2024屆吉林省吉林市高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

2024屆吉林省吉林市高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知四棱錐的底面是正方形，側(cè)棱長均相等，是線段上的點（不含端點），設(shè)與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（）A． B． C． D．2．設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)i3A．-i B．i C．1 D．-13．“”是“方程的曲線是橢圓”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件4．函數(shù)f（x）＝（x2﹣2x）ex的圖象可能是（）A． B．C． D．5．甲、乙、丙3人站到共有7級的臺階上，若每級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法總數(shù)是A．210B．336C．84D．3436．一張儲蓄卡的密碼共有位數(shù)字，每位數(shù)字都可以是中的任意一個.某人在銀行自動取款機上取錢時，忘記了密碼的最后一位數(shù)字，任意按最后一位數(shù)字，則不超過次就按對的概率為（）A． B． C． D．7．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則程序輸出的結(jié)果為（）A． B． C． D．8．若函數(shù)在其定義域內(nèi)的一個子區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．9．函數(shù)在處的切線與直線:垂直，則（）A．3 B．3 C． D．10．已知定義域為的函數(shù)滿足‘’，當時，單調(diào)遞減，如果且，則的值（）A．等于0 B．是不等于0的任何實數(shù)C．恒大于0 D．恒小于011．在如圖所示的“莖葉圖”表示的數(shù)據(jù)中，眾數(shù)和中位數(shù)分別（）.A．23與26 B．31與26 C．24與30 D．26與3012．在極坐標系中，方程表示的曲線是（）A．直線 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．向量經(jīng)過矩陣變換后的向量是________14．將一根長為1米的木條鋸成兩段，分別作三角形ABC的兩邊AB，AC，且.則當AC最短時，第三邊BC的長為________米.15．拋物線上的點到的距離與到其準線距離之和的最小值是_____.16．若的展開式中各項系數(shù)之和為0,則展開式中含的項為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（，e為自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）若，求的最大值；（2）若在R上單調(diào)遞減，①求a的取值范圍；②當時，證明：.18．（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)上是減函數(shù)，求實數(shù)a的最小值；（2）若，使（）成立，求實數(shù)a的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù)，（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若方程有三個實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知函數(shù).(Ⅰ)當時,求曲線在點處的切線方程;(Ⅱ)若存在兩個極值點,,證明:.21．（12分）如圖，四核錐中，，是以為底的等腰直角三角形，，為中點，且．（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．22．（10分）甲、乙兩人各進行3次射擊，甲每次擊中目標的概率為，乙每次擊中目標的概率為．記甲擊中目標的次數(shù)為，乙擊中目標的次數(shù)為．（1）求的分布列；（2）求和的數(shù)學(xué)期望．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

分別作出線線角、線面角以及二面角，再構(gòu)造直角三角形，根據(jù)邊的大小關(guān)系確定角的大小關(guān)系.【題目詳解】設(shè)為正方形的中心，為中點，過作的平行線，交于，過作垂直于，連接、、，則垂直于底面，垂直于，因此從而因為，所以即，選D.【題目點撥】線線角找平行，線面角找垂直，面面角找垂面.2、C【解題分析】分析：由條件利用兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算，虛數(shù)單位i的冪運算性質(zhì)，計算求得結(jié)果．詳解：i3∴復(fù)數(shù)i3故選C點睛：本題主要考查兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，虛數(shù)單位i的冪運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．3、B【解題分析】方程的曲線是橢圓，故應(yīng)該滿足條件：故”是“方程的曲線是橢圓”的必要不充分條件.故答案為：B.4、B【解題分析】

根據(jù)函數(shù)值的正負，以及單調(diào)性，逐項驗證.【題目詳解】，當或時，，當時，，選項不正確，，令，當或，當，的遞增區(qū)間是，，遞減區(qū)間是，所以選項不正確，選項正確.故選:B.【題目點撥】本題考查函數(shù)圖像的識別，考查函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解題分析】

由題意知本題需要分組解決，共有兩種情況，對于7個臺階上每一個只站一人，若有一個臺階有2人另一個是1人，根據(jù)分類計數(shù)原理得到結(jié)果．【題目詳解】由題意知本題需要分組解決，∵對于7個臺階上每一個只站一人有A73種；若有一個臺階有2人另一個是1人共有C31A72種，∴根據(jù)分類計數(shù)原理知共有不同的站法種數(shù)是A73+C31A72=336種．故答案為：B．【題目點撥】分類要做到不重不漏，分類后再分別對每一類進行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù)．分步要做到步驟完整﹣﹣完成了所有步驟，恰好完成任務(wù)．6、B【解題分析】

利用互斥事件概率加法公式和相互獨立事件概率乘法公式直接求解，即可求得答案.【題目詳解】設(shè)第次按對密碼為事件第一次按對第一次按錯，第二次按對第一次按錯，第二次按錯，第三次按對事件，事件，事件是互斥，任意按最后一位數(shù)字，則不超過次就按對的概率由概率的加法公式得：故選：C．【題目點撥】本題考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式和相互獨立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．7、C【解題分析】依次運行如圖給出的程序，可得；，所以輸出的的值構(gòu)成周期為4的數(shù)列．因此當時，．故程序輸出的結(jié)果為．選C．8、B【解題分析】分析：求出導(dǎo)函數(shù)，求得極值點，函數(shù)在含有極值點的區(qū)間內(nèi)不單調(diào)．詳解：，此函數(shù)在上是增函數(shù)，又，因此是的極值點，它在含有的區(qū)間內(nèi)不單調(diào)，此區(qū)間為B．故選B．點睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，函數(shù)在不含極值點的區(qū)間內(nèi)一定是單調(diào)函數(shù)，因此此只要求出極值點，含有極值點的區(qū)間就是正確的選項．9、A【解題分析】

先利用求導(dǎo)運算得切線的斜率，再由互相垂直的兩直線的關(guān)系，求得的值?！绢}目詳解】函數(shù)在（1，0）處的切線的斜率是，所以，與此切線垂直的直線的斜率是故選A.【題目點撥】本題考查了求導(dǎo)的運算法則和互相垂直的直線的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．10、D【解題分析】

由且，不妨設(shè)，，則，因為當時，單調(diào)遞減，所以，又函數(shù)滿足，所以，所以，即.故選：D.11、B【解題分析】

根據(jù)莖葉圖的數(shù)據(jù)，結(jié)合眾數(shù)與中位數(shù)的概念，即可求解，得到答案.【題目詳解】根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，可得眾數(shù)是數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，即眾數(shù)為，又由中位數(shù)的定義，可得數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，故選B.【題目點撥】本題主要考查了莖葉圖的應(yīng)用，其中解答中正確讀取莖葉圖的數(shù)據(jù)，以及熟記眾數(shù)、中位數(shù)的概念是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解題分析】方程，可化簡為：，即.整理得，表示圓心為(0,，半徑為的圓.故選B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)即可求解?！绢}目詳解】根據(jù)矩陣對向量的變換可得故答案為：【題目點撥】本題考查向量經(jīng)矩陣變換后的向量求法，關(guān)鍵掌握住變換的運算法則。14、【解題分析】

設(shè)出邊長，利用余弦定理可找出關(guān)系式，化為二次函數(shù)用配方法即可得到最小值.【題目詳解】設(shè)，則，設(shè)，通過余弦定理可得：，即，化簡整理得，要使AC最短，則使AB最長，故當時，AB最長，故答案為.【題目點撥】本題主要考查函數(shù)的實際應(yīng)用，意在考查學(xué)生的分析能力及計算能力，難度不大.15、【解題分析】

先求出拋物線的焦點坐標，根據(jù)定義把p到準線的距離轉(zhuǎn)化為p到焦點的距離，再由拋物線的定義可得d＝|PF|+|PA|≥|AF|，再求出|AF|的值．【題目詳解】解：∵拋物線y2＝4x，∴F（1，0），如圖：設(shè)p在準線上的射影A″，依拋物線的定義知P到該拋物線準線的距離為|PA″|＝|PF|，則點P到點A（0，2）的距離與P到該拋物線準線的距離之和d＝|PF|+|PA|≥|AF|＝．故答案為：．【題目點撥】本題考查拋物線定義的轉(zhuǎn)化，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化的思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】分析：根據(jù)題意，先求出a的值，再利用展開式的通項公式求出對應(yīng)項.詳解：的展開式中各項系數(shù)之和為0,令，則，解得.的展開式中通項公式為，令時，展開式中含的項為.故答案為：.點睛：求二項展開式中的特定項，一般是利用通項公式進行，化簡通項公式后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項時，指數(shù)為零；求有理項時，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項數(shù)k＋1，代回通項公式即可．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）1；（2）①，②證明見解析.【解題分析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系當，求出單調(diào)遞增區(qū)間，當，求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，進而可求出最大值.（2）①求出對恒成立，化為對恒成立，記，討論值，求出的最小值即可證出；②由題意可得，即，兩邊取對數(shù)可得，下面采用分析法即可證出.【題目詳解】（1）時，時，，在上單調(diào)遞增時，，在上單調(diào)遞減（2）由①在R上單調(diào)遞減，對恒成立，即對恒成立，記，則對恒成立，當時，，符題當時，時，，在上單調(diào)遞減時，，在上單調(diào)遞增；當時，時，，在上單調(diào)遞減時，，在上單調(diào)遞增；綜上：②當時，在上單調(diào)遞減，，，，.要證，即證下面證明令，，則，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，得證【題目點撥】本題考查了導(dǎo)函數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，分析法證明不等式，考查了分類討論的思想，綜合性比較強，屬于難題.18、(1);(2)．【解題分析】

由已知函數(shù)的定義域均為,且.(1)函數(shù),因f(x)在上為減函數(shù)，故在上恒成立．所以當時，．又，故當，即時，．所以于是，故a的最小值為．(2)命題“若使成立”等價于“當時，有”．由（1），當時，，．問題等價于：“當時，有”．當時，由（1），在上為減函數(shù)，則=，故．當時，由于在上為增函數(shù)，故的值域為，即．由的單調(diào)性和值域知，唯一，使，且滿足：當時，，為減函數(shù)；當時，，為增函數(shù)；所以，=，．所以，，與矛盾，不合題意．綜上，得．考點：1.導(dǎo)數(shù)公式；2.函數(shù)的單調(diào)性；3.恒成立問題；4.函數(shù)的最值以及命題的等價變換.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）分別在、、三種情況下去掉絕對值，得到不等式，解不等式求得結(jié)果；（Ⅱ）將方程變?yōu)?，分類討論得到的圖象，通過數(shù)形結(jié)合求得取值范圍.【題目詳解】（Ⅰ）當時，，可得：當時，，解得：當時，，則無解綜上所述：不等式的解集為：（Ⅱ）由方程可變形為：令，則作出函數(shù)的圖象如下圖所示：結(jié)合圖象可知：，又，【題目點撥】本題考查絕對值不等式的求解、根據(jù)方程根的個數(shù)求解參數(shù)范圍的問題，關(guān)鍵是能夠?qū)⒎匠谈鶄€數(shù)問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)交點的個數(shù)問題，通過數(shù)形結(jié)合的方式來進行求解.20、(Ⅰ)切線方程為y=0；(Ⅱ)證明見解析【解題分析】

（Ⅰ）求出當k=2時的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點，由直線的點斜式方程，可得切線方程；（Ⅱ）由題意存在兩個極值點,,求導(dǎo)令導(dǎo)函數(shù)得0可得,，將之代入轉(zhuǎn)化成證明，再由函數(shù)的單調(diào)性即可證明.【題目詳解】(Ⅰ)當k=2時,,即有f(1)=0，所以,f′(1)=0.所以切線方程為y=0；(Ⅱ)因為，存在兩個極值點,,所以,是的根，設(shè)>，,所以,，，解得，因為，因為，，，即證，即證又，則轉(zhuǎn)化為，即證，由(Ⅰ)可知,當k=2時,,在（0，+∞）單調(diào)遞減，而，因為，，即恒成立，故得證.【題目點撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式恒成立，證明不等式恒成立通常運用轉(zhuǎn)化思想，本題將不等式轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)求單調(diào)性，在利用導(dǎo)數(shù)單調(diào)性進行證明，屬于難題.21、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）過作垂線，垂足為，由得，．又，可得平面，即可證明．（Ⅱ）易得到平面距離等于到平面距離．過作垂線，垂足為，在中，過作垂線，垂足為，可證得：平面．求得：，從而，即