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2024屆甘肅省天水市清水縣第六中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末統(tǒng)考模擬試題考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.x>2是x2A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.已知的展開式中的系數(shù)為5,則()A.4 B.3 C.2 D.-13.已知的最小正周期是,將圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得的函數(shù)圖象過點(diǎn),則()A.在區(qū)間上單調(diào)遞減 B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.在區(qū)間上單調(diào)遞減 D.在區(qū)間上單調(diào)遞增4.若隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,則的值是()A. B. C. D.5.若“直線與圓相交”,“”;則是()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,其體積為()A. B. C. D.7.已知函數(shù)(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),則不等式的解集為()A. B.C. D.8.如圖所示正方形,、分別是、的中點(diǎn),則向正方形內(nèi)隨機(jī)擲一點(diǎn),該點(diǎn)落在陰影部分內(nèi)的概率為()A. B. C. D.9.已知為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A. B. C. D.10.在20張百元紙幣中混有4張假幣,從中任意抽取2張,將其中一張?jiān)隍?yàn)鈔機(jī)上檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)是假幣,則這兩張都是假幣的概率是()A. B. C. D.以上都不正確11.設(shè)為兩條不同的直線,為兩個(gè)不同的平面,下列命題中正確的是()A.若,,,則 B.若,,,則C.若,,,則 D.若,,,則12.已知集合,若,則=()A.或 B.或 C.或 D.或或二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為96,則該展開式中的系數(shù)為______.(用數(shù)字填寫答案)14.下圖三角形數(shù)陣為楊輝三角:按照?qǐng)D中排列的規(guī)律,第行()從左向右的第3個(gè)數(shù)為______(用含的多項(xiàng)式表示).15.年齡在60歲(含60歲)以上的人稱為老齡人,某小區(qū)的老齡人有350人,他們的健康狀況如下表:其中健康指數(shù)的含義是:2代表“健康”,1代表“基本健康”,0代表“不健康,但生活能夠自理”,代表“生活不能自理”,按健康指數(shù)大于0和不大于0進(jìn)行分層抽樣,從該小區(qū)的老齡人中抽取5位,并隨機(jī)地訪問其中的3位,則被訪問地3位老齡人中恰有1位老齡人的健康指數(shù)不大于0的概率為___16.若變量、滿足約束條件,則的最大值為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某學(xué)校高二年級(jí)舉行了由全體學(xué)生參加的一分鐘跳繩比賽,計(jì)分規(guī)則如下表:每分鐘跳繩個(gè)數(shù)得分1617181920年級(jí)組為了解學(xué)生的體質(zhì),隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的跳繩個(gè)數(shù)作為一個(gè)樣本,繪制了如下樣本頻率分布直方圖.(1)現(xiàn)從樣本的100名學(xué)生跳繩個(gè)數(shù)中,任意抽取2人的跳繩個(gè)數(shù),求兩人得分之和小于35分的概率;(用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示)(2)若該校高二年級(jí)共有2000名學(xué)生,所有學(xué)生的一分鐘跳繩個(gè)數(shù)近似服從正態(tài)分布,其中,為樣本平均數(shù)的估計(jì)值(同一組中數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)值作代表).利用所得的正態(tài)分布模型,解決以下問題:(i)估計(jì)每分鐘跳繩164個(gè)以上的人數(shù)(結(jié)果四舍五入到整數(shù));(ii)若在全年級(jí)所有學(xué)生中隨機(jī)抽取3人,每分鐘跳繩在179個(gè)以上的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望與方差.附:若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則,,.18.(12分)從裝有大小相同的2個(gè)紅球和6個(gè)白球的袋子中,每摸出2個(gè)球?yàn)橐淮卧囼?yàn),直到摸出的球中有紅球(不放回),則實(shí)驗(yàn)結(jié)束(1)求第一次實(shí)驗(yàn)恰好摸到1個(gè)紅球和1個(gè)白球的概率;(2)記實(shí)驗(yàn)次數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.19.(12分)已知過點(diǎn)的橢圓的左右焦點(diǎn)分別為、,為橢圓上的任意一點(diǎn),且,,成等差數(shù)列.(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)直線交橢圓于,兩點(diǎn),若點(diǎn)始終在以為直徑的圓外,求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.(12分)已知函數(shù).(1)若函數(shù)在上具有單調(diào)性,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若在區(qū)間上,函數(shù)的圖象恒在圖象上方,求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.(12分)已知正實(shí)數(shù)列a1,a2,…滿足對(duì)于每個(gè)正整數(shù)k,均有,證明:(Ⅰ)a1+a2≥2;(Ⅱ)對(duì)于每個(gè)正整數(shù)n≥2,均有a1+a2+…+an≥n.22.(10分)已知函數(shù)(且)的圖象過定點(diǎn)P,且點(diǎn)P在直線(,且)上,求的最小值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】
解不等式x2【題目詳解】由x2-2x>0解得:x<0或x>2,因此,x>2是x2-2x>0的充分不必要條件,故選:【題目點(diǎn)撥】本題考查充分必要條件的判斷,一般利用集合的包含關(guān)系來判斷兩條件的充分必要性:(1)A?B,則“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件;(2)A?B,則“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件;(3)A=B,則“x∈A”是“x∈B”的充要條件。2、D【解題分析】
將化簡(jiǎn)為:分別計(jì)算的系數(shù),相加為5解得.【題目詳解】中的系數(shù)為:的系數(shù)為:的系數(shù)為:故答案選D【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)式定理的計(jì)算,分成兩種情況簡(jiǎn)化了計(jì)算.3、B【解題分析】由題設(shè),則,向左平移后可得經(jīng)過點(diǎn),即,解之得,所以,由可知函數(shù)在上單調(diào)遞增,應(yīng)選答案B。4、C【解題分析】分析:由題意結(jié)合二項(xiàng)分布數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式求解實(shí)數(shù)p的值即可.詳解:隨機(jī)變量則的數(shù)學(xué)期望,據(jù)此可知:,解得:.本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛:本題主要考查二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望公式及其應(yīng)用,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.5、B【解題分析】
直線y=x+b與圓x2+y2=1相交?1,解得b.即可判斷出結(jié)論.【題目詳解】直線y=x+b與圓x2+y2=1相交?1,解得.∴“直線y=x+b與圓x2+y2=1相交”是“0<b<1”的必要不充分條件.故選:B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了充分必要條件,直線與圓的位置關(guān)系、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.6、C【解題分析】
由三視圖還原原幾何體,可知該幾何體是直三棱柱剪去一個(gè)角,其中為等腰直角三角形,,再由棱錐體積剪去棱錐體積求解.【題目詳解】解:由三視圖還原原幾何體如圖,
該幾何體是直三棱柱剪去一個(gè)角,其中為等腰直角三角形,,
∴該幾何體的體積,
故選:C.【題目點(diǎn)撥】本題考查由三視圖求體積,關(guān)鍵是由三視圖還原幾何體,是中檔題.7、D【解題分析】
求導(dǎo)得到,函數(shù)單調(diào)遞減,故,解得答案.【題目詳解】,則恒成立,故函數(shù)單調(diào)遞減,,故,解得或.故選:.【題目點(diǎn)撥】本題考查了根據(jù)導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性解不等式,意在考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用.8、D【解題分析】
根據(jù)正方形的對(duì)稱性求得陰影部分面積占總面積的比例,由此求得所求概率.【題目詳解】根據(jù)正方形的對(duì)稱性可知,陰影部分面積占總面積的四分之一,根據(jù)幾何概型概率計(jì)算公式可知點(diǎn)落在陰影部分內(nèi)的概率為,故選D.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查幾何概型的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解題分析】因,故當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,應(yīng)選答案A。10、A【解題分析】設(shè)事件A表示“抽到的兩張都是假鈔”,事件B表示“抽到的兩張至少有一張假鈔”,則所求的概率即P(A|B).又,由公式.本題選擇A選項(xiàng).點(diǎn)睛:條件概率的求解方法:(1)利用定義,求P(A)和P(AB),則.(2)借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A),再求事件A與事件B的交事件中包含的基本事件數(shù)n(AB),得.11、C【解題分析】
通過作圖的方法,可以逐一排除錯(cuò)誤選項(xiàng).【題目詳解】如圖,相交,故A錯(cuò)誤如圖,相交,故B錯(cuò)誤D.如圖,相交,故D錯(cuò)誤故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查直線和平面之間的位置關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解題分析】或.故選C.點(diǎn)睛:1、用描述法表示集合,首先要弄清集合中代表元素的含義,再看元素元素的限制條件,明確集合的類型,是數(shù)集,是點(diǎn)集還是其它集合.2、求集合的交、交、補(bǔ)時(shí),一般先化簡(jiǎn),再由交、并、補(bǔ)的定義求解.3、在進(jìn)行集合的運(yùn)算時(shí)要盡可能地借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問題直觀化,一般地,集合元素離散時(shí)用Venn圖;集合元素連續(xù)時(shí)用數(shù)軸表示,用數(shù)軸表示時(shí)要注意端點(diǎn)值的取舍.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、11【解題分析】
先利用賦值法求得,再結(jié)合二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)公式求解即可.【題目詳解】解:令,得,則,故該展開式中的項(xiàng)的系數(shù)為,故答案為:11.【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)式展開式系數(shù)之和,重點(diǎn)考查了展開式的項(xiàng)系數(shù),屬基礎(chǔ)題.14、【解題分析】
按照如圖排列的規(guī)律,第行()從左向右的第3個(gè)數(shù)分別為,1,3,6,10,15,21,…找到規(guī)律及可求出?!绢}目詳解】按照如圖排列的規(guī)律,第行()從左向右的第3個(gè)數(shù)分別為,1,3,6,10,15,21,…由于,,,,則第行()從左向右的第3個(gè)數(shù)為。【題目點(diǎn)撥】本題考查了歸納推理的問題,關(guān)鍵找到規(guī)律,屬于基礎(chǔ)題。15、【解題分析】
先確定抽取5位中健康指數(shù)大于0和不大于0的人數(shù),再根據(jù)古典概型概率求解.【題目詳解】因?yàn)?50人中健康指數(shù)大于0和不大于0各有280,70人,所以根據(jù)分層抽樣抽取5位中健康指數(shù)大于0和不大于0的人數(shù)分別為4,1;因此被訪問地3位老齡人中恰有1位老齡人的健康指數(shù)不大于0的概率為故答案為:【題目點(diǎn)撥】本題考查分層抽樣以及古典概型概率,考查基本分析求解能力,屬基礎(chǔ)題.16、8【解題分析】
首先畫出可行域,然后確定目標(biāo)函數(shù)的最大值即可.【題目詳解】繪制不等式組表示的可行域如圖所示,結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可得目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最大值,其最大值為:.【題目點(diǎn)撥】求線性目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(ab≠0)的最值,當(dāng)b>0時(shí),直線過可行域且在y軸上截距最大時(shí),z值最大,在y軸截距最小時(shí),z值最?。划?dāng)b<0時(shí),直線過可行域且在y軸上截距最大時(shí),z值最小,在y軸上截距最小時(shí),z值最大.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)(i)1683;(ii).【解題分析】
(1)根據(jù)頻率分布直方圖得到16分,17分,18分的人數(shù),再根據(jù)古典概率的計(jì)算公式求解.(2)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望與方差的公式進(jìn)行求解.【題目詳解】(1)設(shè)“兩人得分之和小于35分”為事件,則事件包括以下四種情況:①兩人得分均為16分;②兩人中一人16分,一人17分;③兩人中一人16分,一人18分;④兩人均17分.由頻率分布直方圖可得,得16分的有6人,得17分的有12人,得18分的有18人,則由古典概型的概率計(jì)算公式可得.所以兩人得分之和小于35的概率為.(2)由頻率分布直方圖可得樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)的估計(jì)值為:(個(gè)).又由,得標(biāo)準(zhǔn)差,所以高二年級(jí)全體學(xué)生的跳繩個(gè)數(shù)近似服從正態(tài)分布.(i)因?yàn)?,所以,故高二年?jí)一分鐘跳繩個(gè)數(shù)超過164個(gè)的人數(shù)估計(jì)為(人).(ii)由正態(tài)分布可得,全年級(jí)任取一人,其每分鐘跳繩個(gè)數(shù)在179以上的概率為,所以,的所有可能的取值為0,1,2,3.所以,,,,故的分布列為:0123所以,.【題目點(diǎn)撥】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題、正態(tài)分布的應(yīng)用問題,也考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與期望的計(jì)算問題.18、(1);(2)的分布列為
1
2
3
4
【解題分析】
(I)(II);;;;X的分布列為X
1
2
3
4
P
點(diǎn)評(píng):對(duì)于古典概型的問題,主要是理解試驗(yàn)的基本事件空間,以及事件發(fā)生的基本事件空間利用比值來求解概率,結(jié)合排列組合的知識(shí)得到.而分布列的求解關(guān)鍵是對(duì)于各個(gè)概率值的求解,屬于中檔題.19、(1).(2)或.【解題分析】試題分析:(1)由題意,利用等差數(shù)列和橢圓的定義求出a、c的關(guān)系,再根據(jù)橢圓C過點(diǎn)A,求出a、b的值,即可寫出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),根據(jù)題意知x1=﹣2,y1=0;聯(lián)立方程消去y,由方程的根與系數(shù)關(guān)系求得x2、y2,由點(diǎn)A在以PQ為直徑的圓外,得∠PAQ為銳角,?>0;由此列不等式求出k的取值范圍.試題解析:(1)∵,,成等差數(shù)列,∴,由橢圓定義得,∴;又橢圓:()過點(diǎn),∴;∴,解得,;∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;(2)設(shè),,聯(lián)立方程,消去得:;依題意:恒過點(diǎn),此點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn),∴,,①由方程的根與系數(shù)關(guān)系可得,;②可得;③由①②③,解得,;由點(diǎn)在以為直徑的圓外,得為銳角,即;由,,∴;即,整理得,,解得:或.∴實(shí)數(shù)的取值范圍是或.點(diǎn)睛:在圓錐曲線中研究范圍,若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系,則可首先建立目標(biāo)函數(shù),再求這個(gè)函數(shù)的最值.在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時(shí),常從以下方面考慮:①利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系,從而確定參數(shù)的取值范圍;②利用已知參數(shù)的范圍,求新參數(shù)的范圍,解這類問題的關(guān)鍵是兩個(gè)參數(shù)之間建立等量關(guān)系;③利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍;④利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍;⑤利用函數(shù)的值域的求法,確定參數(shù)的取值范圍.20、(1)或;(2).【解題分析】
(1)求出函數(shù)圖象的對(duì)稱軸,根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求出的范圍即可;(2)問題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立,設(shè),求出函數(shù)的對(duì)稱軸,通過討論對(duì)稱軸的范圍,求出m的范圍即可.【題目詳解】(1)的對(duì)稱軸的方程為,若函數(shù)在上具有單調(diào)性,所以或,所以實(shí)數(shù)的取值范圍是或.(2)若在區(qū)間上,函數(shù)的圖象恒在圖象上方,則在上恒成立,即在上恒成立,設(shè),則,當(dāng),即時(shí),,此時(shí)無解,當(dāng),即時(shí),,此時(shí),當(dāng),即時(shí),,此時(shí),綜上.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)二次函數(shù)的問題,在解題
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