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2024屆吉林省四平市公主嶺市第五高級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測(cè)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.的外接圓的圓心為,,,則等于()A. B. C. D.2.的展開式中有理項(xiàng)系數(shù)之和為()A. B. C. D.3.某公司從甲、乙、丙、丁四名員工中安排了一名員工出國(guó)研學(xué).有人詢問了四名員工,甲說:“好像是乙或丙去了.”乙說:“甲、丙都沒去.”丙說:“是丁去了.”丁說:“丙說的不對(duì).”若四名員工中只有一個(gè)人說的對(duì),則出國(guó)研學(xué)的員工是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁4.函數(shù),則在點(diǎn)處的切線方程為()A. B. C. D.5.已知定義在上的函數(shù)在上單調(diào)遞減,且是偶函數(shù),不等式對(duì)任意的恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.6.《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問題:今有竹九節(jié),欲均減容之(其意為:使容量均勻遞減),上三節(jié)容四升,下三節(jié)容二升,中三節(jié)容幾何?()A.二升 B.三升 C.四升 D.五升7.函數(shù)有()A.最大值為1 B.最小值為1C.最大值為 D.最小值為8.若函數(shù)在上有最大值無最小值,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.9.已知扇形的圓心角為弧度,半徑為,則扇形的面積是()A. B. C. D.10.已知與之間的一組數(shù)據(jù),則與的線性回歸方程必過點(diǎn)()A. B. C. D.11.有一項(xiàng)活動(dòng),在4名男生和3名女生中選2人參加,必須有男生參加的選法有()種.A.18 B.20 C.24 D.3012.已知復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.己知函數(shù),則不等式的解集是_______.14.冪函數(shù)的圖像過點(diǎn),則的減區(qū)間為__________.15.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為,過點(diǎn)的直線交雙曲線右支于兩點(diǎn),若是以為直角頂點(diǎn)的等腰三角形,則的面積為__________.16.若圓錐的側(cè)面積為,底面積為,則該圓錐的體積為____________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)四個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)盒子中.(1)若每個(gè)盒子放一個(gè)球,則共有多少種不同的放法?(2)恰有一個(gè)空盒的放法共有多少種?18.(12分)已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí),求曲線在處的切線方程;(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.19.(12分)如圖,某軍艦艇位于島的的正西方處,且與島的相距12海里.經(jīng)過偵察發(fā)現(xiàn),國(guó)際海盜船以10海里/小時(shí)的速度從島嶼出發(fā)沿北偏東30°方向逃竄,同時(shí),該軍艦艇從處出發(fā)沿北偏東的方向勻速追趕國(guó)際海盜船,恰好用2小時(shí)追上.(1)求該軍艦艇的速度.(2)求的值.20.(12分)已知函數(shù)f(x)=alnx+(a∈R).(1)當(dāng)a=1時(shí),求f(x)在x∈[1,+∞)內(nèi)的最小值;(2)若f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,求a的取值范圍;(3)求證ln(n+1)>(n∈N*).21.(12分)如圖,多面體中,兩兩垂直,且,,,.(Ⅰ)若點(diǎn)在線段上,且,求證:平面;(Ⅱ)求直線與平面所成的角的正弦值;(Ⅲ)求銳二面角的余弦值.22.(10分)已知復(fù)數(shù),i為虛數(shù)單位.(1)求;(2)若復(fù)數(shù)z滿足,求的最大值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】
,選C2、B【解題分析】分析:在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中,令x的冪指數(shù)為整數(shù),求出r的值,再利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),即可求得展開式中有理項(xiàng)系數(shù)之和.詳解:(1+)6的展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=?,令為整數(shù),可得r=0,2,4,6,故展開式中有理項(xiàng)系數(shù)之和為+++=25=32,故選:B.點(diǎn)睛:求二項(xiàng)展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第r+1項(xiàng),再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出r值即可.(2)已知展開式的某項(xiàng),求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng),再由通項(xiàng)寫出第r+1項(xiàng),由特定項(xiàng)得出r值,最后求出其參數(shù)3、A【解題分析】
逐一假設(shè)成立,分析,可推出?!绢}目詳解】若乙去,則甲、乙、丁都說的對(duì),不符合題意;若丙去,則甲、丁都說的對(duì),不符合題意;若丁去,則乙、丙都說的對(duì),不符合題意;若甲去,則甲、乙、丙都說的不對(duì),丁說的對(duì),符合題意.故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查合情推理,屬于基礎(chǔ)題。4、A【解題分析】分析:先求導(dǎo)數(shù),根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率,再根據(jù)點(diǎn)斜式求切線方程.詳解:因?yàn)?,所以所以切線方程為選A.點(diǎn)睛:求曲線的切線要注意“過點(diǎn)P的切線”與“在點(diǎn)P處的切線”的差異,過點(diǎn)P的切線中,點(diǎn)P不一定是切點(diǎn),點(diǎn)P也不一定在已知曲線上,而在點(diǎn)P處的切線,必以點(diǎn)P為切點(diǎn).5、A【解題分析】
根據(jù)是偶函數(shù)可以得出函數(shù)的對(duì)稱軸,再根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞減可以得出函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間,從而解出不等式對(duì)任意的恒成立時(shí)的取值范圍.【題目詳解】是偶函數(shù),所以得出函數(shù)的對(duì)稱軸為,又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減,所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)?,所以.因?yàn)椴坏仁綄?duì)任意的恒成立,所以.選擇A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)的對(duì)稱軸和奇偶性的綜合問題,在解決此類題目時(shí)要搞清楚每一個(gè)條件能得出什么結(jié)論,把這些結(jié)論綜合起來即得出結(jié)果.屬于較難的題目.6、B【解題分析】
由題意可得,上、中、下三節(jié)的容量成等差數(shù)列.再利用等差數(shù)列的性質(zhì),求出中三節(jié)容量,即可得到答案.【題目詳解】由題意,上、中、下三節(jié)的容量成等差數(shù)列,上三節(jié)容四升,下三節(jié)容二升,則中三節(jié)容量為,故選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用,其中解答中熟記等差數(shù)列的等差中項(xiàng)公式是解答的關(guān)鍵,著重考查了運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解題分析】
對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),判斷出函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而判斷出函數(shù)的最值情況.【題目詳解】解:,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,有最大值為,故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值問題,對(duì)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性的判斷是解題的關(guān)鍵.8、C【解題分析】
分析:函數(shù)在上有最大值無最小值,則極大值在之間,一階導(dǎo)函數(shù)有根在,且左側(cè)函數(shù)值小于1,右側(cè)函數(shù)值大于1,列不等式求解詳解:f′(x)=3ax2+4x+1,x∈(1,2).a(chǎn)=1時(shí),f′(x)=4x+1>1,函數(shù)f(x)在x∈(1,2)內(nèi)單調(diào)遞增,無極值,舍去.a(chǎn)≠1時(shí),△=16﹣12a.由△≤1,解得,此時(shí)f′(x)≥1,函數(shù)f(x)在x∈(1,2)內(nèi)單調(diào)遞增,無極值,舍去.由△>1,解得a(a≠1),由f′(x)=1,解得x1,x2.當(dāng)時(shí),x1<1,x2<1,因此f′(x)≥1,函數(shù)f(x)在x∈(1,2)內(nèi)單調(diào)遞增,無極值,舍去.當(dāng)a<1時(shí),x1>1,x2<1,∵函數(shù)f(x)=ax3+2x2+x+1在(1,2)上有最大值無最小值,∴必然有f′(x1)=1,∴12,a<1.解得:a.綜上可得:a.故選:C.點(diǎn)睛:極值轉(zhuǎn)化為最值的性質(zhì):1、若上有唯一的極小值,且無極大值,那么極小值為的最小值;2、若上有唯一的極大值,且無極小值,那么極大值為的最大值;9、D【解題分析】
利用扇形面積公式(為扇形的圓心角的弧度數(shù),為扇形的半徑),可計(jì)算出扇形的面積.【題目詳解】由題意可知,扇形的面積為,故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查扇形面積的計(jì)算,意在考查扇形公式的理解與應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解題分析】
計(jì)算出和,即可得出回歸直線必過的點(diǎn)的坐標(biāo).【題目詳解】由題意可得,,因此,回歸直線必過點(diǎn),故選:C.【題目點(diǎn)撥】本題考查回歸直線必過的點(diǎn)的坐標(biāo),解題時(shí)要熟悉“回歸直線過樣本中心點(diǎn)”這一結(jié)論的應(yīng)用,考查結(jié)論的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解題分析】
分類:(1)人中有人是男生;(2)人都是男生.【題目詳解】若人中有人是男生,則有種;若人都是男生,則有種;則共有種選法.【題目點(diǎn)撥】排列組合中,首先對(duì)于兩個(gè)基本原理:分類加法、分步乘法,要能充分理解,它是后面解答排列組合綜合問題的基礎(chǔ).12、C【解題分析】
,,故選C.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解題分析】
根據(jù)題意,分析可得函數(shù)f(x)=x2(2x﹣2﹣x)為奇函數(shù)且在R上是增函數(shù),則不等式f(2x+1)+f(1)0可以轉(zhuǎn)化為2x+1﹣1,解可得x的取值范圍,即可得答案.【題目詳解】根據(jù)題意,對(duì)于函數(shù)f(x)=x2(2x﹣2﹣x),有f(﹣x)=(﹣x)2(2﹣x﹣2x)=﹣x2(2x﹣2﹣x)=﹣f(x),則函數(shù)f(x)為奇函數(shù),函數(shù)f(x)=x2(2x﹣2﹣x),其導(dǎo)數(shù)f′(x)=2x(2x﹣2﹣x)+x2?ln2(2x+2﹣x)>0,則f(x)為增函數(shù);不等式f(2x+1)+f(1)0?f(2x+1)﹣f(1)?f(2x+1)f(﹣1)?2x+1﹣1,解可得x﹣1;即f(2x+1)+f(1)0的解集是[﹣1,+∞);故答案為[﹣1,+∞).【題目點(diǎn)撥】本題主要考查不等式的求解,利用條件判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,以及利用奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵.14、【解題分析】
設(shè)冪函數(shù)的解析式為,代入點(diǎn),得到的值,得到的解析式和定義域,再寫出的解析式,研究其定義域和單調(diào)區(qū)間,從而求出的減區(qū)間.【題目詳解】設(shè)冪函數(shù)的解析式為代入點(diǎn),得,所以所以冪函數(shù)為,定義域?yàn)椋裕瑒t需要即其定義域?yàn)榛?,而的?duì)稱軸為所以其單調(diào)減區(qū)間為所以的減區(qū)間為.【題目點(diǎn)撥】本題考查求冪函數(shù)的解析式,求具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,屬于簡(jiǎn)單題.15、【解題分析】設(shè),根據(jù)雙曲線的定義,有,即.,,故三角形面積為.點(diǎn)睛:本題主要考查雙曲線的定義,考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法和化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.解答直線與圓錐曲線位置關(guān)系題目時(shí),首先根據(jù)題意畫出曲線的圖像,然后結(jié)合圓錐曲線的定義和題目所給已知條件來求解.利用題目所給等腰直角三角形,結(jié)合定義可求得直角三角形的邊長(zhǎng),由此求得面積.16、【解題分析】試題分析:因?yàn)?,圓錐的側(cè)面積為,底面積為,所以,解得,,所以,該圓錐的體積為.考點(diǎn):圓錐的幾何特征點(diǎn)評(píng):簡(jiǎn)單題,圓錐之中,要弄清r,h,l之間的關(guān)系,熟練掌握面積、體積計(jì)算公式.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)24;(2)144.【解題分析】分析:(1)直接把4個(gè)球全排列即得共有多少種不同的放法.(2)利用乘法分步原理解答.詳解:(1)每個(gè)盒子放一個(gè)球,共有=24種不同的放法.(2)先選后排,分三步完成:第一步:四個(gè)盒子中選一只為空盒,有4種選法;第二步:選兩球?yàn)橐粋€(gè)元素,有種選法;第三步:三個(gè)元素放入三個(gè)盒中,有種放法.故共有4×6×6=144種放法.點(diǎn)睛:(1)本題主要考查計(jì)數(shù)原理和排列組合的綜合應(yīng)用,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)排列組合常用解法有一般問題直接法、相鄰問題捆綁法、不相鄰問題插空法、特殊對(duì)象優(yōu)先法、等概率問題縮倍法、至少問題間接法、復(fù)雜問題分類法、小數(shù)問題列舉法.18、(1)(2)見解析【解題分析】
(1)利用解析式求出切點(diǎn)坐標(biāo),再利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率,從而得到切線方程;(2)求導(dǎo)后可知導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)由的符號(hào)決定;分別在,和三種情況下討論的正負(fù),從而得到導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),進(jìn)而確定的單調(diào)區(qū)間;在討論時(shí)要注意的定義域與的根的大小關(guān)系.【題目詳解】當(dāng)時(shí),,則又,所以在處的切線方程為,即(2)由函數(shù),得:當(dāng)時(shí),又函數(shù)的定義域?yàn)樗缘膯握{(diào)遞減區(qū)間為當(dāng)時(shí),令,即,解得:當(dāng)時(shí),所以變化情況如下表:極小值所以的單調(diào)遞減區(qū)間為,;單調(diào)遞增區(qū)間為當(dāng)時(shí),所以變化情況如下表:極大值所以的單調(diào)遞增區(qū)間為;單調(diào)遞減區(qū)間為,【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線方程、討論含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性問題;解決含參函數(shù)單調(diào)性問題的關(guān)鍵是對(duì)于影響導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的式子的討論;本題的易錯(cuò)點(diǎn)是在討論過程中忽略最高次項(xiàng)系數(shù)為零的情況和函數(shù)的定義域的影響.19、(1)14海里/小時(shí);(2).【解題分析】分析:(1)由題設(shè)可以得到的長(zhǎng),在中利用余弦定理可以得到的長(zhǎng),從而得到艦艇的速度;(2)在中利用正弦定理可得的值.詳解:(1)依題意知,,,在中,由余弦定理得,解得,所以該軍艦艇的速度為海里/小時(shí).(2)在中,由正弦定理,得,即.點(diǎn)睛:與解三角形相關(guān)的實(shí)際問題中,我們常常碰到方位角、俯角、仰角等,注意它們的差別.另外,把實(shí)際問題抽象為解三角形問題時(shí),注意分析三角形的哪些量是已知的,要求的哪些量,這樣才能確定用什么定理去解決.20、(1)最小值為f(1)=1.(2)a<.(3)見解析【解題分析】試題分析:(1)可先求f′(x),從而判斷f(x)在x∈[1,+∞)上的單調(diào)性,利用其單調(diào)性求f(x)在x∈[1,+∞)最小值;(2)求h′(x),可得,若f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,需h′(x)<0有正數(shù)解.從而轉(zhuǎn)化為:有x>0的解.通過對(duì)a分a=0,a<0與當(dāng)a>0三種情況討論解得a的取值范圍;(3)可用數(shù)學(xué)歸納法予以證明.當(dāng)n=1時(shí),ln(n+1)=ln2,3ln2=ln8>1?,即時(shí)命題成立;設(shè)當(dāng)n=k時(shí),命題成立,即成立,再去證明n=k+1時(shí),成立即可(需用好歸納假設(shè)).試題解析:(1),定義域?yàn)椋谏鲜窃龊瘮?shù)..(2)因?yàn)橐驗(yàn)槿舸嬖趩握{(diào)遞減區(qū)間,所以有正數(shù)解.即有的解當(dāng)時(shí),明顯成立.②當(dāng)時(shí),開口向下的拋物線,總有的解;③當(dāng)時(shí),開口向上的拋物線,即方程有正根.因?yàn)?,所以方程有兩正根.?dāng)時(shí),;,解得.綜合①②③知:.或:有的解即有的解,即有的解,的最大值,(3)(法一)根據(jù)(Ⅰ)的結(jié)論,當(dāng)時(shí),,即.令,則有,.,.(法二)當(dāng)時(shí),.,,即時(shí)命題成立.設(shè)當(dāng)時(shí),命題成立,即.時(shí),.根據(jù)(Ⅰ)的結(jié)論,當(dāng)時(shí),,即.令,則有,則有,即時(shí)命題也成立.因此,由數(shù)學(xué)歸納法可知不等式成立.考點(diǎn):1.利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值;2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
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