2024屆廣東省-北京師范大學東莞石竹附屬學校高二數(shù)學第二學期期末學業(yè)水平測試試題含解析

2024屆廣東省-北京師范大學東莞石竹附屬學校高二數(shù)學第二學期期末學業(yè)水平測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（2-x）（2x+1）6的展開式中x4的系數(shù)為（）A． B．320 C．480 D．6402．設袋中有大小相同的80個紅球、20個白球，若從袋中任取10個球，則其中恰有6個紅球的概率為（）A． B． C． D．3．如圖，四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個大正方形，已知小正方形的外接圓恰好是大正方形的內(nèi)切圓，現(xiàn)在大正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率為（）A． B． C． D．4．若，則（）A． B． C． D．5．二維空間中圓的一維測度（周長），二維測度（面積），觀察發(fā)現(xiàn)；三維空間中球的二維測度（表面積），三維測度（體積），觀察發(fā)現(xiàn).則由四維空間中“超球”的三維測度，猜想其四維測度（）A． B． C． D．6．若一個直三棱柱的所有棱長都為1，且其頂點都在一個球面上，則該球的表面積為（）．A． B． C． D．7．如圖所示的五個區(qū)域中，中心區(qū)域是一幅圖畫，現(xiàn)要求在其余四個區(qū)域中涂色，有四種顏色可供選擇.要求每個區(qū)域只涂一種顏色且相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為（）A．56 B．72 C．64 D．848．函數(shù)在上有唯一零點，則的取值范圍為A． B． C． D．9．函數(shù)在處的切線斜率為（）A．1 B． C． D．10．小趙、小錢、小孫、小李到個景點旅游，每人只去一個景點，設事件“個人去的景點彼此互不相同”，事件“小趙獨自去一個景點”，則（）A． B． C． D．11．函數(shù)在點處的切線方程為（）A． B．C． D．12．（）A．9 B．12 C．15 D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在展開式中，常數(shù)項為_____________.（用數(shù)字作答）14．某班有名學生,其中人選修課程,另外人選修課程,從該班中任選兩名學生,他們選修不同課程的概率是__________.15．設直線（為參數(shù)），曲線（為參數(shù)），直線與曲線交于兩點，則__________.16．已知為偶函數(shù)，當時，，則曲線在點處的切線方程是__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）定義：在等式中，把，，，…，叫做三項式的次系數(shù)列(如三項式的1次系數(shù)列是1，1，1).(1)填空：三項式的2次系數(shù)列是_______________；三項式的3次系數(shù)列是_______________；(2)由楊輝三角數(shù)陣表可以得到二項式系數(shù)的性質(zhì),類似的請用三項式次系數(shù)列中的系數(shù)表示(無須證明)；(3)求的值.18．（12分）現(xiàn)對某市工薪階層關于“樓市限購令”的態(tài)度進行調(diào)查，隨機抽調(diào)了人，他們月收入的頻數(shù)分布及對“樓市限購令”贊成人數(shù)如下表.月收入（單位百元）頻數(shù)贊成人數(shù)（1）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填下面列聯(lián)表，并問是否有的把握認為“月收入以元為分界點對“樓市限購令”的態(tài)度有差異；月收入不低于百元的人數(shù)月收入低于百元的人數(shù)合計贊成__________________________________________不贊成__________________________________________合計__________________________________________（2）若對在、的被調(diào)查者中各隨機選取兩人進行追蹤調(diào)查，記選中的人中不贊成“樓市限購令”的人數(shù)為，求隨機變量的分布列及數(shù)學期望.參考公式：，其中.參考值表：19．（12分）如圖所示，橢圓，、，為橢圓的左、右頂點．設為橢圓的左焦點，證明:當且僅當橢圓上的點在橢圓的左、右頂點時，取得最小值與最大值．若橢圓上的點到焦點距離的最大值為，最小值為，求橢圓的標準方程．若直線與中所述橢圓相交于、兩點（、不是左、右頂點），且滿足，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標．20．（12分）已知點P(2,2),圓，過點P的動直線l與圓C交于A,B兩點,線段AB的中點為M,O為坐標原點.(1)求點M的軌跡方程;(2)當|OP|=|OM|時,求l的方程及△POM的面積.21．（12分）已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程為．（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．22．（10分）已知命題p：函數(shù)f(x)＝x2－2mx＋4在[2，＋∞)上單調(diào)遞增，命題q：關于x的不等式mx2＋4(m－2)x＋4>0的解集為R.若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求m的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】，展開通項，所以時，；時，，所以的系數(shù)為，故選B．點睛：本題考查二項式定理．本題中，首先將式子展開得，再利用二項式的展開通項分別求得對應的系數(shù)，則得到問題所要求的的系數(shù)．2、D【解題分析】本題是一個古典概型，∵袋中有80個紅球20個白球，若從袋中任取10個球共有種不同取法，而滿足條件的事件是其中恰有6個紅球，共有種取法，由古典概型公式得到P=，本題選擇B選項.點睛：有關古典概型的概率問題，關鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)．(1)基本事件總數(shù)較少時，用列舉法把所有基本事件一一列出時，要做到不重復、不遺漏，可借助“樹狀圖”列舉．(2)注意區(qū)分排列與組合，以及計數(shù)原理的正確使用.3、B【解題分析】分析：設大正方形的邊長為1，其內(nèi)切圓的直徑為1，則小正方形的邊長為，從而陰影部分的面積為，由此利用幾何概型能求出在大正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率.詳解：設大正方形的邊長為1，其內(nèi)切圓的直徑為1，則小正方形的邊長為，所以大正方形的面積為1，圓的面積為，小正方形的面積為，則陰影部分的面積為，所以在大正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率.點睛：本題主要考查了面積比的幾何概型及其概率的計算問題，其中根據(jù)題意，準確求解陰影部分的面積是解答本題的關鍵，著重考查了推理與運算能力，以及函數(shù)與方程思想的應用，屬于基礎題.4、D【解題分析】

結合函數(shù)、不等式及絕對值含義判斷即可【題目詳解】對，若，則，但推不出，故錯；對，若，設，則函數(shù)為增函數(shù)，則，故錯；對，若，但推不出，故錯誤；對，設，則函數(shù)為增函數(shù)，當時，，則，故正確；故選：D【題目點撥】本題考查由指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)及絕對值的含義比大小，屬于基礎題5、A【解題分析】

因為，，由此類比可得，，從而可得到結果.【題目詳解】因為二維空間中圓的一維測度（周長），二維測度（面積），觀察發(fā)現(xiàn)；三維空間中球的二維測度（表面積），三維測度（體積），觀察發(fā)現(xiàn).所以由四維空間中“超球”的三維測度，猜想其四為測度W，應滿足，又因為，所以，故選A.【題目點撥】本題主要考查類比推理以及導數(shù)的計算.6、B【解題分析】

根據(jù)題意畫出其立體圖形.設此直三棱柱兩底面的中心分別為,則球心為線段的中點,利用勾股定理求出球的半徑,即可求得該球的表面積．【題目詳解】畫出其立體圖形:直三棱柱的所有棱長都為1,且每個頂點都在球的球面上，設此直三棱柱兩底面的中心分別為,則球心為線段的中點，設球的半徑為，在中是其外接圓半徑,由正弦定理可得:,,即在中∴球的表面積.故選:B.【題目點撥】本題主要考查空間幾何體中位置關系、球和正棱柱的性質(zhì).解決本題的關鍵在于能想象出空間圖形,并能準確的判斷其外接球的球心就是上下底面中心連線的中點．7、D【解題分析】分析：每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，然后分類研究，A、C不同色和A、C同色兩大類.詳解：分兩種情況：（1）A、C不同色（注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不與A、C同色，所以D可以從剩余的2中顏色中任意取一色）：有4×3×2×2=48種；（2）A、C同色（注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不與A、C同色，所以D可以從剩余的3中顏色中任意取一色）：有4×3×1×3=36種．共有84種，故答案為：D.點睛：(1)本題主要考查排列組合的綜合問題，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)排列組合常用方法有一般問題直接法、相鄰問題捆綁法、不相鄰問題插空法、特殊對象優(yōu)先法、等概率問題縮倍法、至少問題間接法、復雜問題分類法、小數(shù)問題列舉法.8、C【解題分析】分析：函數(shù)有唯一零點，則即可詳解：函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，且在上有唯一零點，故，解得故選點睛：函數(shù)為一次函數(shù)其單調(diào)性一致，不用分類討論，為滿足有唯一零點列出關于參量的不等式即可求解。9、B【解題分析】

先對函數(shù)求導，然后代入切點的橫坐標，即可求得本題答案.【題目詳解】由，得，所以切線斜率.故選：B【題目點撥】本題主要考查在曲線上一點的切線斜率，屬基礎題.10、D【解題分析】分析：這是求小趙獨自去一個景點的前提下，4

個人去的景點不相同的概率，求出相應基本事件的個數(shù)，即可得出結論．詳解：小趙獨自去一個景點，則有3個景點可選，其余3人只能在小趙剩下的3個景點中選擇，可能性為種

所以小趙獨自去一個景點的可能性為種

因為4

個人去的景點不相同的可能性為種，

所以．

故選：D．點睛：本題考查條件概率，考查學生的計算能力，確定基本事件的個數(shù)是關鍵．11、B【解題分析】

首先求出函數(shù)在點處的導數(shù)，也就是切線的斜率，再利用點斜式求出切線方程．．【題目詳解】∵，∴切線斜率，又∵，∴切點為，∴切線方程為，即．故選B．【題目點撥】本題考查導數(shù)的幾何意義，屬于基礎題.12、A【解題分析】分析：直接利用排列組合的公式計算.詳解：由題得.故答案為A.點睛：（1）本題主要考查排列組合的計算，意在考查學生對這些基礎知識的掌握水平和基本的運算能力.(2)排列數(shù)公式：==(，∈，且)．組合數(shù)公式：===(∈，，且)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

求出展開式的通項，利用的指數(shù)為零求出參數(shù)的值，再將參數(shù)代入通項即可得出展開式中常數(shù)項的值.【題目詳解】展開式的通項為.令，解得.因此，展開式中的常數(shù)項為.故答案為：.【題目點撥】本題考查二項展開式中常數(shù)項的計算，一般利用展開式通項來求解，考查計算能力，屬于基礎題.14、【解題分析】

先計算出總的方法數(shù)，然后在每類選科人中各選一人，利用分步計算原理計算得方法數(shù)，根據(jù)古典概型概率計算公式計算出所求概率.【題目詳解】∵該班有名學生則從班級中任選兩名學生共有種不同的選法又∵15人選修課程,另外35人選修課程∴他們是選修不同課程的學生的情況有:故從班級中任選兩名學生,他們是選修不同課程的學生的概率.【題目點撥】本小題主要考查古典概型的計算，考查分步乘法計數(shù)原理，屬于基礎題.15、【解題分析】試題分析：由題意得，曲線的普通方程為，直線的直角坐標方程為，所以圓心到直線的距離為，所以直線與曲線交于．考點：直線與圓的位置的弦長的計算．16、【解題分析】試題分析：當時，，則．又因為為偶函數(shù)，所以，所以，則切線斜率為，所以切線方程為，即．【考點】函數(shù)的奇偶性與解析式，導數(shù)的幾何意義．【知識拓展】本題題型可歸納為“已知當時，函數(shù)，則當時，求函數(shù)的解析式”．有如下結論：若函數(shù)為偶函數(shù)，則當時，函數(shù)的解析式為；若為奇函數(shù)，則函數(shù)的解析式為．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）（3）50【解題分析】【試題分析】（1）分別將，把展開進行計算即三項式的次系數(shù)列是三項式的次系數(shù)列是；（2）運用類比思維的思想可得；（3）由題設中的定義可知表示展開式中的系數(shù)，因此可求出．解：（1）三項式的次系數(shù)列是三項式的次系數(shù)列是；（2）；（3）表示展開式中的系數(shù)，所以．18、（1）列聯(lián)表見解析，沒有的把握認為月收入以元為分界點對“樓市限購令”的態(tài)度有差異；（2），分布列見解析.【解題分析】

（1）根據(jù)題干表格中的數(shù)據(jù)補充列聯(lián)表，并計算出的觀測值，將觀測值與作大小比較，于此可對題中結論進行判斷；（2）由題意得出隨機變量的可能取值有、、、，然后利用超幾何分布概率公式計算出隨機變量在相應取值時的概率，可得出隨機變量的分布列，并計算出該隨機變量的數(shù)學期望.【題目詳解】（1）列聯(lián)表：月收入不低于百元的人數(shù)月收入低于百元的人數(shù)合計贊成_____________________________________不贊成_______________________________________合計___________________________________則沒有的把握認為月收入以元為分界點對“樓市限購令”的態(tài)度有差異；（2）的所有可能取值有：、、、.，，，.則的分布列如下表：則的期望值是：.【題目點撥】本題考查獨立性檢驗以及隨機變量分布列與數(shù)學期望的計算，解題時要弄清楚隨機變量所滿足的分布列類型，再結合相應的概率公式計算即可，考查分析問題與計算能力，屬于中等題.19、見解析；；見解析，.【解題分析】

設點的坐標為，令，由點在橢圓上，得，則，代入式子，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和的取值范圍，求出函數(shù)的最值以及對應的的取值，即可求證；由已知與，得，，解得，，再由求出，進而求出橢圓的標準方程；假設存在滿足條件的直線，設，，聯(lián)立直線方程和橢圓方程進行整理，化簡出一元二次方程，再利用韋達定理列出方程組，根據(jù)題意得,代入列出關于的方程，進行化簡求解.【題目詳解】設點的坐標為，令．由點在橢圓上，得，則，代入，得，其對稱軸方程為，由題意，知恒成立，在區(qū)間上單調(diào)遞增．當且僅當橢圓上的點在橢圓的左、右頂點時，取得最小值與最大值．由已知與，得，，，．．橢圓的標準方程為．如圖所示，設，，聯(lián)立，得，則則橢圓的右頂點為，，，，即．．，解得，，且均滿足．當時，l的方程為直線過定點，與已知矛盾．當時，l的方程為直線過定點，滿足題意，直線l過定點，定點坐標為．【題目點撥】本題考查橢圓的方程和簡單幾何性質(zhì)，以及直線與橢圓的位置關系，同時也考查了利用構造函數(shù)的方法處理最值問題，屬于難題.20、(1)；(2)直線的方程為，的面積為.【解題分析】

求得圓的圓心和半徑.（1）當三點均不重合時，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知，是定點，所以的軌跡是以為直徑的圓（除兩點），根據(jù)圓的圓心和半徑求得的軌跡方程.當三點有重合的情形時，的坐標滿足上述求得的的軌跡方程.綜上可得的軌跡方程.（2）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)（垂徑定理），求得直線的斜率，進而求得直線的方程.根據(jù)等腰三角形的幾何性質(zhì)求得的面積.【題目詳解】圓，故圓心為，半徑為.(1)當C,M,P三點均不重合時,∠CMP=90°,所以點M的軌跡是以線段PC為直徑的圓(除去點P,C),線段中點為，，故的軌跡方程為(x-1)2+(y-3)2=2(x≠2,且y≠2或x≠0,且y≠4).當C,M,P三點中有重合的情形時,易求得點M的坐標為(2,2)或(0,4).綜上可知,點M的軌跡是一個圓,軌跡方程為(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知點M的軌跡是以點N(1,3)為圓心，為半徑的圓.由于|OP|=|OM|,故O在線段PM的垂直平分線上.又P在圓N上,從而ON⊥PM.因為ON的斜率為3,所以的斜率為，故的方程為，即.又易得|OM|=|OP|=，點O到的距離為，，所以△P