者為“成績優(yōu)良”.分數(shù)甲班頻數(shù)56441乙班頻數(shù)13655（1）由以上統(tǒng)計數(shù)據填寫下面列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯概率不超過0.025的前提下認為“成績優(yōu)良與教學方式有關”？甲班乙班總計成績優(yōu)良成績不優(yōu)良總計附：，其中.臨界值表0.100.050.0252.7063.8415.024（2）現(xiàn)從上述40人中，學校按成績是否優(yōu)良采用分層抽樣的方法抽取8人進行考核.在這8人中，記成績不優(yōu)良的乙班人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望.22．（10分）已知函數(shù).（1）當時，求不等式的解集；（2）若不等式對任意的實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

通過求出，然后得到復數(shù)對應的點的坐標．【題目詳解】由得所以復數(shù)在復平面對應的點在第一象限．【題目點撥】本題主要考查復數(shù)的基本概念，兩個復數(shù)代數(shù)形式的除法，復數(shù)與復平面內對應點之間的關系，屬于基礎題．2、B【解題分析】

根據對數(shù)運算法則求得，進而求得，由此得到結果.【題目詳解】，，，.故選：.【題目點撥】本題考查指數(shù)、對數(shù)比較大小的問題，涉及到對數(shù)的運算，屬于基礎題.3、B【解題分析】分析：根據密度函數(shù)的特點可得：平均成績及標準差，再結合正態(tài)曲線的對稱性可得分數(shù)在110分以上的人數(shù)與分數(shù)在50分以下的人數(shù)相同，從而即可選出答案.詳解：密度函數(shù)，該市這次考試的數(shù)學平均成績?yōu)?0分該市這次考試的數(shù)學標準差為10，從圖形上看，它關于直線對稱，且50與110也關于直線對稱，故分數(shù)在110分以上的人數(shù)與分數(shù)在50分以下的人數(shù)相同.故選B.點睛：本題主要考查了正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，以及利用幾何圖形的對稱性求解.4、A【解題分析】試題分析：由原函數(shù)圖像可知函數(shù)單調性先增后減再增再減，所以導數(shù)值先正后負再正再負，只有A正確考點：函數(shù)導數(shù)與單調性及函數(shù)圖像5、C【解題分析】分析：三棱錐的三條側棱，底面是等腰三角形，它的外接球就是它擴展為三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心連線的中點到頂點的距離，就是球的半徑，然后求球的表面積即可.詳解：根據題意可知三棱錐的三條側棱，底面是等腰三角形，它的外接球就是它擴展為三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心連線的中點到頂點的距離，就是球的半徑，三棱柱中，底面，,，的外接圓的半徑為，由題意可得：球心到底面的距離為.球的半徑為.外接球的表面積為：.故選：C.點睛：考查空間想象能力，計算能力.三棱柱上下底面中點連線的中點，到三棱柱頂點的距離相等，說明中心就是外接球的球心，是本題解題的關鍵，仔細觀察和分析題意，是解好數(shù)學題目的前提.6、C【解題分析】

先用復數(shù)除法進行化簡，之后求共軛復數(shù)即可.【題目詳解】因為故：故其共軛復數(shù)為：故選：C.【題目點撥】本題考查復數(shù)的除法運算，涉及共軛復數(shù)，屬基礎題.7、B【解題分析】分析：設的坐標為，則，求出函數(shù)的導數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線平行的條件可得的方程，求得的值從而可得結果.詳解：設的坐標為，則，的導數(shù)為，在點處的切線斜率為，由切線平行于直線，可得，解得，即有或，故選B.點睛：本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率，考查導數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某點處的導數(shù)即為曲線在該點處的切線斜率，考查兩直線平行的條件：斜率相等，屬于基礎題.8、D【解題分析】由歸納推理可知偶函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù)，因為是偶函數(shù)，則是奇函數(shù)，所以，應選答案D．9、C【解題分析】試題分析：要正確認識觀測值的意義，觀測值同臨界值進行比較得到一個概率，這個概率是推斷出錯誤的概率，若從統(tǒng)計量中求出有95%的把握認為吸煙與患肺病有關系，是指有5%的可能性使得推判出現(xiàn)錯誤，故選C．考點：獨立性檢驗．10、B【解題分析】

把按照二項式定理展開，可得的展開式中的常數(shù)項．【題目詳解】∵（）?（1），故它的展開式中的常數(shù)項是1+15=16故選：B【題目點撥】本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，項的系數(shù)的性質，熟記公式是關鍵，屬于基礎題．11、C【解題分析】

根據題意，分3步進行分析：①、在4種不同品牌的小車任取2個品牌的小車，②、將取出的2個品牌的小車任意的放進2個車庫中，③、剩余的4輛車放進剩下的2個車庫，相同品牌的不能放進同一個車庫，分別分析每一步的情況數(shù)目，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【題目詳解】解：根據題意，分3步進行分析：①、在4種不同品牌的小車任取2個品牌的小車，有C42種取法，②、將取出的2個品牌的小車任意的放進2個車庫中，有A42種情況，③、剩余的4輛車放進剩下的2個車庫，相同品牌的不能放進同一個車庫，有1種情況，則恰有2個車庫放的是同一品牌的小車的不同放法共有C42A42×1＝72種，故選：C．點睛：能用分步乘法計數(shù)原理解決的問題具有以下特點：(1)完成一件事需要經過n個步驟，缺一不可．(2)完成每一步有若干種方法．(3)把各個步驟的方法數(shù)相乘，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù)．12、A【解題分析】

由題，先根據復數(shù)的四則運算直接求出結果即可【題目詳解】由題故選A【題目點撥】本題考查了復數(shù)的運算，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】

根據定積分求面積【題目詳解】.【題目點撥】本題考查利用定積分求面積，考查基本分析求解能力，屬基礎題.14、【解題分析】

先確定如果都兩兩互相交換紀念品，共有次交換，可知有次交換沒有發(fā)生；再根據收到份紀念品的同學有人，可知甲與乙、甲與丙之間沒有交換，從而計算得到結果.【題目詳解】名同學兩兩互相交換紀念品，應共有：次交換現(xiàn)共進行了次交換，則有次交換沒有發(fā)生收到份紀念品的同學有人一人與另外兩人未發(fā)生交換若甲與乙、甲與丙之間沒有交換，則甲、乙、丙未收到份紀念品收到份紀念品的人數(shù)為：人本題正確結果：【題目點撥】本題考查排列組合應用問題，關鍵是能夠確定未發(fā)生交換的次數(shù)，并且能夠根據收到份紀念品的人數(shù)確定未發(fā)生交換的情況.15、3【解題分析】

直接根據分層抽樣比例關系計算得到答案.【題目詳解】根據題意：抽出的女運動員的人數(shù)為.故答案為：.【題目點撥】本題考查了分層抽樣，屬于簡單題.16、【解題分析】分析：求出切線方程，可得三角形面積，利用基本不等式求出最小值時切點坐標，設，利用余弦定理結合橢圓的定義，由三角形面積公式可得，，根據與橢圓的定義即可的結果.詳解：由題意，切線方程為，直線與軸分別相交于點，，，，，，當且僅當時，為坐標原點）的面積最小，設，由余弦定理可得，，‘，，的內角平分線長度為，，，，故答案為.點睛：本題考查橢圓的切線方程、橢圓的定義、橢圓幾何性質以及利用基本不等式求最值、三角形面積公式定義域、余弦定理的應用，意在考查學生綜合利用所學知識解決問題的能力，屬于難題.在解答與橢圓兩個焦點有關的三角形問題時，往往綜合利用橢圓的定義與余弦定理解答.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（1）【解題分析】

（1）由已知可得關于的方程組，求得的值，即可得到橢圓的方程；（1）在中，由已知結合橢圓的定義及余弦定理和三角形的面積公式，即可求解．【題目詳解】(1)設橢圓的標準方程為，∵橢圓的短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，且橢圓短軸長為1，∴，解得，，∴橢圓的標準方程為．（1）由橢圓定義知①又∠，由余弦定理得②聯(lián)立①②解得所以三角形的面積【題目點撥】本題主要考查了橢圓的定義的應用，標準方程的求解，以及幾何性質的應用，其中解答熟練應用橢圓的焦點三角形，以及余弦定理和三角形的面積公式是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．18、（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）．【解題分析】試題分析：(1)由題意結合柯西不等式的結論即可證得題中的結論；(2)結合(1)的結論可得絕對值不等式，零點分段求解絕對值不等式可得實數(shù)的取值范圍為.試題解析：(Ⅰ)證明:由柯西不等式得,,的取值范圍是.(Ⅱ)由柯西不等式得.若不等式對一切實數(shù)恒成立,則,其解集為,即實數(shù)的取值范圍為.19、(1)a=1;(2).【解題分析】

分析：（1）令即可求得結果；（2）將原解析式代入，結合二倍角公式、輔助角公式等求得，將x的范圍帶入解析式，結合三角函數(shù)圖像的性質即可求出值域.【題目詳解】：（Ⅰ）依題意，得，即，解得．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得．．由得當即時，取得最大值2，當即時，取得最小值-1.所以的值域是【題目點撥】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質的應用問題，此類題目是三角函數(shù)問題中的典型題目，可謂相當經典解答本題，關鍵在于能利用三角函數(shù)的公式化簡函數(shù)、進一步討論函數(shù)的性質，本題易錯點在于一是圖象的變換與解析式的對應，二是忽視設定角的范圍.難度不大，能較好的考查考生的基本運算求解能力及復雜式子的變形能力等.20、（1）；（2）【解題分析】

（1）零點分段解不等式即可（2）等價于，由，得不等式即可求解【題目詳解】（1）當時，，當時，由，解得；當時，由，解得；當時，由，解得.綜上可知，原不